Медицинская и биологическая физика. Практикум

МЕДИЦИНСКАЯ 
И БИОЛОГИЧЕСКАЯ 
ФИЗИКА

ПРАКТИКУМ

Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов 
учреждений высшего образования 
по медицинским специальностям

Под редакцией В.Г. Лещенко

2023

Москва
«ИНФРАМ»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [61:53+577.3](076.5)
ББК 28.071я73
 
М42

Медицинская и биологическая физика. Практикум : учебное 
пособие / В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич, Н.И. Инсарова [и др.] ; 
под ред. В.Г. Лещенко. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 334 с. : 
ил.  — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-006664-6 (print)
ISBN 978-5-16-103953-3 (online)

Рассмотрены методы решения задач по основным разделам высшей 
математики, теории вероятностей и математической статистики. 
Описаны методика проведения физических измерений, правила работы 
с измерительными приборами, методы расчета ошибок прямых 
и косвенных измерений. Приведены краткие теоретические основы 
физических явлений, используемых в лабораторных работах, и порядок 
проведения всех лабораторных работ, предусмотренных программой 
дисциплины «Медицинская и биологическая физика». 
Представлены также контрольные вопросы и задания к семинарским 
занятиям.
Для студентов всех факультетов медицинских вузов. 

УДК [61:53+577.3](076.5)
ББК 28.071я73

М42

 
© ООО «Новое знание», 2013
ISBN 978-5-16-006664-6 (print)
ISBN 978-5-16-103953-3 (online)

А в т о р ы:
В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич, Н.И. Инсарова, А.А. Иванов, М.В. Гольцев,  Л.В. Ку-
харенко, В.В. Лукъяница, М.А. Дудковская, З.В. Межевич, А.М. Капитонов, 
В.А. Мансуров, Т.И. Суслина

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра медицинской и биологической физики  Витебского государственного 
медицинского университета (зав. кафедрой — кандидат биологических 
наук, доцент А.П. Баранов);
зав. кафедрой медицинской и биологической физики  Гомельского государственного 
медицинского университета, кандидат биологических наук, доцент 
В.А. Игнатенко

Оглавление

Предисловие......................................................................................................................................9

Раздел I. ЭлеМеНТЫ ВЫСШеЙ МаТеМаТИКИ 

И МаТеМаТИЧеСКОЙ СТаТИСТИКИ

1. Основы дифференциального исчисления.................................................................... 11
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 11
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 13
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 14

2. Нахождение экстремумов функции............................................................................... 17
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 17
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 18
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 19

3. дифференциал функции. Частные производные и полный  
дифференциал............................................................................................................................... 20
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 20
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 21
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 23

4. Основы интегрального исчисления................................................................................. 24
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 24
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 27
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 28

5. дифференциальные уравнения........................................................................................ 31
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 31
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 32
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 33

6. Элементы теории вероятностей........................................................................................ 35
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 35
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 36
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 37

7. Распределение случайной величины.............................................................................. 40
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 40
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 41
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 43

8. Основы математической статистики............................................................................... 45
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 45
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 48
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 51

9. Основы корреляционного анализа.................................................................................. 54
Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 54
Примеры.решения.задач............................................................................................................ 56
Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 57

Оглавление
4

Ответы к заданиям по высшей математике...................................................................... 58
1..Основы.дифференциального.исчисления....................................................................... 58
2..Нахождение.экстремумов.функции.................................................................................. 59
3..Дифференциал.функции..Частные.производные.и.полный.дифференциал..... 60
4..Основы.интегрального.исчисления.................................................................................. 61
5..Дифференциальные.уравнения.......................................................................................... 62
6..Элементы.теории.вероятностей.......................................................................................... 63
7..Распределение.случайной.величины................................................................................ 63
9..Основы.корреляционного.анализа.................................................................................... 63

Раздел II. лаБОРаТОРНЫЙ ПРаКТИКУМ

10. Введение в физический практикум............................................................................... 64

11. лабораторная работа 1. Изучение измерительных приборов.......................... 75
Теоретические.основы................................................................................................................. 75
Описание.некоторых.измерительных.приборов.и.устройств...................................... 78
Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 82
Контрольные вопросы и задания............................................................................................. 84
Литература.................................................................................................................................... 84

