Линейная алгебра

DzǯǴǬǰǴǧȆ ǧDzǪǬǨǷǧ 
ǺȞȌȈȔȕȌ ȖȕȘȕȈȏȌ 
dzȕȘȑȉȇ    ǩȕȒȕȊȋȇ 
«ǯȔțȗȇ-ǯȔȍȌȔȌȗȏȦ» 
2023 
1 

УДК 512.6 
ББК 22.143 
 
Л59 
 
 
Авторы: 
Воронин О. И., Жулего В. А., Демидов С. М., 
Чернецов Р. А., Попов А. М. 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор 
С. М. Мужичек (ГосНИИАС); 
доктор физико-математических наук, профессор 
С. П. Струнков (НИИ системных исследований РАН) 
 
 
 
 
Л59   
Линейная алгебра : учебное пособие / [Воронин О. И. и др.]. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. – 176 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1556-9  
 
Изложены основные разделы линейной алгебры и аналитической 
геометрии. Содержит большое количество примеров, поясняющих существо рассматриваемых тем. 
Для студентов высших учебных заведений и колледжей, изучающих дисциплины «Линейная алгебра» и «Математика». 
 
УДК 512.6 
ББК 22.143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1556-9 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ............................................................................................................. 5 
Введение .................................................................................................................... 6 
Глава 1. Операции над матрицами. Определители и их свойства ............... 9 
1.1.  Основные сведения о матрицах .................................................................. 9 
1.2.  Операции над матрицами  ......................................................................... 12 
1.3.  Определители квадратных матриц  .......................................................... 18 
1.4.  Обратная матрица  
...................................................................................... 26 
1.5.  Ранг матрицы .............................................................................................. 29 
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений ............................ 35 
2.1.  Основные понятия и определения  ........................................................... 35 
2.2.  Система n линейных уравнений с n неизвестными.  
 Метод обратной матрицы и правило Крамера ........................................ 36 
2.3.  Метод Гаусса 
............................................................................................... 41 
2.4.  Система m линейных уравнений с n неизвестными ............................... 46 
2.5.  Системы линейных однородных уравнений ........................................... 53 
Глава 3. Векторы на плоскости и в пространстве 
.......................................... 57 
3.1.  Основные понятия 
....................................................................................... 57 
3.2.  n-мерный вектор и пространство Rn  
......................................................... 62 
3.3.  Линейное пространство  ............................................................................. 64 
3.4.  Линейная зависимость  ............................................................................... 67 
3.5.  Размерность и базис линейного пространства ......................................... 71 
3.6.  Евклидово пространство ............................................................................ 74 
3.7.  Декартова система координат 
.................................................................... 78 
3.8.  Векторное произведение векторов ............................................................ 80 
3.9.  Понятие линейного оператора. Матрица как линейный оператор ........ 85 
Глава 4. Собственные значения квадратных матриц ................................... 89 
4.1.  Характеристическое уравнение ................................................................. 89 
4.2.  Собственные значения неотрицательных матриц ................................... 92 
4.3.  Квадратичные формы ................................................................................. 94 
Глава 5. Комплексные числа ............................................................................ 102 
5.1.  Понятие комплексного числа 
................................................................... 102 
5.2.  Тригонометрическая форма записи комплексного числа 
..................... 103 
5.3.  Действия над комплексными числами 
.................................................... 104 
5.4.  Показательная форма комплексного числа ............................................ 107 
Глава 6. Элементы аналитической геометрии 
.............................................. 110 
6.1.  Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой 
............................. 110 
6.2.  Условия параллельности и перпендикулярности прямых 
.................... 114 
6.3.  Расстояние от точки до прямой ............................................................... 118 
6.4.  Окружность и эллипс 
................................................................................ 120 
6.5.  Гипербола и парабола  .............................................................................. 125 
6.6.  Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве 
................ 129 
6.7.  Геометрия кривых и поверхностей в трехмерном пространстве ......... 135 
3 

