Лекции по теории игр

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Г. А. УГОЛЬНИЦКИЙ

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ИГР

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2023

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18 я73

У26

Печатается по решению кафедры прикладной математики
и программирования Южного федерального университета

(протокол №10 от 01 июня 2023 г.)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, директор Института приклад
ных математических исследований Карельского НЦ РАН В. В. Мазалов;

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики
и исследования  операций Института математики,  механики и компьютерных 

наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета Д. Б. Рохлин

Угольницкий, Г. А. 

У26     Лекции по теории игр : учебное пособие / Г. А. Угольницкий ; 

Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : 
Издательство Южного федерального университета, 2023. – 339 с.

ISBN 978-5-9275-4361-8

В учебном пособии рассматриваются модели конфликтов, описывае
мые и исследуемые с помощью математической теории игр. Математическая формализация играет ведущую роль в становлении конфликтологии 
как междисциплинарного направления исследований и практической работы
по разрешению конфликтов.

Книга ориентирована в первую очередь на студентов магистратуры

и аспирантуры по направлениям подготовки «Прикладная математика
и информатика», «Компьютерные и информационные науки», «Информатика и вычислительная техника», однако будет полезна также для направлений подготовки «Политология», «Психология», «Конфликтология», «Менеджмент», может служить справочником для руководителей и практических 
специалистов в указанных областях.

УДК 519.83(075.8)

ББК 22.18 я73

ISBN 978-5-9275-4361-8                             

© Угольницкий Г. А, 2023
© Южный федеральный университет, 2023
© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 5

ЧАСТЬ 1. ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ............................................ 10
Лекция 1. Основные понятия игр в нормальной форме. 

Равновесие Нэша ......................................................................... 11

Лекция 2. Устойчивость равновесий Нэша. Равновесие Штакельберга... 22
Лекция 3. Стабильные соглашения и сценарий предостережений.......... 33
Лекция 4. Смешанное расширение игр в нормальной форме .................. 40
Лекция 5. Введение в сетевые игры. 

Цена анархии. Равновесие Вардропа......................................... 53

ЧАСТЬ 2. ИГРЫ В ФОРМЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 
(КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ)....................................................................... 65
Лекция 6. Основные понятия кооперативных игр. Дележи и С-ядро...... 65
Лекция 7. Решения по Нейману-Моргенштерну........................................ 72
Лекция 8. Вектор Шепли и индекс Банзафа............................................... 76
Лекция 9. (0,1)-нормальная форма для существенных игр. 

Задача о переговорах..................................................................... 82

ЧАСТЬ 3. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ......................................................... 89
Лекция 10. Основные понятия игр в развернутой форме. 

Алгоритм Куна ............................................................................ 89

Лекция 11. Игры Гермейера. Модели ценового управления

и системная согласованность..................................................... 98

Лекция 12. Теоретико-игровые модели мотивационного управления

и распределения ресурсов........................................................ 108

Лекция 13. Рефлексивные игры. Дополнительные примеры ................. 137

ЧАСТЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ ............................................ 150
Лекция 14. Основные понятия дифференциальных игр. 

Равновесие Нэша........................................................................ 150

Лекция 15. Равновесие Штакельберга ...................................................... 169

Лекция 16. Равновесия в триггерных стратегиях.....................................197
Лекция 17. Антагонистические и линейные по состоянию 

дифференциальные игры ..........................................................218

Лекция 18. Дифференциальные теоретико-игровые модели

в экономике ................................................................................237

Лекция 19. Дифференциальные теоретико-игровые модели

в экологии...................................................................................256

Лекция 20. Кооперативные дифференциальные игры.............................280
Лекция 21. Системный анализ и имитация конфликтов..........................291
Лекция 22. Необходимые сведения из теории 

оптимального управления.........................................................309

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................. 323
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ .......................................... 332
ЛИТЕРАТУРА............................................................................................... 335

