Математический анализ: N-мерное пространство. Функции. Экстремумы

В.Е. БАРБАУМОВ
Н.В. ПОПОВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
N-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
ФУНКЦИИ
ЭКСТРЕМУМЫ
УЧЕБНИК
Рекомендовано в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по УГС 38.00.00 «Экономика и управление»
(квалификация (степень) «бакалавр»)
Москва
ИНФРА-М
2022

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
Б24
А в т о р ы :
Барбаумов В.Е., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова;
Попова Н.В., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета имени 
Г.В. Плеханова
Р е ц е н з е н т ы :
Черемных Ю.Н., доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры математических методов анализа экономики экономического факультета 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Угрозов В.В., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 
кафедры прикладной математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации
Б24
Барбаумов В.Е.
Математический 
анализ: 
N-мерное 
пространство. 
Функции. 
Экстремумы : учебник / В.Е. Барбаумов, Н.В. Попова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 341 с.  — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 
10.12737/19603.
ISBN 978-5-16-011829-1 (print)
ISBN 978-5-16-104284-7 (online)
Содержание учебника соответствует программе дисциплины «Математический 
анализ» для студентов экономических вузов. В учебнике с единых позиций излагаются основные разделы математического анализа для функций одной и нескольких переменных, что позволяет избежать многих повторов и уделить особое внимание тем 
понятиям, которые наиболее часто применяются в экономических исследованиях.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного 
стандарта высшего образования последнего поколения.
Учебник предназначен для студентов экономических специальностей и научных 
работников.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
© Барбаумов В.Е., Попова Н.В., 2016
ISBN 978-5-16-011829-1 (print)
ISBN 978-5-16-104284-7 (online)
Подписано в печать 15.11.2021. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 21,31.
ППТ20. Заказ № 00000
ТК 301000-1853512-160516
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214 Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ʽʧʸʤʦʸʫʻʰʫ 
