Сопротивление материалов в примерах и задачах

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.



Н.М. АТАРОВ


СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ


            УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


2-е издание, дополненное


Рекомендовано
         Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению «Строительство»



znanium.com
электронно-библиотечная система

Москва
ИНФРА-М


2024

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73
      А92



      Рецензенты:
         кафедра «Прочность материалов и конструкций» Российского университета дружбы народов (заведующий кафедрой — доктор технических наук, профессор Кривошапко С.Н.);
         Шапошников Н.Н. — доктор технических наук, профессор (Московский государственный университет путей сообщения), член-корреспондент Российской академии архитектуры и строительных наук


      Атаров Н.М.
А92 Сопротивление материалов в примерах и задачах : учебное пособие / Н.М. Атаров. — 2-е изд., доп. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 428 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/1991017.
         ISBN 978-5-16-018387-9 (print)
         ISBN 978-5-16-111407-0 (online)
         Учебное пособие содержит подробно рассмотренные и решенные задачи по дисциплине «Сопротивление материалов», а также краткие теоретические сведения и формулы, задачи для самостоятельного решения. Окажет помощь при выполнении расчетно-графических работ, подготовке к контрольным работам, компьютерному тестированию, зачетам и экзаменам.
         Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
         Предназначено для студентов строительных направлений подготовки и специальностей вузов. Может быть полезно студентам других технических направлений подготовки и специальностей.

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73













ISBN 978-5-16-018387-9 (print)
ISBN 978-5-16-111407-0 (online)

                                             © Атаров Н.М., 2010
                © Атаров Н.М., 2023, с изменениями

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Данное учебное пособие предназначено для студентов строительных специальностей вузов и факультетов. Оно также может быть полезно студентам других технических специальностей.
   Пособие построено в форме подробного разбора решений задач на все основные разделы курса сопротивления материалов, включая основы теории упругости. Большинство задач являются типовыми и характерными для расчета строительных конструкций. Они входят как составные части в расчетно-графические работы, предлагаются студентам для самостоятельного решения при подготовке к компьютерному тестированию, к зачетам и экзаменам. Некоторая часть задач содержит элементы повышенной сложности.
   В начале каждой главы приведены основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач. В большинстве глав даны задачи для самостоятельного решения с ответами.
   Учебное пособие методически связано с учебниками по сопротивлению материалов с основами теории упругости, пластичности и строительной механики [5], [6], в написании которых автор принимал непосредственное участие.
   Автор учебного пособия, профессор кафедры сопротивления материалов МИСИ—МГСУ, более 50 лет проводит педагогическую работу на факультете «Промышленное и гражданское строительство». Он является автором многочисленных учебных пособий и методических указаний. Данная работа является результатом их обобщения и переработки.
   Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам по кафедре, особенно профессорам В.И. Андрееву, Г.С. Варданяну, А.А. Горшкову, А.Н. Леонтьеву и доцентам А.Я. Астаховой, А.В. Ильяшенко, А.Г. Паушкину за ценные советы и критические замечания.
   С благодарностью автор отмечает помощь в методической работе, оказанную ему товарищем по кафедре и другом доцентом Ю.Д. Насонкиным, талантливым ученым и педагогом, безвременно скончавшимся в 1998 году.
   Большую признательность автор выражает издательству ИНФРА-М за многолетнее творческое сотрудничество и помощь в издании учебников и учебных пособий. Особо хочется отметить начальника технической редакции А.Е. Щукина и дизайнера

3

А.И. Паркани, высокопрофессионально и тщательно подготовившего рукопись учебного пособия к изданию.
   В учебном пособии использована Международная система единиц измерения (СИ). Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в следующей таблице:

   Наименование              Единица              Соотношение    
     величины        Наименование  Обозначение       единиц      
Сила, нагрузка, вес     Ньютон          Н      1 Н = 0,1 кгс     
                                               1 кН ~ 0,1 тс     
Линейная нагрузка   Ньютон на метр     Н/м     1 Н/м ~ 0,1 кгс/м 
                                               1 кН/м ~ 0,1 тс/м 
Момент силы,         Ньютон-метр       Нм      1 Нм ~ 0,1 кгс-м  
момент пары сил                                1 кНм ~ 0,1 тс-м  
Напряжение,            Паскаль         Па      1 Па ~ 0,1 кгс/м2 
давление                                       1 МПа ~ 10 кгс/см2