Глава 7. Выпуклые множества и их свойства 
............................................... 142 
7.1.  Понятие выпуклого множества ............................................................... 142 
7.2.  Полупространство как выпуклое множество ......................................... 143 
7.3.  Выпуклые множества в пространстве Rn ................................................ 143 
Литература 
............................................................................................................ 146 
Ответы на задачи ................................................................................................ 147 
Предметный указатель 
....................................................................................... 151 
Приложения 
.......................................................................................................... 153 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и колледжей. Книга является одним из пособий по дисциплине «Линейная 
алгебра» в соответствии с Федеральным государственным образовательным 
стандартом высшего профессионального образования. Основной причиной появления пособия является отсутствие на настоящее время полного и систематического изложения основных разделов дисциплины «Линейная алгебра» в соответствии с требованиями ФГОС ВПО. 
Кроме того, книга может быть использована в качестве учебного пособия 
для проведения занятий по дисциплине «Математика», читаемой бакалаврам 
разных направлений.   
Материал написан на основе многолетнего опыта чтения лекций на соответствующих факультетах. Состоит из семи глав, в которых освещаются основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии. Пособие  содержит 
большое количество примеров, поясняющих существо рассматриваемых параграфов. В конце каждого параграфа приводятся вопросы для самоконтроля, а 
также задачи для самостоятельного решения. 
Нумерация рисунков и таблиц произведена отдельно по частям пособия: 
первая цифра означает номер параграфа, вторая – номер рисунка или таблицы в 
параграфе. Начало и окончание примера отмечено значком Ź. Авторы пособия 
стремились в минимальном объеме на доступном уровне изложить все разделы 
ФГОС ВПО без использования сложных формул, трактовок и доказательств 
теорем. 
Для углубленного изучения отдельных тем содержания книги приводится 
список литературы. В конце книги в виде приложений оформлен справочный 
материал по элементарной математике, основные формулы линейной алгебры и 
аналитической геометрии. 
Авторы считают приятным долгом поблагодарить рецензентов: доктора 
технических наук, профессора  С. М. Мужичека (ГосНИИАС), доктора физикоматематических наук, профессора  С. П. Стрункова (НИИ системных исследований РАН), взявших на себя нелегкий труд – рецензирование рукописи книги, 
а также Л. Н. Марданову (литературное редактирование и корректура),  
Р. Н. Петренко (верстка) за их внимание и творческую работу по подготовке 
пособия к изданию. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Математика (в переводе с греческого μανημα – учение, наука, учусь через размышление) – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Более просто математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. 
С глубокой древности, по мере развития человеческого общества, накапливалось все больше сведений о числах, размерах и формах различных предметов. Появилась необходимость приводить эти сведения в порядок, чтобы их 
легче было передавать от одного поколения к другому. Так постепенно зарождалась математика. 
Зачатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за четыре 
тысячи лет до нашего времени. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас 
египетские папирусы, клинописные вавилонские таблички, в которых встречаются решения различных арифметических, алгебраических и геометрических 
задач.  
Большого расцвета достигла математика в Древней Греции. Более чем за 
300 лет до нашей эры там появились «Начала» Евклида – сочинение, в котором 
систематически излагалась геометрия примерно в том объеме, в котором она 
ныне изучается в средней школе, а также давались сведения о делимости чисел 
и о решении квадратных уравнений.  
В III веке до н. э. Архимед нашел способ определения площадей, объемов 
и центров тяжести различных простых фигур. В конце III века до н. э. Аполлоний написал книгу о свойствах некоторых замечательных кривых – эллипса, 
гиперболы и параболы. Если к этому добавить, что во II веке до н. э. Птолемей 
изложил основы тригонометрии и дал таблицы синусов, то станет ясно, какой 
вклад в развитие математических знаний внесли древние греки. 
Далее математика развивалась трудами китайских, индийских, арабских 
ученых. Особенно большой вклад был внесен ими в развитие алгебры. В Западной Европе во времена средневековья наступил длительный застой в развитии 
науки, из-за чего европейским ученым пришлось потратить немало усилий, 
чтобы усвоить труды их предшественников. Лишь после этого они смогли двигаться вперед самостоятельно. Расцвет математики в Европе начался с XVII века. В это время зародились новые отрасли математики, которые теперь принято 
относить к высшей математике. 
Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. Их создание связано с именами великих ученых XVII века Р. Декарта, И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, 
Ж. Лагранжа, К. Гаусса, О. Коши и многих других. Это позволило теоретически 
изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику вошли координаты, переменные величины и понятие 
функции.  
Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Возникновение анали6 