ʿ̨̛̛̬̖̭̣̖̔̏  ………………………………………………………………………... 
7 
ʦ̛̖̖̦̖̏̔  …………………………………………………………………………...…. 
7 
ʧʸʤʦʤ 1. ʦʦʫʪʫʻʰʫ ʦ ʺʤ˃ʫʺʤ˃ʰˋʫˁʶʰʱ ʤʻʤʸʰʯ  ……….…. 
9 
§1. ʺ̨̨̦̙̖̭̯̏ ̛ ̨̖̐ ̣̖̥̖̦̯̼̾. ʿ̨̨̥̦̙̖̭̯̔̏̌  ………………..… 
9 
§ 2. ʿ̸̛̖̬̖̭̖̖̦̖ ̛ ̨̛̛̻̖̦̖̦̖̍̔ ̨̥̦̙̖̭̯̏ …………………….….. 
11 
§ 3. ˀ̨̦̭̯̌̽̚ ̨̥̦̙̖̭̯̏. ʪ̨̨̛̪̣̦̖̦̖ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌ …………….….. 
14 
§ 4. ʽ̨̛̯̬̙̖̦̖̍̌ ̨̥̦̙̖̭̯̏ ……………………………………………….…. 
16 
§ 5. ˁ̸̖̯̦̼̖ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ……………………………………………………….… 
20 
§ 6. ʤ̨̭̣̯̦̍̀̌́ ̸̛̛̖̣̦̏̌, ̛̛̣ ̨̥̱̣̔̽ ̨̨̛̖̜̭̯̯̖̣̦̔̏̽̐ 
̸̛̭̣̌ ………………………………………………………………………………………. 
23 
§ 7. ˋ̨̛̭̣̼̖̏ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌. ˃̸̨̦̼̖ ̛̬̦̐̌ ̸̵̨̛̭̣̼̏ ̨̥̦̙̖̭̯̏  
25 
§ 8. ʻ̨̛̛̣̹̜̌̍̽ ̛ ̛̛̦̥̖̦̹̜̌̽ ̣̖̥̖̦̯̼̾ ̸̨̨̨̛̭̣̏̐ 
̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ……………………………………………………………………………… 
30 
§ 9. ˃̨̖̬̖̥̌ ̨ ̨̛̛̭̱̺̖̭̯̦̏̏̌ ̸̵̨̯̦̼ ̬̦̖̜̐̌ ……………………… 
32 
ʧʸʤʦʤ II. N-MEPHOE ʤˀʰˇʺʫ˃ʰˋʫˁʶʽʫ ʿˀʽˁ˃ˀʤʻˁ˃ʦʽ ….. 
34 
§ 1. N-̥̖̬̦̼̖ ̸̨̡̛̯. ˀ̨̛̭̭̯̦̖̌́ ̥̖̙̱̔ ̸̨̡̛̯̥̌ ………………… 
34 
§ 2. ʿ̛̬̣̣̖̣̖̪̪̖̼̌̌̔ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏
n
R
………………............... 
37 
§ 3. ʽ̸̛̬̦̖̦̦̼̖̐̌ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
…………….. 
40 
§ 4. ʽ̡̨̬̖̭̯̦̭̯̽ ̸̨̡̛̯ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
………………………….. 
42 
§ 5. ʿ̬̥́̌́, ̸̣̱ ̛ ̨̨̡̯̬̖̚ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏
n
R
……………………. 
46 
§ 6. ʦ̡̼̪̱̣̼̖ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
…………………….. 
51 
§ 7. ʿ̬̖̖̣̦̼̖̔̽ ̸̨̡̛̯ ̨̥̦̙̖̭̯̏ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
………… 
55 
§ 8. ʦ̛̦̱̯̬̖̦̦̖ ̛ ̸̛̬̦̦̼̖̐̌ ̸̨̡̛̯ ̨̥̦̙̖̭̯̏ ̏ 
̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
…………………………………………………………………… 
58 
§ 9. ʽ̡̯̬̼̯̼̖ ̛ ̡̥̦̱̯̼̖̌̚ ̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R
… 
60 
§ 10. ʥ̸̡̨̖̭̦̖̦̼̖ ̨̨̨̛̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̔̏̌̽ ̸̨̡̯̖ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̌̏̌ 
n
R  …………………………………………………………………………………………… 
64 
§ 11. ʿ̬̖̖̣̔ ̨̨̨̛̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̔̏̌̽ ̸̨̡̯̖ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̌̏̌ 
n
R  …. 
67 
§ 12. ˁ̨̜̭̯̏̏̌ ̵̵̨̛̭̺̭̔́́ ̨̨̨̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̖̜̔̏̌̽ ̏ 
̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R  …………………………………………………………………… 
72 
3 
 