12. лабораторная работа 2. Твердость стоматологических материалов 
и методы ее измерения.............................................................................................................. 85
Теоретические.основы................................................................................................................. 85
Определение твердости материала по методу Бринелля..................................... 91
Описание.лабораторной.установки....................................................................................... 91
Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 92
Определение твердости материала по методу Виккерса..................................... 95
Описание.лабораторной.установки....................................................................................... 95
Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 95
Контрольные вопросы и задания............................................................................................. 95
Задачи................................................................................................................................................ 96
Литература.................................................................................................................................... 96
13. лабораторная работа 3. Определение термического коэффициента 
линейного расширения.............................................................................................................. 97
Теоретические.основы................................................................................................................. 97
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................103
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................103
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................105
Задачи..............................................................................................................................................105
Литература..................................................................................................................................106

14. лабораторная работа 4. Определение модуля упругости кости  
по изгибу........................................................................................................................................107
Теоретические.основы...............................................................................................................107
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................110
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................111
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................112
Задачи..............................................................................................................................................113
Литература..................................................................................................................................113

Оглавление
5

15. Лабораторная работа 5. Определение коэффициента поверхностного 
натяжения жидкости методом Ребиндера......................................................................114
Теоретические.основы...............................................................................................................114
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................118
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................120
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................121
Задачи..............................................................................................................................................122
Литература..................................................................................................................................122

16. Лабораторная работа 6. Определение вязкости жидкости 
вискозиметром Оствальда......................................................................................................123
Теоретические.основы...............................................................................................................123
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................126
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................127
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................129
Задачи..............................................................................................................................................129
Литература..................................................................................................................................130

17. Лабораторная работа 7. Снятие спектральной характеристики уха 
на пороге слышимости.............................................................................................................131
Теоретические.основы...............................................................................................................131
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................134
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................134
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................135
Задачи..............................................................................................................................................136
Литература..................................................................................................................................136

18. Лабораторная работа 8. Электрические датчики температуры.....................137
Теоретические.основы...............................................................................................................137
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................142
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................143
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................145
Задачи..............................................................................................................................................146
Литература..................................................................................................................................146

19. Лабораторная работа 9. Определение зависимости импеданса 
биологической ткани от частоты тока..............................................................................147
Теоретические.основы...............................................................................................................147
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................151
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................152
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................154
Задачи..............................................................................................................................................154
Литература..................................................................................................................................155

20. Лабораторная работа 10. Изучение основ электростимуляции.....................156
Теоретические.основы...............................................................................................................156
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................161
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................162
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................163
Задачи..............................................................................................................................................164
Литература..................................................................................................................................164

Оглавление
6

21. Лабораторная работа 11. Физические принципы 
высокочастотной электротерапии.......................................................................................165
Теоретические.основы...............................................................................................................165
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................176
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................177
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................179
Задачи..............................................................................................................................................181
Литература..................................................................................................................................181

22. Лабораторная работа 12. Изучение свойств усилителя 
электрических сигналов..........................................................................................................182
Теоретические.основы...............................................................................................................182
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................187
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................187
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................189
Задачи..............................................................................................................................................189
Литература..................................................................................................................................190

23. Лабораторная работа 13. Физические основы электрографии 
органов и тканей.........................................................................................................................191
Теоретические.основы...............................................................................................................191
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................198
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................199
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................202
Задачи..............................................................................................................................................202
Литература..................................................................................................................................203

24. Лабораторная работа 14. Определение показателя преломления 
жидкости рефрактометром....................................................................................................204
Теоретические.основы...............................................................................................................204
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................208
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................209
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................211
Задачи..............................................................................................................................................211
Литература..................................................................................................................................212

25. Лабораторная работа 15. Определение концентрации 
оптически активных веществ поляриметром.................................................................213
Теоретические.основы...............................................................................................................213
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................216
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................217
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................219
Задачи..............................................................................................................................................219
Литература..................................................................................................................................220

26. Лабораторная работа 16. Поглощение и рассеяние света. 
Основы колориметрического анализа..............................................................................221
Теоретические.основы...............................................................................................................221
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................225
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................226
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................228

