Математика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное  
учреждение высшего образования  
«Самарский государственный аграрный университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
О. Н. Беришвили, С. В. Плотникова  
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кинель 2023 
 

УДК 519.2 
ББК 74.58 
Б48 
 
 
Рекомендовано учебно-методическим советом Самарского ГАУ 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
Н. Б. Стрекалова, зав. кафедрой «Прикладная информатика»,  
ЧОУ ВО Тольяттинская академия управления, д-р пед. наук, доцент; 
Д. В. Миронов, зав. кафедрой «Физика, математика и информационные технологии», ФГБОУ ВО Самарский ГАУ, канд. физ.-мат. накук, 
доцент 
 
 
 
Беришвили, О. Н. 
Б48            Математика : учебное  пособие / О. Н. Беришвили, С. В. Плотникова. – Кинель : ИБЦ Самарского ГАУ, 2023. – 128 с. 
ISBN 978-5-88575-733-1 
 
Учебное пособие «Математика» содержит основные положения теории, формулы и определения базовых математических понятий, решения 
типовых задач, поясняющие теоретический материал и способствующие 
более глубокому его пониманию, и контрольные вопросы, позволяющие 
оценить степень подготовленности по теме. 
Учебное издание предназначено для обучающихся всех форм обучения по направлениям подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки сельскохозяйственной продукции и 38.03.07 Товароведение. 
 
УДК 519.2 
ББК 74.58 
 
 
 
 
 
© ФГБОУ ВО Самарский ГАУ, 2023 
© Беришвили О. Н.,  
ISBN 978-5-88575-733-1                          Плотникова С. В., 2023  
 
 
2 

Предисловие 
 
Предлагаемое пособие подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования и программой курса «Математика» для 
студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 35.03.07 Технология производства и переработки 
сельскохозяйственной продукции и 38.03.07 Товароведение.  
Цель – формирование у обучающихся комплекса компетенций, соответствующих направлению их подготовки, и необходимых для эффективного решения будущих профессиональных задач. 
Учебное пособие «Математика» содержит основные положения теории, формулы и определения базовых математических понятий. Приводятся подробные решения типовых задач различной 
степени трудности, поясняющие теоретический материал и способствующие более глубокому его пониманию; контрольные вопросы, позволяющие оценить степень подготовленности по теме; 
список рекомендуемой литературы. 
Материалы издания найдут применение в общепрофессиональных и специальных дисциплинах, изучаемых студентами бакалавриата, при подготовке курсовых и дипломных проектов; могут быть использованы магистрантами, аспирантами, преподавателями и специалистами сельского хозяйства. 
  
 
3 

Занятие 1. Понятие матрицы. Определители квадратных  
матриц и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. 
Теорема Лапласа. Операции над матрицами. Обратная матрица 
 
Цель занятия: закрепление теоретических знаний по соответствующей теме; формирование навыков и умений вычисления определителей 
второго и третьего порядков, в том числе с применением теоремы Лапласа; выполнения алгебраических действий с матрицами, нахождения обратной матрицы. 
 
Матрицей порядка 
n
m
 называется совокупность 
n
m элементов     
ij
a    (i – номер строки (
m
i
,
1

),     j – номер  столбца   
(
n
j
,
1

), на пересечении которых стоит элемент), расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов: 
a
a
a
.....


n
1
12
11
a
a
a
.....
n
2
22
21
. 
.....
.....
.....
.....










a
a
a
.....
mn
m
m
2
1


Для обозначения матриц используют сокращенные обозначения: (
ij
a ), (i=
m
,
1
, 
n
j
,
1

), а также заглавные буквы латинского 
алфавита A, B и т.д.  
Матрица, порядка 
n
n называется квадратной матрицей 
порядка n: 
a
a
a
.....


n
1
12
11
a
a
a
.....
n
2
22
21
. 
.....
.....
.....
.....










a
a
a
.....
nn
n
n
2
1


 
Элементы 
ij
a , имеющие равные индексы, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Элементы, 
расположенные на диагонали, которая проходит из правого верхнего угла матрицы в левый нижний (побочная диагональ), называются побочными диагональными элементами. 
4 

Каждой квадратной матрице  А порядка n с действительными 
элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы, обозначается detA, A , или D и вычисляется по определенным правилам. Число n определяет порядок определителя.  
В частных случаях это правило имеет вид: 
 
1) n=1, A=
ij
a , detA=
ij
a . 