§ 13. ʿ̨̨̨̨̛̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̔̔̏̌̽. ʦ̨̯̬̌́ ̨̯̖̬̖̥̌ ʥ̶̨̨̣̦̽̌ʦ̖̜̖̬̹̯̬̭̭̌̌ ………………………………………………………………………… 
74 
§ 14. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̵̨̨̛̛̭̥̭̯̔ ʶ̨̛̹ ………………………………………….. 
78 
§ 15. ʿ̨̡̨̨̛̬̦̯̦̔̌̌́ ̵̨̨̛̭̥̭̯̔̽ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R  ………… 
80 
§ 16. ʥ̸̡̨̨̖̭̦̖̦ ̥̣̼̖̌ ̛ ̸̡̨̨̖̭̦̖̦̍ ̨̛̣̹̖̍̽ ̸̨̛̭̣̼̖̏ 
̨̨̨̛̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̔̏̌̽ ……………………………………………………………… 
82 
§ 17. ˃̨̖̬̖̥̼ ̨ ̵̪̬̖̖̣̔̌ ̸̵̨̛̭̣̼̏ ̨̨̨̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̖̜̔̏̌̽ 
86 
§ 18. ʺ̨̨̨̦̯̦̦̼̖ ̸̨̛̭̣̼̖̏ ̨̨̨̛̪̭̣̖̯̖̣̦̭̯̔̏̌̽ ………….…… 
90 
ʧʸʤʦʤ III. ʿˀʫʪʫʸ ʰ ʻʫʿˀʫˀˏʦʻʽˁ˃ː ˇ˄ʻʶˉʰʰ …………….… 
96 
§ 1. ʿ̨̛̦̯̖́ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………………………….….… 
96 
§ 2. ʧ̴̡̛̬̌ ̴̶̡̛̛̱̦ …………………………………………………………….… 
98 
§ 3. ʿ̬̖̖̣̔ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̪ ʧ̖̜̦̖ …………………………………………….… 
103 
§ 4. ˃̨̖̬̖̥̼ ̨ ̵̪̬̖̖̣̔̌ ̴̶̡̛̱̦̜. ʿ̖̬̼̜̏ ̸̥̖̯̖̣̦̼̜̌̌̽̚ 
̪̬̖̖̣̔ ………………………………………………………………………………….… 
110 
§ 5. ʽ̛̪̬̖̖̣̖̦̖̔ ̪̬̖̖̣̔̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̪ ʶ̨̛̹. 
ˑ̡̨̛̣̖̦̯̦̭̯̏̏̌̽ ̵̱̔̏ ̨̛̪̬̖̖̣̖̦̜̔ ̪̬̖̖̣̔̌ ……………………… 
115 
§ 6. ʸ̨̡̣̦̼̖̌̽ ̨̭̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜, ̵̛̛̥̖̺̀ ̪̬̖̖̣̔ …………. 