Оглавление
7

Задачи..............................................................................................................................................228
Литература..................................................................................................................................229

27. Лабораторная работа 17. Основы спектрального анализа...............................230
Теоретические.основы...............................................................................................................230
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................237
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................238
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................241
Задачи..............................................................................................................................................241
Литература..................................................................................................................................242

28. Лабораторная работа 18. Измерение малых объектов 
с помощью микроскопа...........................................................................................................243
Теоретические.основы...............................................................................................................243
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................248
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................249
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................251
Задачи..............................................................................................................................................251
Литература..................................................................................................................................251

29. Лабораторная работа 19. Принцип действия лазеров, 
их свойства и применение......................................................................................................252
Теоретические.основы...............................................................................................................252
Описание.лабораторной.установки.....................................................................................256
Порядок.выполнения.работы.................................................................................................257
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................259
Задачи..............................................................................................................................................260
Литература..................................................................................................................................260

РаздеЛ III. ВОПРОСЫ И задаНИЯ К СеМИНаРСКИМ заНЯТИЯМ

30. Механические колебания и волны. акустика........................................................261
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................261
Примеры.решения.задач..........................................................................................................266
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................268
Задачи..............................................................................................................................................270
Литература..................................................................................................................................271

31. Основы биомеханики........................................................................................................272
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................272
Примеры.решения.задач..........................................................................................................276
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................278
Задачи..............................................................................................................................................279
Литература..................................................................................................................................282

32. Основы гидро- и гемодинамики...................................................................................283
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................283
Примеры.решения.задач..........................................................................................................284
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................286
Задачи..............................................................................................................................................287
Литература..................................................................................................................................287

Оглавление
8

33. Физические процессы в биологических мембранах...........................................288
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................288
Примеры.решения.задач..........................................................................................................291
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................292
Задачи..............................................................................................................................................293
Литература..................................................................................................................................294

34. Биофизика зрения..............................................................................................................295
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................295
Примеры.решения.задач..........................................................................................................297
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................299
Задачи..............................................................................................................................................300
Литература..................................................................................................................................300

35. Основы электронной и атомно-силовой микроскопии.......................................301
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................301
Примеры.решения.задач..........................................................................................................302
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................303
Задачи..............................................................................................................................................304
Литература..................................................................................................................................304

36. Тепловое излучение тел...................................................................................................305
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................305
Примеры.решения.задач..........................................................................................................306
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................308
Задачи..............................................................................................................................................308
Литература..................................................................................................................................309

37. Рентгеновское излучение, его характеристики, 
методы применения в медицине..........................................................................................310
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................310
Примеры.решения.задач..........................................................................................................312
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................313
Задачи..............................................................................................................................................314
Литература..................................................................................................................................315

38. Радиоактивный распад, взаимодействие ионизирующих частиц 
с веществом..................................................................................................................................316
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................316
Примеры.решения.задач..........................................................................................................317
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................318
Задачи..............................................................................................................................................319
Литература..................................................................................................................................321

39. Дозиметрия ионизирующих излучений....................................................................322
Основные.определения.и.формулы.....................................................................................322
Примеры.решения.задач..........................................................................................................324
Контрольные вопросы и задания...........................................................................................325
Задачи..............................................................................................................................................326
Литература..................................................................................................................................327

Приложения..................................................................................................................................328

Предисловие

Современная.медицина.широко.использует.достижения.физики.

и.биофизики..Клиники.оснащаются.сложнейшей.физической.аппаратурой,.применяемой.при.проведении.диагностики.и.лечебного.воздействия..Для.грамотного.и.рационального.использования.
этой.сложной.медицинской.техники.врач.должен.не.только.располагать.необходимыми.теоретическими.знаниями,.знать.принципы.
действия.и.возможности.используемых.приборов.и.аппаратов,.но.
и.иметь.элементарные.навыки.работы.с.физическими.приборами..
Именно.данную.задачу.в.определенной.мере.решает.лабораторный.
практикум.по.медицинской.и.биологической.физике.