ВВЕДЕНИЕ

Конфликты играют огромную роль в жизни общества, социальных ор
ганизаций и отдельного человека. По словам И. Канта, «средство, которым 
природа пользуется для того, чтобы осуществить развитие всех задатков 
людей, – это антагонизм их в обществе, поскольку он в конце концов становится причиной их законосообразного порядка»1. Конфликты возникают 
внутри человеческой личности, в отношениях людей и их групп между собой, в семейных, организационных, территориальных и межгосударственных отношениях. Бытовые, социальные, экономические, политические,
военные конфликты – постоянные спутники человеческого существования. Крайней формой конфликта выступает отмеченный выше великим 
философом антагонизм, ярким примером которого служат боевые действия. Однако конфликты совсем не обязательно приобретают форму антагонистического противодействия: как правило, интересы их участников
не бывают строго противоположными, что сохраняет возможность конструктивного разрешения конфликта на основе некоторого компромисса. 

Многообразие конфликтов порождает различие подходов к их изуче
нию и разрешению. Внутриличностными конфликтами занимается психология, прежде всего психоанализ (З. Фрейд, К.Г. Юнг, Э. Фромм, А. Адлер, В. Райх, В. Франкл, К. Хорни, Э. Эриксон и другие). Исследованию 
социальных конфликтов отдали дань практически все ведущие социологи. 
Основополагающую роль здесь играет труд Г. Зиммеля «Конфликт» [71], 
известный российскому читателю преимущественно
по развернутому 

комментарию Л. Коузера [28]. М. Вебер трактует общество как место борьбы статусных групп, имеющих собственные амбиции, интересы и культурные ценности. Большое внимание проблематике конфликтов уделял Эмиль
Дюркгейм: «Если посмотреть глубже, то окажется, что во всякой гармонии  
интересов таится скрытый и только отложенный на время конфликт». 

Э. Дюркгейм дал характеристику девиантного поведения, развитую 

впоследствии в теории социальной аномии Р. Мертона. Кроме того,
французский социолог предложил теоретическую базу для урегулирования реальных конфликтов на различных уровнях: «Точно так же, как
частные конфликты могут сдерживаться только регулирующим действи
1 Кант И. Соч. Т.6. М., 1966. С.11.

Введение

6

ем общества, заключающего в себе индивидов, так и интерсоциальные конфликты могут сдерживаться только регулирующим действием одного общества, заключающего в себе все другие»1. В теории социального действия 
Т. Парсонса существенное место занимает выявление напряженности, обладающей конфликтным потенциалом. Это направление развито учеником 
Парсонса Н. Смелсером. Антагонистические классовые конфликты блестяще описаны К. Марксом, современная ситуация классового взаимодействия 
охарактеризована Р. Дарендорфом, который также выявил условия успешного регулирования конфликта. Большой вклад в развитие теории конфликта внесли Э. Гидденс, И. Валлерстайн, Л. Крисберг, П. Сорокин.

Российский социолог А. Здравомыслов [21] охарактеризовал про
странство конфликта в трехмерной системе координат: участники, предмет, используемые средства, предложил классификацию конфликтов и аналитическую схему их исследования. Особую область исследования образуют политические конфликты [10].

В течение последних десятилетий конфликтология переросла в само
стоятельную междисциплинарную концепцию, включающую два направления. Первое из них – это практическая работа по урегулированию конфликтов, выполняемая специальными консультантами-конфликтологами 
[54]. Представители этой профессии участвуют в качестве посредников в переговорных процессах, способствуют разрешению организационных, военных и иных конфликтов. Второе направление – это теоретическая конфликтология. Российский исследователь А. Зайцев [20] выделяет 
следующие парадигмы этой теории: социально-биологическую, классовую, 
социально-психологическую, структурно-функциональную, диалектикосозидательную, новую, парадигмы насилия и ненасилия. Предмет конфликтологии включает построение типологии конфликтов, изучение
их динамики, движущих сил, вопросов управления конфликтами и их предупреждения. Опубликован ряд учебников по конфликтологии [3,18,27].

Основой математического описания конфликта служит теория игр, 

описывающая принятие решений несколькими субъектами, в том числе 
при наличии неопределенности. Другое направление исследования конфликтного принятия решений представлено теорией группового выбора 

1 Дюркгейм Э. О разделении общественного труда. Метод социологии. – М., 1991. –

С.192, 375.