121 
§ 7. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ʶ̨̛̹ ̨̛̭̱̺̖̭̯̦̏̏̌́ ̪̬̖̖̣̔̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ……….. 
124 
§ 8. ʥ̸̡̨̨̖̭̦̖̦ ̥̣̼̖̌ ̛ ̸̡̨̨̖̭̦̖̦̍ ̨̛̣̹̖̍̽ ̴̶̡̛̛̱̦ ……. 
126 
§ 9. ʻ̨̖̪̬̖̬̼̦̭̯̏̽ ̴̶̡̛̛̱̦ ………………………………………………… 
131 
§ 10. ʽ̨̨̨̛̦̭̯̬̦̦̖̔ ̪̬̖̖̣̼̔. ʶ̴̶̡̛̛̛̣̭̭̌̌́ ̸̨̡̯̖ 
̬̬̼̌̏̌̚ ̴̶̡̛̱̦̜ ̨̨̦̜̔ ̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ………………………………..… 
136 
§ 11. ˃̨̖̬̖̥̌ ̨ ̸̵̨̨̪̬̥̖̙̱̯̦̼ ̸̵̛̦̖̦̌́̚ ̨̦̖̪̬̖̬̼̦̜̏ 
̴̶̡̛̛̱̦ ………………………………………………………………………………..… 
141 
§ 12. ʺ̨̨̨̦̯̦̦̼̖ ̴̶̡̛̛̱̦. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̨̛̦̖̪̬̖̬̼̦̭̯̏ 
̨̨̨̨̥̦̯̦̦̜ ̴̶̡̛̛̱̦ ………………………………………………………..…… 
143 
§ 13. ʽ̬̯̦̍̌̌́ ̴̶̡̛̱̦́. ˃̨̖̬̖̥̌ ̨ ̨̛̦̖̪̬̖̬̼̦̭̯̏ 
̨̨̬̯̦̜̍̌ ̴̶̡̛̛̱̦ …………………………………………………………….…… 
147 
§ 14. ˃̨̖̬̖̥̌ ̨ ̪̬̖̖̣̖̔ ̨̨̭̣̙̦̜ ̴̶̡̛̛̱̦. ʻ̨̖̪̬̖̬̼̦̭̯̏̽ 
̨̨̭̣̙̦̜ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………………………………..…… 
151 
§ 15. ˁ̨̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜, ̵̦̖̪̬̖̬̼̦̼̏ ̦̌ ̭̖̥̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏
n
R  …………………………………………………………………………………...…….. 
154 
§ 16. ˁ̨̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜, ̵̦̖̪̬̖̬̼̦̼̏ ̦̌ ̸̵̨̛̬̦̖̦̦̼̐̌ 
̵̡̥̦̱̯̼̌̚ ̵̨̥̦̙̖̭̯̏̌ ………………………………………………………….. 
159 
4 
 