Первый раздел.практикума.включает.задания.по.высшей.математике,.теории.вероятностей.и.математической.статистике.с.примерами.решения.задач.и.заданиями.для.самостоятельного.подготовки.. Во втором разделе. описываются. методики. проведения.
лабораторных.работ,.предусмотренных.учебными.программами,.
даются.краткие.сведения.о.теоретических.основах.физических.явлений,. используемых. в. лабораторных. работах,. рассматриваются.
методы.пользования.измерительными.приборами,.способы.представления.результатов.измерений,.методы.расчета.ошибок.измерений..В.треть ем разделе.приведены.краткие.теоретические.сведения,. формулы,. контрольные. вопросы. и. задачи,. необходимые.
для.подготовки.и.проведения.семинарских.занятий.

Настоящий.практикум.разработан.под.общей.редакцией.заведующего. кафедрой. В.Г.. Лещенко. коллективом. авторов. кафедры.
медицинской.и.биологической.физики.БГМУ.доцентами.Г.К..Ильичем.(1,.3–5,.19,.30,.32,.37–39),.В.Г..Лещенко.(2,.8–11,.15,.22,.23,.33,.34,.
36),.Н.И..Инсаровой.(6,.7,.31),.А.А..Ивановым.(12–14),.М.В..Гольцевым.(17,.21),.Л.В..Кухаренко.(16,.35),.В.В..Лукъяницей.(18,.29),.
З.В..Межевич.(20),.В.А..Мансуровым.(25),.старшими.преподавателями.М.А..Дудковской.(24,.28),.А.М..Капитоновым.(27).и.Т.И..Суслиной.(26).в.соот.ветствии.с.учебной.программой.по.дисциплине.
«Меди.цин.ская.и.биологическая.физика».и.пред.на.значен.для.студентов.всех.факультетов.медицинских.вузов..В.по.собии.использованы.отдельные.примеры.и.задачи.из.«Сборника.задач.по.медицинской.и.биологической.физике».(Ремизов,.А.Н..Сборник.задач.
по.медицинской.и.биологической.физике./.А.Н..Ремизов,.Н.Х..Исакова,.А.Г..Максина..М.:.Высшая.школа,.1987).

Предисловие
10

В.приложениях.приведены.значения..универсальных.физических.констант,..названия.и.обозначения.приставок.СИ.для.кратных.единиц,.таблицы.механических,.электрических,.оптических.и.
других..физических.характеристик.отдельных.сред,.а.также.таблица.коэффициентов..Стьюдента..для.расчета.погрешностей..измеряемых.величин.

Авторы.выражают.глубокую.признательность.рецензентам.за.

большой.труд.по.работе.над.рукописью,.критические.замечания,.
советы.и.предложения.которых.несомненно.улучшили.ее.содержание.

Раздел I
Элементы высшей математики 
и математической статистики

1. Основы дифференциального 

исчисления

Основные определения и формулы

Производной функции y = f(x).называют.предел,.к.которому.

стремится.отношение.приращения.функции.Δу.к.приращению.аргумента.Δх,.когда.последнее.стремится.к.нулю:

.
′ =
→
y
y
x
xlim
∆
∆
∆
0
.

Производная.y′ (часто.используют.также.обозначение.dy
dx ).показывает скорость.изменения.функции.у.по.аргументу.х..

Если.аргументом.функции.у.является.время.t,.то.производная.

dy
dt .определяет.скорость.изменения.функции.y(t).во.времени,.т.е..

определяет.скорость.этого.процесса..Например,.если.зависимость.
пути,.проходимого.телом,.от.времени.дается.функцией.x(t),.то.ее.
производная.определяет.скорость.движения.тела:.v(t) = x′(t).

Если. же. аргументом. функции. у. является. пространственная.

координата.x.(z.или.h.и.т.д.),.то.производная. dy
dx .называется.гра-

диентом. функции. у. и. определяет. скорость ее изменения в пространстве.
вдоль.этой.координаты.

Производная.функции.y(x) —.это.некоторая.функция.х: y′ = ϕ(x), 

поэтому.от.нее.можно.взять.еще.раз.производную,.которую.называют.второй.производной.от.у.по.х:

.
′′ =
′ ′ =
y
y
d y
dx
(
)
2

2 .

