Сопротивление материалов в примерах и задачах

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г.





Н.М. АТАРОВ



СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ



              Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство» (квалификация (степень) «бакалавр»)

znanium.com

Москва ИНФРА-М 2022

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121я73

     А92




      Рецензенты:
         кафедра «Прочность материалов и конструкций» Российского университета дружбы народов (заведующий кафедрой, профессор, доктор технических наук Кривошапко С.Н.);
         Шапошников Н.Н. — член-корреспондент Российской академии архитектуры и строительных наук, профессор, доктор технических наук (Московский государственный университет путей сообщения)




       Атаров Н.М.
А92      Сопротивление материалов в примерах и задачах : учебное пособие /
       Н.М. Атаров. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 407 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

          ISBN 978-5-16-003871-1 (print)
          ISBN 978-5-16-104982-2 (online)

          В учебном пособии приведены подробно рассмотренные и решенные задачи по курсу сопротивления материалов для студентов строительных специальностей вузов. Может быть полезно студентам других технических специальностей. Приведены краткие теоретические сведения и формулы, даны задачи для самостоятельного решения.
          Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения по дисциплине «Сопротивление материалов» для вузов и факультетов строительного профиля.
          Предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-графических работ, при подготовке к контрольным работам, компьютерному тестированию, зачетам и экзаменам.


                                                      УДК 539.3(075.8) ББК 30.121я73














ISBN 978-5-16-003871-1 (print)
ISBN 978-5-16-104982-2 (online)

© Атаров Н.М., 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ



   Данное учебное пособие предназначено для студентов строительных специальностей вузов и факультетов. Оно также может быть полезно студентам других технических специальностей.
   Пособие построено в форме подробного разбора решений задач на все основные разделы курса сопротивления материалов, включая основы теории упругости. Большинство задач являются типовыми и характерными для расчета строительных конструкций. Они входят как составные части в расчетно-графические работы, предлагаются студентам для самостоятельного решения при подготовке к компьютерному тестированию, к зачетам и экзаменам. Некоторая часть задач содержит элементы повышенной сложности.
   В начале каждой главы приведены основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач. В большинстве глав даны задачи для самостоятельного решения с ответами.
   Учебное пособие методически связано с учебниками по сопротивлению материалов с основами теории упругости, пластичности и строительной механики [7], [8], в написании которых автор принимал непосредственное участие.
   Автор учебного пособия, профессор кафедры сопротивления материалов МИСИ—МГСУ, более 40 лет проводит педагогическую работу на факультете «Промышленное и гражданское строительство». Он является автором многочисленных учебных пособий и методических указаний. Данная работа является результатом их обобщения и переработки.
   Автор выражает глубокую благодарность своим коллегам по кафедре, особенно профессорам В.И. Андрееву, Г.С. Варданяну, А.А. Горшкову, А.Н. Леонтьеву и доцентам А.Я. Астаховой, А.В. Ильяшенко, А.Г. Паушкину за ценные советы и критические замечания.
   С благодарностью автор отмечает помощь в методической работе, оказанную ему товарищем по кафедре и другом доцентом Ю.Д. Насонкиным, талантливым ученым и педагогом, безвременно скончавшимся в 1998 году.
   Большую признательность автор выражает издательству ИНФРА-М за многолетнее творческое сотрудничество и помощь в издании учебников и учебных пособий. Особо хочется отметить начальника технической редакции А.Е. Щукина и дизайнера

3

А.И. Паркани, высокопрофессионально и тщательно подготовившего рукопись учебного пособия к изданию.
   В учебном пособии использована Международная система единиц измерения (СИ). Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в следующей таблице:

   Наименование              Единица              Соотношение    
     величины        Наименование  Обозначение       единиц      
Сила, нагрузка, вес     Ньютон          Н      1Н = 0,1кгс       
                                               1 кН ~ 0,1 тс     
Линейная нагрузка   Ньютон на метр     Н/м     1 Н/м ~ 0,1 кгс/м 
                                               1 кН/м ~ 0,1 тс/м 
Момент силы,         Ньютон-метр       Нм      1 Нм --- 0,1 кгсм 
момент пары сил                                1 кНм~0,1 тем     
Напряжение,            Паскаль         Па      1 Па = 0,1 кгс/м2 
давление                                       1 МПа = 10 кгс/см2

   При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы измерения используется кН/см² (1 кН/см² =10 МПа).

Глава 1
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

  Центральное растяжение или сжатие прямого стержня имеет место в том случае, когда все приложенные к стержню нагрузки или их равнодействующие направлены вдоль его оси (осевые нагрузки). При этом в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, которые можно привести к одному внутреннему усилию — продольной силе N. При известных нагрузках и опорных реакциях продольная сила в поперечных сечениях стержня может быть определена статически с помощью метода сечений (рис. 1.1).


   Равновесие левой части:
£йГ = О, P^-qa + N-Q, N=qa-P}.
   Таким образом, продольная сила в любом сечении стержня определяется как сумма проекций всех нагрузок, приложенных к одной из частей стержня, на его ось. Растягивающую продольную силу будем считать положительной, а сжимающую — отрицательной (рис. 1.2).
   Продольная сила в общем случае изменяется по длине стержня. Между продольной силой и распределенной осевой нагрузкой имеет место следующая дифференциальная зависимость:


5

(растяжение)

dN dx

(1.1)

Л<0 (сжатие)

= ~Я(х).