12
11


a
a
A
, 
a
a
22
21
2) n=2, 






a
a
A



,                    (1) 
21
12
22
11
12
11
det
a
a
a
a
a
a
22
21
 
т.е. определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях. 
 
a
a
a


13
12
11

a
a
a
3) n=3, 
A
, 
23
22
21






а
а
а
33
32
31


 
a
a
a
13
12
11





A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
det
23
22
21
31
23
12
32
21
13
33
22
11
(2) 
a
a
a
33
32
31



a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
32
23
11
33
21
12
31
22
13
                 
 
Формула (2) носит название правило треугольника. 
Несмотря на то, что выражение определителя 3-го порядка 
является несколько громоздким, закон его составления весьма 
прост: произведения элементов, соединенных линиями на рисунке 1а, входят в выражение (2) со знаком плюс, а произведения элементов, соединенных линиями на рисунке 1б, берутся со знаком 
минус. 
5 

 
                                                а                            б 
 
Рис. 1. Схема правила треугольника: 
а – для слагаемых, входящих в формулу со знаком «+»; 
б – для слагаемых, входящих в формулу со знаком «-» 
 
Определители более высокого порядка вычисляются с использованием теоремы Лапласа, которая позволяет понизить порядок определителя.  Предварительно рассмотрим понятия миноры и 
алгебраические дополнения. 
Пусть дана квадратная матрица A порядка  n и соответствующий ей определитель  
 
a
a
a
...
n
1
12
11
a
a
a
...
n
2
22
21
D

. 
...
...
...
...
a
a
a
...
nn
n
n
2
1
 
Минором 
ij
M  элемента 
ij
a  определителя D называется определитель порядка n–1, получающийся из определителя D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен выбранный элемент. 
Алгебраическим дополнением
ij
A  элемента 
ij
a  определителя 
D называется минор 
ij
M , взятый со знаком 
j
i
)
1
(
, т.е.  
 
j
i
.
)
1
(
ij
ij
M
A



                                    (3) 
 
Теорема Лапласа (о разложении определителя по элементам 
ряда). Определитель равен сумме произведений элементов любой 
его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения, т.е. 
6 

a
a
a
...
n
1
12
11
n
n
a
a
a
...
n
2
22
21


A
a
A
a
, где 
n
i
,
1

.      (4) 
ij
ij
ji
ji


...
...
...
...


j
j
1
1
a
a
a
...
nn
n
n
2
1
 
Вычисление определителя по теореме Лапласа существенно 
упрощается, если в строке (столбце), по которой производится 
разложение определителя, получить как можно больше нулевых 
элементов, используя свойства определителей.  
Суммой матриц А = (
ij
а ) и В = (
ij
b ) одинакового порядка 
n
m называется матрица С = (
ij
с ) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных 
матриц  
ij
ij
ij
b
a
c


 (
m
i
,
1

, 
n
j
,
1

).                        (5) 
Аналогичным образом определяется разность двух матриц. 
Произведением матрицы A = (
ij
а ) порядка 
n
m
 на число
R


называется матрица С = (
ij
с ) того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента 
исходной матрицы на это число:  
 
ij
ij
a
c


 (
m
i
,
1

, 
n
j
,
1

).                         (6) 
 
Произведением матрицы A =(
ij
a ) порядка 
k
m
на матрицу
B = (
ij
b ) порядка 
n
k 
 называется матрица C = ( ij
c ) порядка 
n
m, каждый элемент 
ij
c  которой равен сумме произведений 
элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы jго столбца матрицы  В: 
k





sj
is
kj
ik
j
i
j
i
ij
b
a
b
a
b
a
b
a
с
2
2
1
1
.....
, где 
m
i
,
1

,
n
j
,
1

.    (7) 


s
1
Произведение матриц определено лишь в том случае, когда 
количество столбцов первого множителя-матрицы равно числу 
строк второго множителя матрицы.  
7 

Пусть A – квадратная матрица порядка n. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной  к  A, если  
E
A
B
B
A