Аналогично.последовательно.находят.третью,.четвертую.и.другие.производные высших.порядков,.из.которых.наглядный.физиче

Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики
12

ский.смысл.имеет.только.вторая.производная.от.пути.x.(или.координаты).по.времени,.которая.определяет.ускорение.a тела:.х′′(t).= 
= v′(t).= a(t).

Геометрический смысл производной:.производная.функции.

y = f(x) в.точке х0 численно.равна.тангенсу.угла.наклона.α.касательной,. проведенной. к. графику. функции. в. этой. точке. (точке.
с.абсциссой.х0):.y′(x0).=.tg.α.

Производные некоторых элементарных функций
1).С.=.const,.(С)′.=.0..
5).(sin )
cos
x
x
′ =
.

2).(xn)′.=.n.·.xn.-.1..
6).(cos )
sin
x
x
′ = −
.

3).(ax)′ = ax · ln.a..
7).(tg )
cos
x
x
′ =
1
2
.

3а).(ex)′ = ex..
8).(ctg )
sin
x
x
′ = −
1
2
.

4).(log
)
ln
a x
x
a
′ =
⋅
1
..
9).(arcsin )
x
x
′ =
−
1
1
2 .

4а).(ln )
x
x
′ = 1 ..
10).(arccos )
x
x
′ = −
−
1
1
2 .

.
11).(arctg )
x
x
′ =

+
1
1
2 .

Правила дифференцирования

Пусть.u(x) и v(x).—.произвольные.функции.аргумента.x;.C.—.

постоянная.

Тогда:
1..(Cu)′ = C(u)′.

2..(u.+.v)′ = u′.+.v′.

3..(uv)′ = u′v + uv′.

4.. u
v
u v
v u
v




′
=
′
′
–
2
.

5..Производная.сложной.функции.y.=.f(u),.где.u.=.ϕ(x)′:

 
′ =
′ ⋅
′
y
y
u
x
u
x.

1. Основы дифференциального исчисления

Примеры нахождения производных

1..(
)
x
x
5
4
5
′ =
.

2..(
)
(
)
x
x
x
x

2
3
2
3
1
3
3
2
3
2
3
′ =
′ =
=
−
.

3..(
cos )
sin
2
6
1
2

3
2
x
x
x
x
x
x
+
+
′ =
+
−
.

4..(
sin )
sin
cos
x
x
x
x
x
x
2
2
2
′ =
+
.

5.. sin
cos
sin
x
x
x
x
x
x




′
=
−
2
.

6..(
)
(
)
(
)
e
e
x
xe
x
x
x
x
x
−
−
−
′ =
′ ⋅ −
′ = −
2
2
2
2
2
.

7.. ln sin
sin
(sin )
cos
sin
ctg
x
x
x
x
x
x
x


′ =
′ =
=
1
.

8..(sin
)
sin
(sin )
sin
cos
3
2
2
3
3
x
x
x
x
x
′ =
′ =
.

Примеры решения задач

задача 1. Зависимость.пути.S.(в.метрах),.проходимого.телом,.

от.времени.t.(в.секундах).определяется.законом.S =.2.+.t3.-.3t2.+.2t..
Найдите.скорость.v.и.ускорение.а.через.2.с.после.начала.движения.тела.

Решение.. Скорость. тела. представляет. собой. производную. от.

пути.по.времени:.

 
v = (S)′ =.(2.+.t3.-.3t2.+.2t)′.=.3t2.-.6t +.2.

Через.2.секунды.v (t = 2).=.3.·.22.-.6.·.2.+.2.=.2.м/с.
Ускорение.—.это.скорость.изменения.скорости.движения,.т.е..

ускорение.определяется.первой.производной.от.скорости.или.второй.производной.от.пути.по.времени:

.
a(t) = v(t)′.=.S(t)′′ = (3t2.-.6t +.2)′.= 6t - 6.

Через.2.секунды.a (t = 2) = 6.·.2.- 6.=.6 м/с2.

задача 2. Атмосферное. давление. P. с. увеличением. высоты. h.

над.поверхностью.Земли.изменяется.по.закону.P = P0e-kh,.где.P0.—.

Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики
14

давление.на.поверхности.Земли;.k — коэффициент,.который.можно.считать.постоянным.для.данной.температуры..Определите.градиент.давления. 