Введение

7

[2,32,45]. Оригинальный подход к исследованию конфликтов с использованием формальных моделей предложен В.А. Лефевром [31]. Применение имитационного моделирования для описания конфликтов описано 
Ю.Н. Павловским с соавторами [17,23,40].

Интересный подход к построению системной теории конфликта пред
ставлен в монографиях В.А. Светлова [48,49]. Автор последовательно
и обоснованно использует математический аппарат для построения
структурных, вероятностных, динамических, игровых моделей конфликта, убедительно демонстрирует возможности применения этих моделей 
для анализа реальных конфликтов.

Содержание настоящего курса лекций составляют математические 

модели конфликтов и кооперации с полной информацией. На наш взгляд, 
известное высказывание К.Маркса о том, что наука достигает зрелости
лишь тогда, когда начинает пользоваться математикой, полностью сохраняет свою актуальность. Построение конфликтологии как междисциплинарной науки, использующей достижения различных областей знания
и предоставляющей единый язык общения для специалистов разных 
профессий, возможно только на основе математической формализации.
По мнению автора, прикладная математика представляет собой использование математических моделей для описания и анализа закономерностей 
функционирования реальных систем и решения связанных с ними практических задач. В данном случае речь идет о применении математических моделей для описания конфликтов различного типа и методов их
конструктивного разрешения, то есть об основах математической конфликтологии по аналогии с математической экономикой, математической 
экологией и другими подобными теориями.

При написании учебного пособия автор опирался на многолетний опыт 

чтения специальных курсов «Теоретико-игровые модели экономики»,
«Теоретико-игровые модели организационного управления», «Теория игр
и ее приложения» в Институте математики, механики и компьютерных 
наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета. По этой теме опубликованы учебно-методические работы [30,53]. При подготовке 
курса лекций автор не стремился к оригинальности и открыто использовал
работы других специалистов, ссылки на которые даны в библиографическом комментарии. Следует также отметить, что в отличие от большинства 

Введение

8

учебников по теории игр в настоящем курсе большинство доказательств 
опущено, основное внимание уделяется разъяснению основных идей.

В первой части книги изложена формализация конфликта интересов 

на основе базовой модели игры в нормальной форме и связанных с ней 
принципов оптимальности коллективных решений: доминантные и осторожные стратегии, равновесия Нэша и Штакельберга, сильное равновесие, оптимальность по Парето, сценарии предостережений, стабильные 
соглашения различного типа. Игры с нулевой суммой (модель антагонистического конфликта) рассматриваются как частный случай. Отдельные 
лекции посвящены смешанным расширениям игр и сетевым играм. Изложение иллюстрируется модельными примерами игр двух лиц.

Во второй части изучаются кооперативные игры, или игры в форме 

характеристической функции, моделирующие распределение суммарного 
дохода сообщества между его членами. Рассматриваются основные 
принципы оптимальности кооперативных распределений: С-ядро, решение по Нейману-Моргенштерну, вектор Шепли, а также (0,1)-нормальная 
форма кооперативной игры и задача о переговорах. Изложение иллюстрируется модельными примерами, в частности, играми голосования.

Предметом третьей части книги служат иерархические конфликты, 

возникающие в отношениях неравноправных участников. Базовой моделью здесь служит иерархическая игра двух лиц типа «Ведущий-Ведомый»,
а принципом оптимальности – принцип гарантированного результата
Ю.Б. Гермейера или его частный случай – равновесие Штакельберга. Обсуждаются игры Гермейера и их обобщения для задач управления иерархическими системами с более сложной структурой при различной информированности игроков. Мотивационное управление трактуется как 
задача стимулирования, рассматриваются базовые системы стимулирования, модели планирования, распределения ресурсов и активной экспертизы
в иерархических системах управления. Отдельные лекции посвящены играм в развернутой форме и рефлексивным играм.