§ 17. ʶ̛̬̼̖̏ ̏ ̨̪̬̭̯̬̦̭̯̖̌̏ 
n
R . ˃̨̖̬̖̥̌ ̨ ̸̵̨̨̪̬̥̖̙̱̯̦̼ 
̸̵̛̦̖̦̌́̚ ̨̦̖̪̬̖̬̼̦̜̏ ̴̶̡̛̛̱̦ ̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ ̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼ .. 
164 
§ 18. ʿ̬̖̖̣̔ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̨̦̜̔ ̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ̛̪̬ x of. 
ʦ̨̨̯̬̜ ̸̥̖̯̖̣̦̼̜̌̌̽̚ ̪̬̖̖̣̔ ……………………………………………… 
168 
§ 19. ˁ̛̬̦̖̦̖̌̏ ̸̡̨̨̖̭̦̖̦̍ ̵̥̣̼̌ ̴̶̡̛̱̦̜. 
ˑ̡̛̣̖̦̯̦̼̖̏̏̌ ̸̡̨̨̖̭̦̖̦̍ ̥̣̼̖̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………..… 
176 
ʧʸʤʦʤ IV. ʪʰˇˇʫˀʫʻˉʰʤʸːʻʽʫ ʰˁˋʰˁʸʫʻʰʫ ……………………… 
182 
§ 1. ʿ̛̛̬̬̺̖̦̖̌ ̴̶̡̛̛̱̦. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̨̛̦̖̪̬̖̬̼̦̭̯̏ 
̴̶̡̛̛̱̦ …………………………………………………………………………………..  182 
§ 2. ʪ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̽ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………… 
185 
§ 3. ʿ̨̨̛̬̦̏̔̌́̚ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̨̦̜̔ ̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ………………….… 
190 
§ 4. ʿ̨̨̛̬̦̼̖̏̔̚ ̵̣̖̥̖̦̯̬̦̼̾̌ ̴̶̡̛̱̦̜ …………………………… 
193 
§ 5. ʺ̵̸̡̛̛̖̦̖̭̜̌ ̛ ̸̨̡̛̛̖̥̖̯̬̖̭̜̐ ̭̥̼̭̣ ̨̨̨̛̪̬̦̜̏̔̚ ... 
196 
§ 6. ˋ̭̯̦̼̖̌ ̨̨̛̪̬̦̼̖̏̔̚ ̴̶̡̛̛̱̦ ̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ 
̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼. ʻ̵̨̨̨̛̖̥̖̍̔ ̨̛̱̭̣̖̏ ̴̴̶̨̛̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̔ 
̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………………………………………………….…. 
200 
§ 7. ʪ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̽ ̭̱̥̥̼, ̨̛̛̪̬̖̖̦̏̔́̚ ̛ ̸̨̨̭̯̦̌̐ 
̵̱̔̏ ̴̶̡̛̱̦̜ ………………………………………………………………………..… 
205 
§ 8. ʪ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̽ ̨̨̬̯̦̜̍̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………… 
210 
§ 9. ʪ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̽ ̨̨̭̣̙̦̜ ̴̶̡̛̛̱̦ …………………….… 
213 
§ 10. ʪ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̽ ̴̶̡̛̛̱̦, ̨̦̦̜̌̔̌̚ 
̸̡̛̛̪̬̥̖̯̬̖̭̌̌ …………………………………………………………….………. 
218 
§ 11. ʪ̴̴̶̛̛̖̬̖̦̣̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………………..… 
221 
§ 12. ʧ̛̬̖̦̯̌̔ ̴̶̡̛̛̱̦ …………………………………………………………. 
226 
§ 13. ˑ̡̭̯̬̖̥̱̥̼ ̴̶̡̛̛̱̦. ʻ̵̨̨̨̛̖̥̖̍̔ ̨̛̱̭̣̖̏ 
̡̭̯̬̖̥̱̥̾̌ …………………………………………………………………………..… 
231 
§ 14. ˁ̨̜̭̯̏̏̌ ̴̶̡̛̱̦̜, ̴̴̶̵̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̼̔ ̦̌ ̛̦̯̖̬̣̖̏̌ .. 
235 
§ 15. ʿ̨̛̬̣̌̏ ʸ̨̛̪̯̣̌́ ̸̛̛̼̭̣̖̦̏́ ̨̪̬̖̖̣̔̏ ̴̶̡̛̱̦̜ …….. 
240 
§ 16. ˃̨̖̬̖̥̌ ʸ̬̦̙̌̐̌̌ ̣̔́ ̴̶̡̛̛̱̦ ̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ 
̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼. ʪ̸̨̨̨̭̯̯̦̖̌ ̨̛̱̭̣̖̏ ̴̴̶̨̛̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̭̯̔ 
̴̶̡̛̛̱̦ ̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ ̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼ …………………………………………. 
242 
§ 17. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̨̨̨̨̛̥̦̯̦̦̭̯ ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̜̔ ̴̶̡̛̛̱̦. 
ʪ̸̨̨̨̭̯̯̦̖̌ ̨̛̱̭̣̖̏ ̡̭̯̬̖̥̱̥̾̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̨̦̜̔ 
̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ………………………………………………………………………….… 
247 
5 
 