тической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря переводу ее на язык алгебры и анализа. С другой стороны, 
открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. 
С XVII века начинается развитие очень важного раздела математики – 
теории вероятностей. В ее основе лежали труды таких выдающихся математиков, как Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс. При этом первые вклады в теорию 
вероятностей были сделаны в связи с изучением азартных игр. Однако уже в 
конце XVII века начали пользоваться теорией вероятностей при страховании 
кораблей от случайностей.  
В XVIII веке для развития теории вероятностей много сделали швейцарец 
Я. Бернулли, французы С. Лаплас и С. Пуассон, «король математиков» немецкий ученый К. Гаусс. В середине XIX века большой сдвиг произвели труды 
знаменитого русского математика П. Чебышева. Он нашел новые методы решения ранее поставленных задач и сумел создать вокруг себя большую группу 
молодых ученых; некоторые из них, например, А. Марков, А. Ляпунов, впоследствии достигли мировой известности. Также нужно отметить большой 
вклад в теорию вероятностей российского ученого А. Колмогорова. 
Невозможно проследить здесь, хотя бы и бегло, успехи математики за последние столетия. Новые теории в ней возникают теперь не только в результате 
запросов других наук, но и вследствие внутренней потребности самой математики. Замечательным примером такой теории является сферическая геометрия, 
созданная российским ученым Н. Лобачевским. 
Таким образом, историю математики кратко (по предложению академика 
Колмогорова А. Н.) можно условно разделить на четыре периода: 
1. Период зарождения (IV в. до н. э.). 
Появление у вавилонян методов решения квадратных уравнений, теорема 
Пифагора, измерение земельных участков, составление календарей, проектирование строительства и т. д. К сожалению, теоретические разработки этого периода до нашего времени не дошли. 
2. Период элементарной математики (VI в. до н. э. – XVI в. н. э.). 
Математика рассматривается древними греками как средство познания 
природы. Пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числах и 
числовых отношениях. Начало дедуктивного и аксиоматического метода. 
Дедуктивная теория Аристотеля (384–322 гг. до н. э.). Первое изложение 
геометрии Евклида (около 300 лет до н. э.). Геометрическая система в виде 
«Начала» свыше 20 веков до XIX в. являлась образцом логического метода. 
Развитие в работах Паша (1882 г.), Пеано (1889 г.), Пиери (1889 г.). 
3. Период создания математики переменных величин (XVI–XVIII вв.); 
– переменные величины в аналитической геометрии Р. Декарта  
(1596–1650 гг.); 
– дифференциальное и интегральное исчисление в трудах И. Ньютона 
(1642–1727 гг.) и Г. Лейбница (1646–1716 гг.); 
– теория действительных чисел. 
 
7 

4. Современная математика (XVIII в. – до наших дней): 
– неевклидова геометрия Н. Лобачевского (1792–1856 гг.); 
– развитие аксиоматических методов в работах Д. Гильберта (1862–1943 гг.), 
А. Пуанкаре (1854–1912 гг.) и т. д. 
– комплексные числа, кватернионы У. Гамильтона (1805–1865 гг.), О. Хевисайда (1850–1925 гг.). 
Потребности развития самой математики, «математизация» других областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению 
новых математических дисциплин, например, исследования операций, теории 
игр, математической экономики и др. 
 
