Математика : пособие для поступающих в вузы

М. И. Шабунин
Математика
Пособие
 
 
х
и
щ
ю
а
п
у
т
с
о
п
 
я
л
д
в вузы
10-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2024

УДК 51(076)
ББК 22.1.729
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12
Математика : пособие для поступающих в вузы /
М. И. Шабунин. — 10-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория знаний, 2024. — 747 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-740-4
Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями
основ школьного курса математики, хочет их систематизировать, а также стремится успешно сдать ЕГЭ и вступительные
экзамены
в
вуз.
Пособие
окажется
полезным
студентам
педагогических вузов, а также учителям средних школ.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный
материал
и
подробно
разобранные
примеры,
взятые
из олимпиад МФТИ и практики вступительных экзаменов
в
вузы,
предъявляющие
достаточно
высокие
требования
к
математической
подготовке
абитуриентов.
Кроме
того,
в
пособие
включены
задачи
для
самостоятельной
работы
учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым
наиболее трудным — краткие указания.
В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ.
УДК 51(076)
ББК 22.1.729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика : пособие для поступающих в вузы / М. И. Шабунин. —
9-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2022. — 744 с. : ил. —
ISBN 978-5-93208-299-7.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-740-4
© Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
▼
Предисловие автора
10
Глава
1. Действительные числа
11
§ 1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные
числа. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 2. Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений
. . . . . . . . .
19
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 3. Последовательность.
Арифметическая
и
геометрическая
прогрессии. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§ 4. Основные
формулы
тригонометрии.
Арксинус,
арккосинус
и арктангенс числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1. Основные формулы тригонометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 5. Числовые неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Ответы и указания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Глава
2. Алгебраические уравнения
78
§ 6. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений . . . . . . . . . . .
78
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Оглавление
§ 7. Рациональные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
§ 8. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Глава
3. Показательные и логарифмические уравнения
98
§ 9. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 10. Логарифмические уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава
4. Тригонометрические уравнения
110
§ 11. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos x и tg x . . . . . . 110
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 12. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители,
с помощью формул понижения степени
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 13. Уравнения,
решаемые
с
помощью
оценки
их
левой
и
правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля
. . 127
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§ 14. Тригонометрические уравнения различных видов . . . . . . . . . . . . . 140
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Задачи к главе IV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Оглавление
5
Глава
5. Системы уравнений
156
§ 15. Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 16. Системы алгебраических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными . . . . 170
а) Однородные системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
б) Симметрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
в) Другие типы систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2. Иррациональные системы с двумя неизвестными
. . . . . . . . . . 181
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3. Алгебраические системы с тремя неизвестными
. . . . . . . . . . . 186
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 17. Задачи на составление и решение уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . 200
1. Задачи на движение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2. Задачи на сплавы и смеси
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3. Задачи на совместную работу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§ 18. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1. Системы показательных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2. Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3. Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Оглавление
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Глава
6. Алгебраические неравенства
243
§ 19. Основные понятия, связанные с решением неравенств
. . . . . . . . 243
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 20. Квадратный трехчлен и квадратные неравенства
. . . . . . . . . . . . . 251
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§ 21. Рациональные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
1. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
2. Расположение
корней
квадратного
трехчлена
на
числовой
оси
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§ 22. Иррациональные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Глава
7. Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства
285
§ 23. Показательные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 24. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями
291
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями
301
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
§ 25. Тригонометрические неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Оглавление
7
Глава
8. Системы неравенств с двумя переменными
322
§ 26. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1. Прямая на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
2. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
3. Линейные неравенства с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . 324
4. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5. Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
§ 27. Нелинейные системы неравенств с двумя переменными . . . . . . . 336
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Глава
9. Планиметрия
344
§ 28. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 29. Четырехугольник
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
§ 30. Окружность и круг
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ 31. Комбинации геометрических фигур
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Глава 10. Прямые и плоскости в пространстве
429
§ 32. Справочный материал по стереометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§ 33. Сечения многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
§ 34. Вычисление углов в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
1. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Оглавление
2. Перпендикулярность
прямой
и
плоскости.
Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью
. . . . . . 467
а) Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
б) Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
3. Двугранные углы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
§ 35. Вычисление расстояний в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
1. Расстояние между двумя точками
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
2. Расстояние от точки до прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
3. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
. . . . . . . . . . . 494
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Глава 11. Многогранники
500
§ 36. Треугольная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
1. Объем пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
2. Пирамида и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
3. Разные задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
§ 37. Четырехугольная и шестиугольная пирамиды
. . . . . . . . . . . . . . . . 530
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
§ 38. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Глава 12. Круглые тела, комбинации геометрических тел
559
§ 39. Конус, цилиндр и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
1. Конус и сфера. Цилиндр и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
2. Сфера, прямая и плоскость
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
§ 40. Комбинации круглых тел и многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . 568
1. Цилиндр и многогранник. Конус и многогранник
. . . . . . . . . 568
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
2. Комбинации многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Оглавление
9
Задачи к главам 10–12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Первый уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Второй уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Третий уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
Глава 13. Производная и интеграл
603
§ 41. Производная и ее применение к исследованию функций . . . . . . 603
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
§ 42. Интеграл и его приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
Глава 14. Задачи с параметрами. Разные задачи
633
§ 43. Уравнения и системы уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . 633
Примеры уравнений с параметрами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
Примеры систем уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
§ 44. Неравенства и системы неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . 673
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
§ 45. Делимость
целых
чисел,
сравнения,
целочисленные
решения
уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
§ 46. Элементы комбинаторики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
§ 47. Разные задачи по алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
Варианты олимпиад и письменных вступительных экзаменов по математике в МФТИ
710
Ответы к вариантам  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

Предисловие автора
▼
Книга предназначена для тех, кто, обладая знаниями основ школьного
курса
математики,
стремится
систематизировать
эти
знания
и успешно сдать вступительные экзамены в вуз.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных
экзаменов
в
вузы,
предъявляющие
достаточно
высокие
требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того,
в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся,
расположенные в порядке возрастания трудности. Ко всем этим задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания.
Для
удобства пользования
книгой
ответы
приводятся
сразу
после условий задач параграфа (главы).
В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов таких вузов, как МГУ, МФТИ, МГИЭМ, МИРЭА, и др.
Автор стремился подобрать примеры с тем расчетом, чтобы в каждом разделе пособия был предоставлен набор ключевых задач и методов их решения, имея в виду конечную цель: способствовать формированию умений и навыков, необходимых не только для успешной
сдачи вступительных экзаменов, но и для повышения уровня математической культуры учащихся.
Работа над пособием, по мнению автора, окажется особенно эффективной, если учащийся сначала попытается самостоятельно решить
разобранный в тексте пример, а затем сравнит свое решение с тем,
которое приводится в книге.
В работе над пособием автор опирался на многолетний опыт создания учебников и учебных пособий для средней и высшей школы,
участия в организации и проведении вступительных экзаменов в Московском физико-техническом институте, чтения лекций по телевидению для поступающих в вузы и на курсах повышения квалификации
учителей средних школ.
В данное издание включены задачи МФТИ 2003–2013 гг., новые
разделы — делимость целых чисел и элементы комбинаторики. Добавлены задачи в §§ 43 и 44 (задачи с параметрами), среди которых —
задачи ЕГЭ.
М. И. Шабунин