§ 18. ʿ̨̨̛̬̦̼̖̏̔̚ ̵̛̼̭̹̏ ̨̡̨̪̬́̔̏ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̨̦̜̔ 
̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ……………………………………………………………………….…… 
251 
§ 19. ˇ̨̬̥̱̣̌ ˃̨̖̜̣̬̌ ̭ ̸̨̨̭̯̯̦̼̥̌ ̸̨̣̖̦̥ ̏ ̴̨̬̥̖ 
ʸ̬̦̙̌̐̌̌ ………………………………………………………………………………… 
257 
§ 20. ˋ̭̯̦̼̖̌ ̨̨̛̪̬̦̼̖̏̔̚ ̵̛̼̭̹̏ ̨̡̨̪̬́̔̏ ̴̶̡̛̛̱̦ 
̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ ̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼ ………………………………………………………… 
262 
§ 21. ʪ̸̨̨̨̭̯̯̦̖̌ ̨̛̱̭̣̖̏ ̡̭̯̬̖̥̱̥̾̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ̵̡̨̡̛̦̖̭̣̽ 
̵̪̖̬̖̥̖̦̦̼ ……………………………………………………………………….…… 
270 
§ 22. ʧ̨̣̣̦̼̖̍̌̽ ̡̭̯̬̖̥̱̥̼̾ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………….…..….. 
276 
§ 23. ʽ̨̨̺̖̦̦̖̍̍ ̨̨̭̜̭̯̏̏ ̛̬̖̦̯̐̌̔̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ………………..… 
282 
§ 24. ʸ̖̥̥̌ ˇ̡̬̹̌̌̌. ʻ̵̨̨̨̛̖̥̖̍̔ ̨̛̱̭̣̖̏ ̨̨̨̣̣̦̐̍̌̽̐ 
̡̭̯̬̖̥̱̥̾̌ ̴̶̡̛̛̱̦ ……………………………………………………………… 
288 
§ 25. ˇ̶̡̛̱̦́ ʸ̬̦̙̌̐̌̌ ̣̔́ ̨̡̛̯̼̭̦̌́ ̵̨̣̣̦̼̐̍̌̽ 
̡̨̭̯̬̖̥̱̥̾̏ ……………………………………………………………………..…… 
292 
ʧʸʤʦʤ V.   ˑʸʫʺʫʻ˃ˏ ʦˏʿ˄ʶʸʽʧʽ ʤʻʤʸʰʯʤ ……………….…… 
297 
§ 1. ʦ̡̼̪̱̣̼̖ ̛ ̨̦̱̯̼̖̏̐ ̴̶̡̛̛̱̦ …………………………………..…… 
297 
§ 2. ʽ̨̭̦̦̼̖̏ ̨̭̜̭̯̏̏̌ ̵̡̼̪̱̣̼̏ ̴̶̡̛̱̦̜ …………………………. 
302 
§ 3. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̡̨̛̼̪̱̣̭̯̏ ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̜̔ ̴̶̡̛̛̱̦ ……. 
306 
§ 4. ʦ̡̼̪̱̣̼̖ ̛ ̨̦̱̯̼̖̏̐ ̴̶̡̛̛̱̦ ̨̨̦̜̔ ̨̪̖̬̖̥̖̦̦̜ ……… 
310 
§ 5. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̡̨̛̼̪̱̣̭̯̏ ̙̼̔̏̌̔ ̴̴̶̨̛̛̖̬̖̦̬̱̖̥̜̔ 
̴̶̡̛̛̱̦ ………………………………………………………………………………..… 
315 
§ 6. ˑ̡̭̯̬̖̥̱̥̼ ̵̡̼̪̱̣̼̏ ̴̶̡̛̱̦̜ ……………………………….…… 
322 
§ 7. ʶ̛̛̬̯̖̬̜ ̨̨̨̣̣̦̐̍̌̽̐ ̡̭̯̬̖̥̱̥̾̌ ̡̨̼̪̱̣̜̏ ̴̶̡̛̛̱̦ … 
328 
§ 8. ˃̨̖̬̖̥̌ ʶ̱̦̌-˃̡̡̖̬̌̌ ……………………………………………….…… 
332 
§ 9. ʿ̨̛̦̯̖́ ̨ ̵̛̛̪̬̣̙̖̦̦̼̍ ̵̨̥̖̯̔̌ ̨̡̛̯̼̭̦̌́ 
̵̨̣̣̦̼̐̍̌̽ ̡̨̭̯̬̖̥̱̥̾̏ ̴̶̡̛̱̦̜ ……………………………………..… 
339 
ʸʰ˃ʫˀʤ˃˄ˀʤ …………………………………………………………………………… 
341 
 
