Сопротивление материалов. Сложное сопротивление

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
«Томский государственный архитектурно-строительный университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ. 
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
2-е издание, пересмотренное и исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство ТГАСУ 
2023 

Авторы: С.А. Баранникова, М.О. Моисеенко, В.И. Савченко, Н.А. Фурсова 
 
УДК 539.3/.6 (075.8) 
ББК 30.121я7 
 
Сопротивление  материалов. Сложное сопротивление : учебное пособие / С.А. Баранникова, М.О. Моисеенко, В.И. Савченко, Н.А. Фурсова. – 2-е изд., пересмотр. и испр. – Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. 
ун-та, 2023. – 67 с. – Текст : непосредственный. 
ISBN 978-5-6050245-1-4 
 
Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, 
примеры расчета по разделу курса сопротивления материалов 
«Сложное сопротивление», задания для расчетно-графической работы по теме «Внецентренное сжатие бруса», контрольные вопросы 
для подготовки к  экзамену по изучаемому курсу. 
Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров 
по направлению 08.03.01 «Строительство», изучающих курс «Сопротивление материалов». 
УДК 539.3/.6 (075.8) 
ББК 30.121я7 
Рецензенты:  
О.Ю. Малеткин, к.т.н., ГИП ООО «ПКБ ТДСК»; 
А.П. Малиновский, к.т.н., доцент кафедры строительной 
механики ТГАСУ. 
 
 
 
ISBN 978-5-6050245-1-4  
©  Томский государственный  
                                                
                   архитектурно-строительный 
                                                  
                   университет, 2023 
                                                                       ©  Баранникова С.А.,  
           Моисеенко М.О., Савченко В.И., 
           Фурсова Н.А., 2023 

С 64 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ........................................................................................... 4 
1. Сложное сопротивление ............................................................. 5 
2. Косой изгиб   ................................................................................ 8 
2.1. Пример 1 ........................................................................ 13 
2.2. Пример 2 ........................................................................ 16 
3. Одновременное действие изгиба и продольной силы ........... 20 
3.1. Пример 3 ........................................................................ 23 
3.2. Пример 4 ........................................................................ 26 
4. Внецентренное растяжение (сжатие) ....................................... 29 
4.1. Пример 5 ........................................................................ 33 
4.2. Пример 6 ........................................................................ 38 
Заключение ................................................................................... 48 
Контрольные вопросы ................................................................ 49 
Список рекомендуемой литературы ........................................ 51 
Приложение 1. Задание к выполнению расчетно-графической 
работы  по теме «Внецентренное сжатие бруса» ....................... 52 
Приложение 2. Задачи для самостоятельного решения ........... 58 
Приложение 3. Геометрические характеристики некоторых     
сечений ........................................................................................... 66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
  
 
Студенты, обучающиеся по направлению «Строительство», изучают дисциплину «Сопротивление материалов» в течение двух семестров. За это время они не только осваивают 
теоретические основы, необходимые для оценки напряженнодеформированного состояния элементов конструкций, методы 
их расчета на прочность, жесткость и устойчивость, но и получают практические навыки их выполнения.  
В процессе освоения дисциплины «Сопротивление материалов» у обучающихся формируются общепрофессиональные 
компетенции. В результате изучения дисциплины студент овладеет следующими знаниями и умениями: 
– будет знать основные понятия, законы и методы, применяемые в курсе сопротивления материалов; 
– уметь проводить расчеты элементов строительных конструкций на прочность, жесткость, устойчивость;  
– владеть основными методами оценки несущей способности, жёсткости и устойчивости строительных конструкций. 
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной 
работы студентов при изучении раздела «Сложное сопротивление» курса «Сопротивление материалов».  
Цель пособия – изложить в доступной для понимания 
форме один из основных разделов дисциплины – сложное сопротивление. Теоретические вопросы сопровождаются примерами практических расчетов, что позволяет облегчить процесс 
самостоятельного освоения предмета. 
В пособии даны варианты заданий для выполнения расчетно-графической работы «Расчет бруса на внецентренное сжатие», а также задачи для самостоятельного решения, контрольные вопросы для подготовки к экзамену (зачету) по изучаемому 
курсу, геометрические характеристики некоторых сечений 
и список рекомендуемой литературы. 

1. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 
 
В сопротивлении материалов рассматриваются разнообразные конструкции, которые можно свести к сравнительно небольшому числу основных форм, таких как стержни, пластины 
и оболочки, массивные тела. Однако основным объектом изучения является брус (стержень), т. е. твердое тело, один размер которого – длина – значительно больше двух других. Поэтому 
в предлагаемом учебном пособии в качестве исходной конструкции рассматривается брус (стержень). 
В общем случае действия внешних сил в любом поперечном сечении бруса (стержня) могут действовать шесть компонентов внутренних усилий (рис. 1): продольная сила N, поперечные силы 
z
Q , 
y
Q , изгибающие моменты Мz, My и крутящий 

момент Мх (
Mкр
). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1. Внутренние усилия в поперечном сечении бруса 
 
Если в поперечных сечениях действует только одно внутреннее усилие, то отмечается простая деформация, или простое 
напряженное состояние. Выделяют четыре вида простых деформаций: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, изгиб. 

N

Mz 

My 

Qz 
Qy 
Mx 
x 

y 

z 

F1 

F2 

Все перечисленные виды простых деформаций рассматриваются в первой части курса сопротивления материалов [1, 2]. 
Однако на практике часто встречаются случаи, когда в поперечных сечениях бруса одновременно действуют несколько 
компонентов внутренних усилий. Тогда говорят, что брус находится в условиях сложного сопротивления. 
Под сложным сопротивлением подразумевают различные 
комбинации простых деформаций, при которых в поперечных 
сечениях бруса одновременно возникает не менее двух внутренних усилий. Исключение составляет плоский (прямой) поперечный изгиб, при котором расчеты на прочность и жесткость ведутся по изгибающему моменту без учета поперечных сил (т. к. 
величины напряжений от поперечных сил значительно меньше 
величин напряжений от изгибающих моментов). 
На основании принципа независимости действия сил, который используется в сопротивлении материалов, напряженное 
состояние бруса можно определить путем суммирования напряженных состояний, вызванных каждым видом простой деформации в отдельности.  
Указанный поход к расчету конструкций применим            
в случаях, когда деформации малы, а материал подчиняется    
закону Гука. 
Рассмотрим общий случай сложного сопротивления, когда 
в поперечных сечениях действуют все шесть компонентов внутренних усилий.  
Продольная сила N и изгибающие моменты Мz и My  вызывают в поперечном сечении бруса нормальные напряжения 
 . Поскольку указанные напряжения действуют вдоль одной 
линии (нормали к поперечному сечению), то суммарное нормальное напряжение определяется как алгебраическая сумма 
напряжений: 
).
(
)
(
)
(
y
z
M
M
N
 
 
  
   
 
(1) 

Используя известные зависимости [1, 2] определения нормальных напряжений при растяжении (сжатии) и изгибе, запишем формулу для определения нормальных напряжений 
при сложном сопротивлении: 

,z
I

M
y
I
M
A
N

y

y

z

z


 
 
 
 
(2) 

где A – площадь поперечного сечения; Iz, Iy  – моменты инерции 
сечения относительно главных центральных осей z, y соответственно; z, y – координаты точки (по абсолютной величине),          
в которой определяются напряжения. 
Знаки перед вторым и третьим слагаемыми зависят от того, 
какие напряжения (растягивающие или сжимающие) вызывает 
изгибающий момент в рассматриваемой точке (“+”, если растяжение, “–”, если сжатие). 
Суммарное касательное напряжение в рассматриваемой 
точке поперечного сечения от поперечных сил 
z
Q , 
y
Q  и крутя
щего момента 
Mкр
 получают путем геометрического суммиро
вания касательных напряжений: 

,

отс

xy
y

y
z
z
b
I

S
Q




 
 
,

отс

xz
z

z
y
у
b
I

S
Q




 
 
кр .



I

M
 
 
(3) 

Для строителей наибольший интерес представляют следующие случаи сложного сопротивления: косой изгиб, одновременное действие изгиба и продольной силы, внецентренное действие продольной силы.