   При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы измерения используется кН/см² (1 кН/см² = 10 МПа).
   После изучения пособия студент будет:
   знать
• основные разделы курса сопротивления материалов;
• расчетные формулы для определения напряжений и деформаций в стержнях и пластинах при силовом и тепловом воздействиях;
   уметь
• применять полученные знания для решения задач расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость;
• анализировать расчетные схемы стержней и стержневых систем;
• формулировать граничные и краевые условия;
   владеть
• навыками самостоятельного подхода к расчету элементов конструкций, выбору и анализу расчетных схем, правильному применению формул и уравнений для напряженного и деформированного состояний.

4

Глава 1




                ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ




КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

  Центральное растяжение или сжатие прямого стержня имеет место в том случае, когда все приложенные к стержню нагрузки или их равнодействующие направлены вдоль его оси (осевые нагрузки). При этом в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, которые можно привести к одному внутреннему усилию — продольной силе N. При известных нагрузках и опорных реакциях продольная сила в поперечных сечениях стержня может быть определена статически с помощью метода сечений (рис. 1.1).


   Равновесие левой части:
£ X = 0, P1 - qa + N = 0, N = qa - P 1.
   Таким образом, продольная сила в любом сечении стержня определяется как сумма проекций всех нагрузок, приложенных к одной из частей стержня, на его ось. Растягивающую продольную силу будем считать положительной, а сжимающую — отрицательной (рис. 1.2).
   Продольная сила в общем случае изменяется по длине стержня. Между продольной силой и распределенной осевой нагрузкой имеет место следующая дифференциальная зависимость:


5

(растяжение)

dN dx

-q(x).

(1.1)

N < 0
(сжатие)

Рис. 1.2


   Зависимость (1.1) позволяет установить характер изменения продольной силы в зависимости от вида распределенной осевой нагрузки.
   Нормальные напряжения в стержне при центральном растяжении и сжатии принимаются постоянными по поперечному сечению. Они определяются по формуле


N



F

(1.2)


где F — площадь поперечного сечения стержня (рис. 1.3).
   Деформация стержня при центральном растяжении и сжатии характеризуется осевыми перемещениями поперечных сечений (рис. 1.4), которые связаны между собой следующей формулой:

ui = ui-1 + A li,

(1.3)

где Alᵢ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня между сечениями xᵢ и xᵢ₋₁.


Рис. 1.3

Рис. 1.4


   Относительные линейные деформации продольных волокон стержня связаны с осевыми перемещениями формулой Коши:

e x

du

e dx

(1.4)

   Размеры поперечных сечений стержня при растяжении уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются (рис. 1.5). Это явление

6

называется поперечной деформацией и характеризуется коэффициентом Пуассона:


£‘
е

V =

(1.5)


где £‘ и £ — относительные линейные поперечные и продольные деформации

, A a         A( dx)
                        £‘ =-----, £ =
a dx

(1.6)

   Деформации £‘ и £ всегда имеют противоположные знаки. Коэффициент Пуассона определяется экспериментально с помощью специальных приборов (тензометров) и для различных материалов изменяется в пределах 0 < v < 0,5.
   Для линейно-упругих материалов зависимость между о и £ характеризуется законом Гука при растяжении и сжатии (рис. 1.6):

о = E£,


(1.7)

где Е — модуль упругости при растяжении и сжатии, определяемый экспериментально для каждого материала. Например, для стали он равен Е = (2 + 2,1) • 10⁵ МПа.