Решение. Упрощенно.градиент.некоторой.величины,.зависящей.

от.расстояния,.представляет.собой.производную.от.этой.величины.
по.пространственной.координате.h:

.
grad P.=.(P).′h..=.-kP0.e-kh.

Знак. «минус». в. полученном. результате. указывает. на. то,. что.

давление.убывает.с.увеличением.высоты.над.поверхностью.Земли.

задача 3..График.функции.имеет.вид.треугольника.(рис..1.1)..

Постройте.график.производной.этой.функции.

Решение. По.геометрическому.смыслу.производная.линейной.

функции. численно. равна. тангенсу. наклона. графика. этой. функции.к.оси.ОХ..Поэтому.на.первом.участке.(0.<.x.<.4) ′ =
=
y
6
4
1 5
, , 

а.на.втором.(4.<.x.<.10). ′ = −
= −
y
6
6
1. Поэтому.график.производной.будет.иметь.вид,.представленный.на.рис..1.2.

Задания для самостоятельной работы

1..Найдите.производные.следующих.функций:

1..у.=.2ах3..
3..y
e x
=
−
3
.
5..y
x
x
= 2
4
–
.

2..y
x
= 3
.
4..y.=.x3.+.2x2.+.8.
6..y.=.x4.-.ln.x.+.3x.

Рис. 1.1. График.

функции.y(x)

x

y

6

0
2
4
6
8
10

x

y0

–1

2
4
6
8
10

1

Рис. 1.2. График.

производной.y′(x)

1. Основы дифференциального исчисления

7. y
a
x
x
=
.
15..y
x
x
=
3

ln
.
23. y
x
x
= 3
3
ln
.

8. y
a
x
x
= 4
3 .
16..y
e
x
x
x
=
+
(
)ln .
24. y
x
=
ln(
).
tg

9..у.=.х5ln.x.
17..у.=.sin23x.
25..у.=.(sin2x.+.8x)11.

10..y
x
x
=
+

+

2
3
4

2

3 .
18. y
x
=
+
tg(
).
3
1
26..y.=.ecos.xsin.x.

11..y.=.logax.+.ax.+.8.19..y.=.sin(ln.x)..
27. y
x
=
ln
.

12..y
x
x
= sin
.
20. y
x
x
=
+
1
2

2
tg
ln(cos ). 28..y
x
= sin (
).
3 5

13..y
x
x
=
3

1
4
–
.
21..y
x
x
=
+
cos2

2
5
sin(
)
.
29..y
x
=
+
ln (
).
3 2
1

14..y
x
x
=
−
12
1
cos
sin
.
22..y.=.ln3(x2).
30..y
x
x
=
⋅
cos
ln
.
2

2. Решите.задачи:
2.1..График. функции. y(x) имеет.

вид. трапеции. (рис.. 1.3).. Постройте.
график.производной.этой.функции.

2.2..Зависимость. координаты. х.

дви.жущегося.тела.от.времени.t представлена.на.рис..1.4..Постройте.график.зависимости.скорости.этого.тела.
от.времени.v(t).

2.3..Количество. электричества. Q.

(в. кулонах),. протекшего. через. проводник.за.время.t.(в.секундах),.определяется. формулой. Q. =. 2t2. +. 3t +. 1..
Найдите.силу.тока.в.конце.пятой.секунды.

2.4..Укорочение.х длины.мышечного.волокна.во.времени.t в.ответ.на.
одиночный. электрический. импульс.
происходит.по.закону.х = atе-t,.где a.—.

x

y

4

0
2
4
6
8
10

Рис. 1.3. К.задаче.2.1

x

20

10

0
1
2
3
4
5
t

Рис. 1.4. К.задаче.2.2

Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики
16

константа. Найдите. зависимость. скорости. смещения. волокна. от.
времени.

2.5..Концентрация.С.некоторого.вещества.убывает.с.глубиной.х.

проникновения.его.в.биоткань.по.закону

.
C x
C
x
k
( ) =
−




0

2
1
,

где.С0 —.константа,.определяющая.концентрацию.на.поверхности.
биоткани;.k — постоянная..Определите.градиент.концентрации.