Изучение моделей и методов управления запасами

 

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

 
 
 
ИЗУЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ  

УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 

 
 
Методические указания к лабораторной работе 
по курсу «Организационно-технологическое управление» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 9  

 

УДК 658.783 
ББК 30.604.5 
И39 
Ре це нзе нт М.В. Овсянников 

 
  
  
 
      Изучение моделей и методов управления запасами : метод. 
указания к лабораторной работе по курсу «Организационнотехнологическое управление» / М.С. Куняев, А.М. Сидоренко, 
А.С. Фирсов, Е.Н. Хоботов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. 
Баумана, 2009. — 35, [1] с. 
 
Рассмотрены этапы и методика выполнения лабораторной работы по изучению моделей и методов управления запасами. Приведены 
инструкции для работы с программным обеспечением, используемым 
в лабораторной работе.  
Для студентов 5-го курса, специализирующихся по кафедре РК-9 
и изучающих курс «Организационно-технологическое управление». 
 
УДК 658.783 
ББК 30.604.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Куняев М.С., Сидоренко А.М., 
Фирсов А.С., Хоботов Е.Н., 2009 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009 

И39 

ВВЕДЕНИЕ 

Проблемы управления запасами в настоящее время являются 
весьма важными и актуальными, поскольку в современной российской экономике уже сейчас активно работают торговые фирмы 
и оптовые склады, и эти организации имеют дело с большими оборотами товаров и объемами запасов.  
Наличие запасов позволяет быстро удовлетворять запросы потребителей, что удерживает постоянных и привлекает новых клиентов, а также дает возможность нейтрализовать колебания спроса 
при реализации готовой продукции и при поставках сырья и комплектующих в процессе производства. Кроме того, создание запасов, особенно для действующих систем и оборудования, во многих 
случаях позволяет экономить значительные средства и снижать 
риск возникновения аварийных ситуаций.  
Однако создание и хранение запасов приводит к дополнительным затратам и к снижению оборачиваемости финансовых средств 
вследствие вложения их части в хранящиеся запасы.  
В связи с этим возникают проблемы, связанные с организацией 
эффективного управления запасами. Решение этих проблем позволило бы сократить издержки пополнения и хранения запасов. Методы решения таких проблем являются предметом изучения теории управления запасами [1 – 3].  
Существует большое число различных постановок задач управления запасами, часть из которых будет изучаться в рамках настоящей лабораторной работы.  
Цель работы — изучение методов и моделей управления запасами и решение с их применением ряда задач управления запасами 
в соответствии с индивидуальными заданиями.  

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ БЕЗ ДЕФИЦИТА ЗАПАСОВ 

Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентам R изделий равномерно в течение интервала времени T. Таким образом, спрос фиксирован и известен. Нехватка товара не 
допускается, т. е. штраф при неудовлетворительном спросе бесконечно велик (C2 = ∞). Переменные затраты производства складываются из следующих элементов: C1 — стоимость хранения одного 
изделия в единицу времени; Cs — стоимость запуска в производство или оформление и доставка одной партии товаров. 
 

 
 
Рис. 1. Графическое изображение процесса изменения  
уровня запасов при постоянном спросе 
 
Предприниматель должен решить, как часто ему следует организовывать выпуск или закупки партии товаров и каким должен 
быть размер каждой партии.  
Уравнение затрат и его аналитическое решение. Только что 
описанная ситуация представлена графически на рис. 1. Пусть q — 
размер партии; ts — интервал времени между запусками партий в 
производство; R — полный спрос за все время планирования T. 