4
И р о = — F
 |р

Рис. 1.6

   Абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной l в общем случае определяется по формуле

7

д i =\Ndx, iEF

(1.8)

где EF — жесткость стержня при растяжении и сжатии. При постоянных по длине стержня жесткости и продольной силе абсолютное удлинение или укорочение определяется по формуле

При EF = const,         Nl
Д l =---.
N = const          EF

(1.9)

   Если продольная сила или жесткость изменяются по длине стержня, то при вычислении Д l удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла (1.8). Например, при Е = = const формулу (1.8) можно представить в следующем виде:
Д l = — Г N dx = — [g dx = — Q„,       (1.10)
E 00 F E 00 E g
где Qc — площадь эпюры о на данном участке.
   При постоянной по длине жесткости стержня EF центральное растяжение и сжатие описывается следующим дифференциальным уравнением:

EFu "(x) = - q (x).

(1.11)

   Дифференциальное уравнение (1.11) и соотношение (1.1) позволяют установить характер изменения продольной силы и осевых перемещений по длине стержня в зависимости от вида осевой распределенной нагрузки q(x). Например, для двух наиболее распро

страненных случаев имеем:
   1. На участках, где q = 0, N = const,
u(x) — линейный закон.
   2. На участках, где q = const, N(x) — линейный закон, u(x) — квадратичный закон.
   Потенциальная энергия деформации стержня длиной l при центральном растяжении и сжатии в общем случае определяется по формуле

l N2
U = [---dx.
02EF

(1.12)

   Расчеты на прочность стержней, являющихся элементами строительных конструкций, производятся по методу предельных состояний. Расчетные формулы имеют следующий вид.

8

Условие прочности

N
О = F < YcR.


(1.13)



            Формула подбора сечения


N
F > —.                         (1.14)
Y cR
   Формула определения величины допустимой нагрузки
N = kP < yCRF.                 (1.15)
   В формулах (1.13)—(1.15) N — продольная сила, вычисленная от действия расчетных нагрузок Рр = Pн^, Рн — нормативное значение нагрузки, yf — коэффициент надежности по нагрузке (коэффициент перегрузки), R — расчетное сопротивление материала стержня, yC — коэффициент условий работы и k — параметр нагрузки, определяемый из уравнений равновесия.
   Значения R, yf и yC приведены в соответствующих разделах СНиП по строительным конструкциям.
   Расчет на прочность элементов не строительных конструкций выполняется по методу допускаемых напряжений. Условие прочности имеет следующий вид:
                            N
а = - < [а],                   (1.16)
                            F
где [о] — допускаемое напряжение, значение которого приведено в соответствующих нормативных документах.
   При определении разрушающей (предельной) нагрузки для конструкций из материалов с пластическими свойствами используется схематизированная диаграмма Прандтля (рис. 1.7). В этом случае разрушающее (предельное) усилие в стержне при растяжении-сжатии определяется по формуле
Nпред = N р = ОF,                (1.17)
где от — предел текучести материала.

Рис. 1.7

9

  ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

  Задача 1.1


   Стержень ступенчато-постоянного сечения находится под действием показанных на рис. 1.8, а осевых нагрузок. Требуется построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня и построить эпюру осевых перемещений. В расчетах принять Е = = 2 ■ 104 МПа = 2 ■ 10³ кН/см².

а)

~F = 100 см²

F3 = 75 см²

70 кН
F2 = 50 см² "30 кН/м

20 кН/м

0,09

б) N) (кН)   в) @ (МПа) г) @ (см) 0,075

4

0,01

4

/0,0034

min

= 20 кН

20

2

Рис. 1.8



   Определяем из уравнения равновесия опорную реакцию в месте закрепления стержня:
   £ X = 0, -20 ■ 1,5 + 70 - 30 ■ 2 + R = 0, R = 20 кН.
   Поскольку реакция оказалась положительной, ее направление в начале расчета выбрано правильно. Для построения эпюр N и о вычисляем значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная со свободного конца.

1. Сечение

2. Сечение

x = 5,5 м (свободный конец)
N = о = 0 (сосредоточенная сила отсутствует).
x = 4 м (выше границы участков)
N = -20 ■ 1,5 = -30 кН (сжатие),
-30            2
                G = — = -0,4 кН/см² = -4 МПа.

10