6 
 

ʿ̨̛̛̬̖̭̣̖̔̏ 
В 1992 году было выпущено учебное пособие «N-мерное 
пространство. Функции. Экстремумы». В работе над учебным пособием 
«N-мерное пространство. Функции. Экстремумы» принимали участие 
Андреянов Павел Александрович, к сожалению рано ушедший из жизни, 
и Смагина Ольга Константиновна, ныне проживающая в США. 
До настоящего времени это пособие используется на ряде 
факультетов Российского экономического университета имени Г.В. 
Плеханова. Настоящий учебник – это существенно переработанная и 
дополненная версия вышеуказанного учебного пособия.  
ʦ̛̖̖̦̖̏̔ 
В 
предлагаемом 
учебнике, 
в 
отличие 
от 
традиционного 
построения курса математического анализа, с единых позиций для 
функций одной и нескольких переменных излагаются основные разделы 
дисциплины, 
такие 
как 
теория 
последовательностей, 
предел 
и 
непрерывность функции, дифференциальное исчисление, экстремумы 
функций, элементы выпуклого анализа. Такое изложение позволяет 
избежать многих повторов, уделить особое внимание тем понятиям, 
которые наиболее часто применяются в экономических исследованиях.  
Большое внимание уделено таким классическим понятиям 
математического анализа, как сходимость в n-мерном пространстве, 
непрерывность функции, дифференцируемость функции, экстремум 
функции. Это позволяет изложить теорию выпуклых функций и их 
экстремумов как логическое продолжение классических разделов 
математического анализа.  
Раздел «Введение в математический анализ» посвящен теории 
множеств и свойствам ограниченных числовых множеств. Базовые 
понятия теории множеств, такие как операции пересечения и 
объединения множеств, разность и дополнение множеств, отображения 
множеств 
создают 
основу 
для 
изучения 
многих 
разделов 
математического анализа. Основные понятия теории ограниченных 
числовых множеств, такие, как точные грани числовых множеств, их 
свойства, теорема о существовании точных граней, лежат в основе 
доказательств большого количества теорем математического анализа и 
новых понятий.  
Раздел «N-мерное пространство» создает основу для изучения 
теории функций одной и нескольких переменных и их экстремумов. 
Раздел содержит все необходимые для этого понятия и теоремы: 
ограниченные множества в n-мерном пространстве, окрестность точки, 
прямая, луч и отрезок в n-мерном пространстве, выпуклые множества, 
7 
 

предельные точки множеств в n-мерном пространстве, внутренние и 
граничные точки множеств, открытые и замкнутые множества в nмерном пространстве. Изучение теории последовательностей базируется 
на определении бесконечной последовательности n-мерных точек. Такие 
фундаментальные понятия и теоремы, как предел последовательности, 
теоремы Больцано-Вейерштрасса, критерий сходимости Коши изучаются 
для 
последовательностей 
в 
n-мерном 
пространстве. 
Числовые 
последовательности рассматриваются как частный случай. 
Понятиям предела и непрерывности функции в учебнике уделяется 
особое внимание. Раздел «Предел и непрерывность функций» предлагает 
довольно подробное изучение основных понятий и теорем о пределах и 
непрерывности 
функций 
одной 
и 
нескольких 
переменных. 
Рассматриваются определения предела функции по Гейне и по Коши, их 
эквивалентность, 
теоремы 
о 
существовании 
пределов. 
Следует 
подчеркнуть, 
что 
теоремы 
о 
функциях, 
непрерывных 
на 
всем 
пространстве и на ограниченных замкнутых  множествах лежат  в основе 
многих экономико-математических задач об экстремумах функций, с 
которыми студентам предстоит познакомиться на старших курсах. 
Раздел «Дифференциальное исчисление» предлагает подробное 
изучение основных понятий и теорем о дифференцируемых функциях 
одной и нескольких переменных. Такой подход позволяет сразу обращать 
внимание на особенности и отличия дифференцируемости функций 
одной и нескольких переменных. Рассматриваются основные теоремы о 
локальных и глобальных экстремумах функций, основное и обобщенное 
свойства градиента функции, что создает основу для решения задач 
оптимизации в экономических приложениях. В этой части учебник 
содержит большое количество задач, позволяющих овладеть техникой 
дифференцирования и исследовать на экстремум функции одной и 
нескольких переменных. 
Раздел «Элементы выпуклого анализа» содержит такие теоремы, 
как критерий выпуклости дифференцируемой функции, критерий 
выпуклости квадратичной функции; критерий глобального экстремума 
выпуклой функции, теорема Куна-Таккера. Теория выпуклых функций 
играет важную роль в содержании дисциплины, так как служит основой 
построения курсов выпуклого программирования и эконометрики.  
Все основные понятия проиллюстрированы примерами. Большая 
часть разделов снабжена задачами, решение которых способствует 
усвоению теоретического материала. 
Учебник 
предназначен 
для 
студентов 
экономических 
специальностей и научных работников. 
8 
 