Тогда R/q — число партий, доставленных за время T, и 

.
/
s
T
Tq
t
R q
R
=
=
 При постоянном спросе r уровень запасов на скла
де спустя время t после n-го пополнения будет равен 
(  
 (  
 
)
s
q
r t
nt
−
−
). Затраты на хранение этого запаса в течение интервала времени dt будут равны 
1(  
 (  
 
))
.
s
C q
r t
nt
dt
−
−
 Тогда затра
ты 
1
n
D +
на хранение запасов за цикл (n + 1) составят  

 

(
1)

1
1

(
1)
2
(
1)
1
1
1

2 2
2 2
1
1
1
1
1

2
1
1

(
(
))

2

(
1)
(
1)
2
2

 
 
,
2

s

s

s

s

s

s

n
t

n
s
nt

n
t
n
t
s
s
nt
nt

s
s
s
s
s
s
s

s
s

D
C q
r t
nt
dt

C rt
C qt
C rnt t

C r n
t
C rn t
C qt
C rnt n
t
 C rnt nt

C rt
C qt

+

+

+
+

=
−
−
=

=
−
+
=

+
=
−
+
+
+
−
=

=
−

∫
  

но 
s
rt
q
=
. Поэтому 
1
n
D +
будет равно 
1 .
2

s

q C t  Эти затраты справед
ливы для любого цикла, поскольку такие циклы одинаковы при 
всех значениях n.  
Известно, что значение определенного интеграла равно площади, которую ограничивает подынтегральная кривая между верхней 
и нижней границами изменения соответствующей переменной. В 
данном случае под знаком интеграла находится линейная функция 
и фигурой, которую она определяет, является прямоугольный треугольник. Площадь его равна половине произведения катетов. В 
дальнейшем для определения стоимости хранения запасов при постоянном спросе будет использоваться этот простейший способ.  
Общая стоимость создания запасов в интервале времени 
st  
равна сумме 
стоимости хранения и стоимости доставки: 

1
.
2
s
s
q C t
C
+
 

Для вычисления полной стоимости создания запасов за время T 
следует эту сумму умножить на общее число партий, доставленных за время R/q. Тогда 

 
1
.
2
s
s
q
R
D
C t
C
q
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Подставляя сюда выражение для ts, получаем 

 
1
2
s
q
Tq
R
D
C
C
R
q
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
,  

или  

 
1
.
2

s
C R
C Tq
D
q
=
+
  

Правая часть этого уравнения выражает полную стоимость 
хранения и полную стоимость доставки всех партий. С увеличением размера партии первый член уравнения возрастает, а второй — убывает. Решение этой задачи управления запасами состоит в определении такого размера партии продукции q0, при 
котором суммарная стоимость издержек будет наименьшей 
(рис. 2).  
 
 

1
( )
2

s
C R
C T
D q
q
q
=
+
 

1
2
C T q  

s
C R
q
 

( )
D q
 

q
O 
 
 
Рис. 2. График общей стоимости хранения и доставки заказов 

Функция D(q) является непрерывно дифференцируемой. На 
область изменения переменной q не наложено никаких ограничений, кроме q ≥ 0. Но при q → 0 значение функции D(q) → ∞, поэтому минимум этой функции достигается внутри допустимой области в такой точке q0, для которой  

 
( )
0.
dD q
dq
=
 

Дифференцируя D по q, получаем 

 
1
2
( )
.
2

s
C R
dD q
C T
dq
q
=
−
 

Отсюда можно вывести оптимальное значение q0 размера партии:  

 
0
1
2
s
RC
q
TC
=
  
 

— формула Вильсона (или Уилсона). 
Для оптимальных значений ts0 и D0(q0) получаем  

 
0
1
2
;
s

s
C
T
t
R C
=
    
0
0
1
(
)
2
.
s
D q
RTC C
=
  

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИ ПОСТОЯННОМ 
СПРОСЕ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ПОТЕРИ ЗАЯВОК 

Рассмотрим случай, который отличается от предыдущего только 
тем, что превышение спроса над запасами уже допускается, т. е. штраф 
С2 за нехватку продукции или сырья — конечный. Рассматриваемая 
ситуация может быть изображена графически (рис. 3).  
В начале каждого цикла закупок имеется уровень запасов s.  
Из подобия треугольников находим: 

 
1
2
1
;
.
s
s
s

s
q
s
t
t
t
t
t
t
q
q
−
=
=
−
=
  

Рис. 3. Графическое изображение процесса изменения  
уровня запасов при конечном штрафе за нехватку продукции 
 
Средний запас продукции в течение интервала времени t1 равен 

s/2, поэтому затраты на хранение за все время t1 составляют 
1 1.
2
s C t   

Средняя нехватка продукции (превышение спроса над уровнем 
запасов) за время t2 равна (
) / 2
q
s
−
, и штраф за время t2 составляет 