Роль математики в системе фундаментальной подготовки  
современного инженера 
 
Какими качествами и знаниями должен обладать инженер?  
Прежде всего – способностью к аналитической работе, умением сортировать информацию и классифицировать различные факты. Поэтому ему не обойтись без отличного знания математики. На всех факультетах высших учебных 
заведений изучению этого предмета уделяется особое внимание. «Корпеть» над 
формулами и задачами студентам вузов приходится вплоть до окончания вуза. 
Прогноз в практике немыслим без знаний и умения применять математические модели. В свою очередь, модели невозможно успешно освоить без математики – азбуки этих моделей. 
Поэтому математическое образование является важнейшей составляющей 
в системе фундаментальной подготовки современного инженера. Математика 
для него является не только мощным средством решения прикладных задач, но 
и элементом общей культуры. 
Профессиональный уровень инженера во многом зависит от того, освоил 
ли он современный математический аппарат и умеет ли использовать его при 
анализе сложных технических процессов и принятии решений. Таким образом, 
в подготовке инженеров изучение математики играет важную роль. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 

Глава 1 
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. 
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА 
 
1.1. Основные сведения о матрицах 
 
На практике обширный числовой материал очень часто записывается в 
виде таблиц.  
Пусть некая фирма производит товары трех наименований А, В, С и поставляет их в четыре магазина. Тогда объемы поставки за какой-то определенный день, например 1 сентября 2008 г., менеджер отдела сбыта может записать 
в виде таблицы 
 
Номер 
магазина 
Наименование изделия 
А 
В 
С 
№ 1 
1 
2 
0 
№ 2 
2 
3 
1 
№ 3 
4 
1 
5 
№ 4 
2 
0 
1 
 
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
 
Из таблицы видно, что в этот день фирма поставила магазину № 1 одно 
изделие А, два изделия В, а изделий С не поставляла. Магазину № 2 было поставлено два изделия А, три изделия В и одно изделие С и т. д. При каждодневной поставке менеджеру нет необходимости каждый раз писать «шапку» таблицы (он ее запоминает наизусть). Поэтому эту таблицу можно представить в 
следующем виде: 
 
1
2
0
2
3
1
4
1
5
2
0
1 .
 
Такая таблица в математике называется матрицей.  
Итак, матрица – это прямоугольный массив чисел, записанный в форме 
строк и столбцов. Каждое число в матрице называется элементом матрицы. 
Чаще всего матрица заключается в круглые скобки, но в литературе встречаются и другие обозначения. Например, вместо (…) пишут […] или ||…||. 
Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая 
из числа ее строк m и числа столбцов n. Обычно пишут m
n
×
 и читают: «размерность m на n». Но это не значит, что размерность матрицы представляет собой обычное произведение m n
⋅, которое равно количеству элементов матрицы.  
9 

Будем обозначать матрицы большими латинскими буквами А, В, С и т. д., 
а элементы матриц – соответствующими им малыми латинскими буквами с 
двумя индексами aij, bij, cij и т. д.: первый индекс i обозначает номер строки, в 
которой находится данный элемент, а второй индекс j – номер столбца. Индексы i, j определяют  адрес элемента матрицы. 
Тогда в общем виде матрица размерностью m
n
×
 может быть записана 
следующим образом: 
 
11
12
1
n
21
22
2
n
. 
a
a
a
a
a
a
А
a
a
a
...
...
...
... ... ...
...
m
m
mn
1
2
§
·
¨
¸
¨
¸
= ¨
¸
¨
¸
©
¹
 
Иногда используют сокращенную запись матрицы А в виде 
m n
A ×  или 
(
)
ij m n
a
× . 
 – диагональная матрица. Ź 
Если m = n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n. В 
квадратной матрице А элементы a11, a22, … ann образуют главную диагональ 
матрицы. Другая большая диагональ a1n, a2, n-1, … an1 называется побочной диагональю. 
Если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной.  
 
ŹПример 1.1. 
 
2 0 0
0
1 0
0 0 4
§
·
¨
¸
−
¨
¸
¨
¸
©
¹
 – единичная матрица 3-го порядка; 
 
Если у диагональной матрицы все элементы, лежащие  н а  г л а в н о й   
диагонали, равны единице, то матрица называется единичной и обозначается 
буквой Е (в ряде книг можно встретить обозначение I). Порядок единичной 
матрицы обычно определяется порядком матриц, с которыми производятся 
операции. 
 
ŹПример 1.2. 
 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Е
§
·
¨
¸
= ¨
¸
©
¹
1
0
0
1
E
§
·
= ¨
¸
©
¹
 – единичная матрица 2-го порядка. Ź 
 
10