Четвертая часть учебного пособия трактует динамические аспекты 

конфликтов на основе дифференциальных игр. В этих моделях динамика 
состояния конфликтно управляемого объекта явно описывается системой 
дифференциальных уравнений с начальными условиями, а интересы игроков заключаются в максимизации функционалов, зависящих от функ

Введение

9

ций состояния и управления. По сравнению со статическими моделями,
в дифференциальных играх используется существенно большее количество информационных структур, описывающих знания игроков о состоянии управляемой динамической системы и стратегиях других игроков. 
Рассматриваются дифференциальные игры в программных, позиционных
и триггерных стратегиях, изучаются равновесия Нэша и Штакельберга,
исследуется выявленная и исследованная Л.А. Петросяном и другими авторами проблема динамической устойчивости принципов оптимальности, 
приводятся примеры дифференциально-игровых моделей в экономике
и экологии. Отдельно описываются антагонистические дифференциальные игры (на примере игр преследования), линейные по состоянию игры
и неантагонистические дифференциальные игры в кооперативной постановке. Другим направлением динамического анализа конфликтов служит
их компьютерная имитация на базе системного анализа.

Все лекции содержат примеры и упражнения. В заключении обсуж
даются некоторые аспекты классификации теоретико-игровых моделей
и не вошедшие в книгу разделы теории игр.

Основная целевая аудитория учебного пособия – студенты магистра
туры по направлениям подготовки 01.04.00 – «Математика и механика»
(особенно 01.04.02 – «Прикладная математика и информатика») и 02.04.00 –
«Компьютерные и информационные науки», а также аспирантуры по
направлениям подготовки 01.06.00 – «Математика и механика», 02.06.00 –
«Компьютерные и информационные науки», 09.06.00 – «Информатика
и вычислительная техника» (специальности ВАК 1.2.2 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 2.3.1 –
«Системный анализ, управление и обработка информации», 2.3.4 –
«Управление в организационных системах»). Вместе с тем, книга будет 
полезна как пособие для направлений подготовки «Политология»,
«Психология», «Конфликтология», «Менеджмент». Разумеется, что она 
может использоваться также руководителями и практическими специалистами в указанных областях.

ЧАСТЬ 1. 

ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

В первой части учебного пособия изложены модели игр в нормальной 

форме и связанные с ними принципы оптимальности коллективных решений, дающие математическое описание взаимно приемлемых компромиссов. 

В том редком случае, когда у каждого участника конфликта есть 

наилучшая стратегия, игроки могут независимо прийти к равновесию
в доминантных стратегиях. Другим принципом оптимальности при изолированном поведении является выбор осторожных стратегий, при котором каждый участник рассчитывает на худшее для себя развитие конфликта. Классическая теория игр с нулевой суммой (антагонистических 
конфликтов) Неймана-Моргенштерна рассматривается как частный случай базовой модели игры в нормальной форме. Самым распространенным принципом формализации компромисса при независимом поведении игроков является равновесие Нэша, устойчивое против индивидуальных отклонений (лекция 1).

В лекции 2 рассматриваются модельные игры двух лиц с континуаль
ными множествами стратегий и непрерывными функциями выигрыша, 
для которых находятся равновесия Нэша. Обсуждаются вопросы устойчивости равновесий Нэша и процедуры итеративного их нахождения (так 
называемые процедуры нащупывания по Курно). Специфический принцип оптимальности в теории игр – равновесие Штакельберга, описывающее рациональное поведение при наличии иерархии между игроками.
В лекции 2 вводятся некоторые понятия теории иерархических игр (в частности, борьба за лидерство), требуемые для дальнейшего изложения. Подробнее иерархические игры изучаются в третьей части книги.

Допущение определенного взаимодействия между участниками кон
фликта позволяет изучать стабильные соглашения различного типа (лекция 3). В частности, обобщением равновесия Нэша служит сильное равновесие, устойчивое против групповых отклонений и обеспечивающее 
свою стабильность автоматически. В целом, стабильность соглашений 
обеспечивается с помощью взаимных угроз (сценария предостережений). 
Отдельно рассматривается случай игр двух лиц, для которого можно получить более сильные результаты, в том числе классификацию игр.