,                                           (8) 
где E – единичная матрица порядка n. Обратная матрица обозначается символом 
1

A . 
Для того, чтобы квадратная матрица A = (
ij
a ) порядка n имела 
обратную, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы 
A был отличен от нуля. 
Матрица 
1

A  вычисляется по формуле: 
 
A
A
A
...


n
1
21
11
A
A
A
...
1
n
2
22
12


1
,                             (9) 
...
...
....
...
A
А
det










A
A
A
...
nn
n
n
2
1


где 
ji
A  – алгебраическое дополнение элемента 
ji
a  (
n
j
i
,
1
,

). 
Пример 1. Вычислить определитель матрицы: 
 

3
1
1


3
2



. 
1
4
2


A
  б) В =
а) 
;
4
1












1
1
3


Решение. а) Для вычисления определителя 2-го порядка воспользуемся формулой (1):  
 
3
2









. 
detA = 
11
3
8
)
1
(
3
4
2
4
1
б) Вычислим определитель матрицы В, применяя правило 
треугольника (2): 
 

3
1
1




















det B

1
1
2
3
4
)
3
(
)
3
(
1
2
3
)
1
(
1
1
4
1
1
4
2
1
1
3
30
1
)
1
(
1





. 
8 

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка 
3
2
1

 
4
2
1
5
2
0
двумя способами: 1) раскладывая по элементам второй строки;  
 
2) раскладывая по элементам первого столбца.  
 
Решение. 1) Вычисляем определитель по теореме Лапласа (4), 
раскладывая по элементам второй строки: 
23
23
22
22
21
21
A
a
A
a
A
a
D



. 
 
Если в определителе D зачеркнуть вторую строку и первый 
3
2





. 
столбец, получим: 
21
M
=
4
3
2
5
2
5
2
Алгебраическое дополнение А21 элемента а21 определителя D 
равно минору этого элемента 
21
M
, взятому с обратным знаком, 
так как сумма номеров строки и столбца – число нечетное: 
 
1
2





M
M
. 
21
А
=
4
)
1
(
21
21
 
Аналогично вычисляются алгебраические дополнения А22 и А23. 
Получаем 
3
2
1
3
2
2
2
1
2
4
2
1
3
2
)
1
(
)
1
(
















D
 
3
1
)
1
(
2
5
2
2
1
)
1
(
4
5
0
2
0
5
2
0







.
6
2
4
5
2
4
1
 
2) Разложение определителя по элементам первого столбца 
имеет вид: 
31
31
21
21
11
11
A
a
A
a
A
a
D



.  
 
Заметим, что 
31
A  вычислять не требуется, так как 
0
31 
a
. 
3
2
1
1
2
1
1


















D
4
2
1
4
2
)
1
(
1
3
2
)
1
(
)
1
(
5
2
.
6
)
4
(
)
1
(
2
1
5
2
5
2
0
 
9 



5
3
2
A
, 


2
4
1
Пример 3. Вычислить матрицу 
B
A
С
2
5 

, если 








5
2
2
B
. 



4
6
0






Решение. Матрицы А и В одинакового порядка, следовательно, операция сложения определена. Используя формулы (5) и (6), 
получаем 






25
15
10
5
3
2
5



С

5
2
2
)
2
(
2
4
1
4
6
0
10
20
5

























 
10
4
4
15
19
6








8
12
0
.
2
8
5














 
Пример 4. Даны матрицы 
 


1
0
4
3
2
1







A
, 
B
. 
3
1
2
1
0
2













2
2
3
3
1
2




Найти произведения AB. 
Решение. Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу 
С=АВ, элементы которой определяются по формуле (7): 
 


1
0
4
3
2
1










B
A
С
3
1
2
1
0
2













2
2
3
3
1
2
























3
1
1
0
)
3
(
4
1
1
0
0
2
4
)
2
(
1
2
0
1
4






















3
3
1
)
1
(
)
3
(
2
1
3
0
)
1
(
2
2
)
2
(
3
2
)
1
(
1
2























3
2
1
2
)
3
(
3
1
2
0
2
2
3
)
1
(
2
2
2
1
3




15
7
6




 
2
7
6
.







1
8
3


10