Рис. 1.2


   Зависимость (1.1) позволяет установить характер изменения продольной силы в зависимости от вида распределенной осевой нагрузки.
   Нормальные напряжения в стержне при центральном растяжении и сжатии принимаются постоянными по поперечному сечению. Они определяются по формуле


N



F

(1.2)


где F— площадь поперечного сечения стержня (рис. 1.3).
   Деформация стержня при центральном растяжении и сжатии характеризуется осевыми перемещениями поперечных сечений (рис. 1.4), которые связаны между собой следующей формулой:

mz = Mₘ + A/z,

(1-3)

где А/г — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня между сечениями хг и Xj_ᵥ

Рис. 1.3

Рис. 1.4

   Относительные линейные деформации продольных волокон стержня связаны с осевыми перемещениями формулой Коши:

е

X

du

£ dx

(1.4)

   Размеры поперечных сечений стержня при растяжении уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются (рис. 1.5). Это явление

6

называется поперечной деформацией и характеризуется коэффициентом Пуассона:


е' е

v =

(1-5)


где е' и е — относительные линейные поперечные и продольные деформации
                      ,    Ac A(dx)                      ..
е =-----, Е = -у^.                   (1.6)
                           а ах

   Деформации е'и е всегда имеют противоположные знаки. Коэффициент Пуассона определяется экспериментально с помощью специальных приборов (тензометров) и для различных материалов изменяется в пределах 0 < v < 0,5.
   Для линейно-упругих материалов зависимость между о и е характеризуется законом Гука при растяжении и сжатии (рис. 1.6):
о = £е,                      (1.7)
где Е — модуль упругости при растяжении и сжатии, определяемый экспериментально для каждого материала. Например, для стали он равен Е= (2 2,1) • 10⁵ МПа.

Рис. 1.6

   Абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной I в общем случае определяется по формуле

7

U = \—dx,                     (1.8)

где EF— жесткость стержня при растяжении и сжатии. При постоянных по длине стержня жесткости и продольной силе абсолютное удлинение или укорочение определяется по формуле
При EF = const,   Nl
Al ----.             (1.9)
N = const     EF
   Если продольная сила или жесткость изменяются по длине стержня, то при вычислении А/ удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла (1.8). Например, при Е = - const формулу (1.8) можно представить в следующем виде:
1 г N If 1 = E!7dx = E!°dx=E°°’               ⁽l¹⁰⁾
где Qₐ — площадь эпюры о на данном участке.
   При постоянной по длине жесткости стержня EF центральное растяжение и сжатие описывается следующим дифференциальным уравнением:

EFu"(x) = -q(x).

(1.11)

   Дифференциальное уравнение (1.11) и соотношение (1.1) позволяют установить характер изменения продольной силы и осевых перемещений по длине стержня в зависимости от вида осевой распределенной нагрузки q(x). Например, для двух наиболее распространенных случаев имеем:
   1. На участках, где q - О, N- const,
                             и(х) — линейный закон.
   2. На участках, где q - const, N(x) — линейный закон, и(х) — квадратичный закон.
   Потенциальная энергия деформации стержня длиной I при центральном растяжении и сжатии в общем случае определяется по формуле





                i—





dx.

(1-12)

   Расчеты на прочность стержней, являющихся элементами строительных конструкций, производятся по методу предельных состояний. Расчетные формулы имеют следующий вид.

8

Условие прочности

N


Формула подбора сечения

F>—.
4cR
Формула определения величины допустимой нагрузки
N=kP<ycRF.


(1-13)

(1.14)

(1.15)

   В формулах (1.13)—(1.15) N— продольная сила, вычисленная от действия расчетных нагрузок Рр = _РН^, Рн — нормативное значение нагрузки, коэффициент надежности по нагрузке (коэффициент перегрузки), R — расчетное сопротивление материала стержня, ус — коэффициент условий работы и к — параметр нагрузки, определяемый из уравнений равновесия.
   Значения R, и ус приведены в соответствующих разделах СНиП по строительным конструкциям.
   Расчет на прочность элементов не строительных конструкций выполняется по методу допускаемых напряжений. Условие прочности имеет следующий вид:


a = yS[al,


(1-16)

где [о] — допускаемое напряжение, значение которого приведено в соответствующих нормативных документах.
   При определении разрушающей (предельной) нагрузки для конструкций из материалов с пластическими свойствами используется схематизированная диаграмма Прандтля (рис. 1.7). В этом случае разрушающее (предельное) усилие в стержне при растяжении-сжатии определяется по формуле


,V =N = пред разр
где от — предел текучести материала.


(1.17)

Рис. 1.7

9

   ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

   Задача 1.1

   Стержень ступенчато-постоянного сечения находится под действием показанных на рис. 1.8, а осевых нагрузок. Требуется построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня и построить эпюру осевых перемещений. В расчетах принять Е = = 2 ■ 10⁴ МПа = 2 ■ 10³ кН/см².


Рис. 1.8

   Определяем из уравнения равновесия опорную реакцию в месте закрепления стержня:
   £Х = 0, -20-1,5 + 70 - 30-2+ 7? = О, R = 20кН.
   Поскольку реакция оказалась положительной, ее направление в начале расчета выбрано правильно. Для построения эпюр 7V и о вычисляем значения продольных сил и нормальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная со свободного конца.
   1. Сечение х - 5,5 м (свободный конец)
               N= о = 0 (сосредоточенная сила отсутствует).
   2. Сечение х - 4 м (выше границы участков)
N= -20 • 1,5 = -30 кН (сжатие),
-30             9
о =     = -0,4 кН/см² = -4 МПа.


10