Элементы линейной алгебры

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
О.М. Полещук
Элементы линейной алгебры 
Учебно-методическое пособие

УДК 512.64 
ББК 22.143
        П49
Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6804
Факультет «Космический»
Кафедра «Высшая математика и физика» 
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Полещук, О. М.
Элементы линейной алгебры : учебно-методическое пособие / 
П49
О. М. Полещук. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Бау- 
мана, 2020. — 39, [1] с. 
ISBN 978-5-7038-5435-8
Представлены учебно-методические и справочные материалы для 
освоения студентами модуля «Элементы линейной алгебры» дисциплины «Математика». Изложены необходимые теоретические материалы, 
подробно рассмотрены примеры решения задач, приведены вопросы 
для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения.
Для бакалавров направления подготовки 35.03.01 «Лесное дело».
УДК 512.64 
ББК 22.143
Учебное издание
Полещук Ольга Митрофановна
Элементы линейной алгебры
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 24.08.2020. Формат 60×90/16.
Усл. печ. л. 2,5. Тираж 183 экз. Изд. № 794-2019. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
press@baumanpress.ru   https://bmstu.press
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
©	 Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 
ISBN 978-5-7038-5435-8

Предисловие
Пособие содержит учебно-методические и справочные материалы для освоения модуля «Элементы линейной алгебры» дисциплины «Математика» и предназначено для бакалавров направления подготовки 35.03.01 «Лесное дело».
Цель изучения модуля дисциплины — освоение теоретических 
 
и практических основ модуля «Элементы линейной алгебры» годовой дисциплины «Математика».
После изучения дисциплины студенты овладеют:
•
• теоретическими основами оперирования матрицами и решения систем линейных алгебраических уравнений;
•
• практическими приемами оперирования матрицами для 
анализа и обработки информации профессионального поля деятельности;
•
• практическими навыками моделирования профессиональных 
задач на основе матриц и систем линейных алгебраических уравнений;
•
• практическими навыками решения оптимизационных задач 
профессионального поля деятельности на основе систем линейных 
алгебраических уравнений.
Модуль «Элементы линейной алгебры» дисциплины «Математика» представляет собой логически завершенный раздел курса. 
После обучения студенты смогут использовать теоретические 
знания и практические навыки для выполнения курсовых и дипломного проектов, а также при моделировании и решении задач 
профессионального поля деятельности.
Для изучения модуля «Элементы линейной алгебры» дисциплины «Математика» необходимы знания школьного курса математики. 
Для освоения материала модуля «Элементы линейной алгебры» 
дисциплины «Математика» предусмотрена самостоятельная работа студентов, включающая проработку лекционного курса, выполнение расчетно-графической работы и контрольной работы. 

1. Матрицы. Операции с матрицами
Матрицей размера m n
×
 называется прямоугольная таблица, 
составленная из m n
×
 элементов (чисел, символов) произвольной 
природы, представленных в виде m строк и n столбцов. Например, 
матрица
a
a
a


11
12
1
n
...
...
a
a
a
21
22
2
n
A
.
=
...
...
...
...








a
a
a
...
m
m
mn
1
2


Для обозначения матриц используют прописные буквы латинского алфавита ( ,
,
,...),
A B X
 а для обозначения элементов мат- 
риц  — строчные (
,
,
,...)
a
b x
ij
i
i
 с двумя или одним индексами. 
Сокращенно матрицу А размера m n
×
 обозначают А
aij m n
=
×
(
)
,  
где буквой a с двумя индексами i и j (
)
aij  обозначают элементы 
матрицы. Строки и столбцы матрицы считаются пронумерованными: первый индекс — i
i
m
=
(
)
1,
 — указывает номер строки, 
 
а второй индекс — j
j
n
=
(
)
1,
 — номер столбца, в которых расположен элемент aij. Например, элемент a23  расположен во второй строке и в третьем столбце. 
Частными случаями матриц являются матрица-строка и мат- 
рица-столбец:
A
a
a
a
a
j
n
n
=
=
×
(
)
(
...
)
1
1
11
12
1
 — матрица-строка (одна строка, 
n столбцов);


11
b
b
21
B
b
=
=
 — матрица-столбец (m строк, один столбец).
i
m
1
1
×
×
(
)
...








b
m
1


Элементы матрицы-строки или матрицы-столбца удобно обозначать буквой с одним индексом.
Матрица, состоящая из одинакового количества строк и столбцов 
m
n
=
(
), называется квадратной матрицей n-го порядка. Например:
4