2 2.
2
q
s C t
−
  

Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за все время T 
определяются следующим выражением:  

 
1 1
2 2
( , )
.
2
2
s
q
s
s
R
D q s
C t
C t
C
q
−
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
  

Эта функция также является непрерывно дифференцируемой, а 
на ее переменные q и s не наложены ограничения, кроме q ≥ 0 и  
s ≥ 0. Но при q → 0 значение функции D(q) → ∞, поэтому минимум этой функции достигается в такой точке (q0, s0), для которой 
выполняются условия: 

 

( , )
0,

( , )
0.

D q s
q
D q s
s

∂
⎧
=
⎪
∂
⎪⎨∂
⎪
≥
⎪
∂
⎩

 

Подставляя значения 
1
s

s
t
t
q
=
 и 
2
s

q
s
t
t
q
−
=
 в выражение для 

( , )
D q s , получаем  

2
2
1
2
(
)
( , )
.
2
2

s
C R
s C T
q
s
C T
D q s
q
q
q
−
=
+
+
 

Условия минимума этой функции имеют вид  

 
1
2
2
2
2
( , )
0,
2
2
C T
qC T
sC T
D q s
s
s
q
q
q
∂
=
−
+
≥
∂
  

 

2
2
1
2
2
2
2
2
( , )
0.
2
2
2

s
C R
D q s
s C T
C T
s C T
q
q
q
q
∂
= −
−
+
−
=
∂
  

Решая эту систему, получаем 

 
1
2
0
1
2
2
,
s
RC
C
C
q
TC
C
+
=
     

 
2
0
1
1
2
2
,
s
RC
C
s
TC
C
C
=
+
 

 
1
2
0
1
2
2
.
s
s
TC
C
C
t
RC
C
+
=
 

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОПРОДУКТОВЫМИ  
ЗАПАСАМИ БЕЗ ДЕФИЦИТА ПРОДУКЦИИ  
В УСЛОВИЯХ ПОСТОЯННОГО СПРОСА 

Рассмотрим модель, позволяющую определять оптимальные 
величины закупок и интервалы времени, по истечении которых 
следует пополнять запасы, состоящие из продуктов различных типов. При этом предполагается, что управление запасами продукции разных типов проводится независимо. Процесс изменения запасов представлен на рис. 4. 
Стоимость хранения запасов в течение времени между закупками ts, которое в этом случае будет одним и тем же для всех продуктов этого типа, определяется следующим образом: 

1
,
2

L
i
i s

i

c q t
D

=
=∑


где L — число типов продуктов, закупка которых производится 
одновременно; qi — число единиц i-го продукта, которое закупается для пополнения запасов; ts — интервал времени между закупками; ci — стоимость хранения единицы продукта i-го типа в единицу времени. Для того чтобы по истечении времени ts запасы всех 
продуктов оказались равными нулю, величины qi должны быть 
равны rits, где ri — величина спроса на i-й продукт, т. е. количество 
i-го продукта, которое реализуется потребителям в единицу времени.  
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 4. Графическое изображение изменения величины запасов  
при одновременной поставке продуктов различных типов 
 
Для определения затрат на хранение, доставку и оформление 
запасов надо сумму затрат на хранение запасов и стоимость их 
доставки и размещения за один период умножить на число таких 
периодов в течение времени T. Тогда уравнение затрат может быть 
записано в следующем виде: 

 

1
( )
(
)
,
2

L
i
i s
s
s
i

c q t
D q
D
C n
C
n

=

⎛
⎞
=
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑

(*) 

где 
/ ;
s
n
T t
=
 
i
i s
q
rt
=
 (остальные обозначения имеют тот же смысл, 
что и для функции издержек, используемой при выводе формулы 
Вильсона). Подставив выражения для n и qi в соотношение (*), получим  

 

2

1
1
( )
.
2
2

L
L
i i s
i i s
s
s
s
i
i
s
s

c r t
c r t T
T
T
D t
C
C
t
t
=
=

⎛
⎞
=
+
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
 

q 

t 
ts 
ts 

q3 

q1 
q2 

0