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
§1. Множество и его элементы. Подмножества 
Множество  это совокупность некоторых объектов. Объекты, из 
которых состоит данное множество, называются его элементами. Если 
элемент а принадлежит множеству А, то пишут 

a
A . Запись a
A

 
означает, что а не является элементом множества А. 
Например, можно говорить о множестве стульев в аудитории, о 
множестве всех автомобилей в городе Москве и т.д. 
Часто будут встречаться следующие множества: N  множество всех 
натуральных чисел;  Z  множество всех целых чисел; Q  множество 
всех рациональных чисел; R  множество всех действительных чисел. 
Задать множество можно перечислением всех его элементов. 
Например, 
^
`
A
a,b,c,d
 
. Часто множества задают с помощью 
некоторой 
порождающей 
процедуры. 
Например, 
^
`
ʌ
ʌ 2
B
k, k
Z
 


. 
Кроме 
того, 
множество 
можно 
задать 
описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его 
элементы. Множество A, состоящее из элементов х, обладающих 
свойством 
 
P x , записывается в виде 
 
^
`
A
x P x
 
. Например, 
множество 
^
`
2
7
12
0
A
x x
x
 


 
 
состоит 
из 
двух 
корней 
уравнения 
2
7
12
0
x
x


 
. 
Определение.  Множество А называется подмножеством множества 
В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. 
В этом случае пишут: 

A
B  или 
Š
B
A. 
A 
 
 
B 
 
Рис. 1.1 
Например, нетрудно убедиться, что 



N
Z
Q
R . 
Заметим, что множество А не является подмножеством В тогда и 
только тогда, когда существует элемент 
a
A такой, что a
B

. 
9 
 

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым 
и обозначается ‡ . Будем считать, что пустое множество является 
подмножеством любого множества. 
Определение. Множества А и В называются равными, если 
множество А является подмножеством множества В, и наоборот, 
множество В является подмножеством множества А. По определению, 
. 
A
B
A
B
B
A

 
œ

-
®
¯
Чтобы доказать равенство множеств А и В необходимо показать, что 
каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и наоборот, 
каждый элемент множества В принадлежит множеству А. 
Например, рассмотрим три множества: 
^
`
sin
0
A
x
x
 
 
,  
^
`
2
B
k,k
Z
 
S

, 
^
`
C
k,k
Z
 S

. 
Здесь 

B
A ; 

B
C  и 
 
A
C , так как множества А и C  состоят 
из одних и тех же элементов. 
 
Задачи 
1. Указать все подмножества множества 
^
`
A
a,b,c
 
. 
2. Указать все подмножества множества 
^
`
A
a,b,c,d
 
. 
3. Сколько всего различных подмножеств у множества из 5 
элементов, n элементов? 
4. Какие из данных множеств 
^
`
1
3
A
n,n
Z
 

,
^
`
2
6
A
n,n
Z
 

,
^
`
3
4
2
A
n
,n
Z
 


 
 являются подмножествами множества 
^
`
2
B
n,n
Z
 

? 
5. Доказать, что множества 
^
`
2
sin
1
 
 
A
x
x
 и 
^
`
2
B
,
Z
k k
 


S
S
 совпадают. 
6. Даны множества: 
^
`
3
2
2
2
5
0
A
x x
x
x
 



 
 и 
^ `
1
B  
.  
Доказать, что: а) 

B
A ; б) 
 
A
B . 
7. Даны множества: 
^
`
6
5
4
3
2
3
3
17
6
0
 






 
A
x x
x
x
x
x
x
и 
^
`
3 2
B
,
 
.  
Доказать, что: a) 
Š
A
B ; б) 
 
A
B . 
8. Пусть А  множество всех параллелограммов с диагоналями 
равной длины, а В  множество всех квадратов. Совпадают ли 
эти два множества? 
10