Функции нескольких переменных и кратные интегралы

А.А. Туганбаев

ФУНКЦИИ 
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 
И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебное пособие

4-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2022

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73 

Т81

ISBN 978-5-9765-1308-2
© Туганбаев А.А., 2017
© Издательство «ФЛИНТА», 2017

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73

Туганбаев А.А.
Функции нескольких переменных и кратные интегралы : учебное 
пособие / А.А.  Туганбаев.  —  4-е изд., стер.  —  Москва : 
ФЛИНТА, 2022. — 66 с. — ISBN 978-5-9765-1308-2. — Текст : 
электронный. 

В книге рассмотрен важный раздел математического анализа: функции 
нескольких переменных и кратные интегралы. Книга соответствует программам 
курсов математического анализ для студентов различных нематематических 
специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и 
сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших 
учебных заведений.

Т81

Учебное издание
Туганбаев Аскар Аканович

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 
И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебное пособие

Подписано к выпуску 03.12.2021.  
Уч.-изд. л. 2,7.
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17Б, офис 324. 
Тел.: (495) 334-82-65; 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru


fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYH


fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYH



pRE
D
ELY
I
N
EPRERYWN
OSTX




fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYHpUSTX

ZA
DAN
O
MN
O
V
ESTWO
D
N
EK
OT
O
RYH
UP
O
RQD
O
ENNYH
NABO
RO
W

x




x



x

n

M
IZ
n
ISELoT
OB
RAV
ENIE
f
D
RSO
P
OSTAWLQEE
KAVD
O
MU
NABO
RU
x




x



x

n

M
IZ
D
RO
WN
O

O
DN
O
ISL
ONAZYWAET
SQ
FUNKCIEJ
n
PEREMENNYH
S
OBLASTXO
PRE
D
EL
ENIQ
D
D
f
I
ZAPISYWAET
SQ
f
x




x



x

n

ILI

f
M
w
OSN
O
WN
O
MMY
RASSMATRIWAEM
T
OLXK
O
FUNKCII
DWUH
I
TRE
H

P
EREM
ENNYH
I
W
TAKIH
SLUA
QH
PIEM
f
xy
ILI
f
xy
z
WM
EST
O
f
x




x



ILI
f
x




x



x



pRI
T
O
M
PARY
xy
I

TRO
JKI
xy
z
RASSMATRIWAT
SQ
KAK
T
O
KI
M
S
D
EKAR
T
O
WYMI

K
OO
RDINATAMI
NA
DWUM
ERN
O
J
PL
OSK
OSTI
O
xy
ILI
W
TRE
HM
ERN
O
M

PROSTRAN
STWE
O
xy
z
iTAKFUNKCII
f
xy
ILI
f
xy
z
OT
OB
RAVAT
T
O
KI
M
N
EK
OT
O
ROG
O
P
O
DMN
O
V
ESTWA
D
PL
OSK
OSTI

O
xy
ILI
PROSTRAN
STWA
O
xy
z
W
ISLAnAPRIM
EROBEM
V
PRQM
OUG
OLXN
OG
O
PARALL
EL
EPIP
E
DA
SO
ST
O
RO
NAMI
DLINY
xy
I
z

QWLQET
SQ
FUNKCIEJ
f
xy
z
xy
z
O
PRE
D
EL
ENN
O
J
NA
MN
O
V
ESTWE

D
x
y
z


oKREST
N
OSTI
T
O
EK
NA
PL
OSK
OSTI
I
W
PROSTRANSTWEpUSTX
eSLI
M

T
O
KA
NA
O
xy
SOOTWW
O
xy
z
S

K
OO
RDINATAMI
x

y

SOOTWW
x

y

z

T
O
OKRESTNOSTXT
O
KI
M

NAZYWAET
SQ
MN
O
V
ESTWO
M

WSE
H
T
O
EK
M

O
xy

SOOTWM

O
xy
z
NAH
O
DQIH
SQ
NA
RASST
OQNII
M
EN
EE
OT
M

tAKIM
OB
RAZO
MM

T
O
KRUG
B
EZ
GRANIN
O
J
O
KRUVN
OSTI

SOOTWAR
B
EZ
GRANIN
O
J
SF
ERYRA
DIUSA
S
C
ENTRO
M
W
M

PRIEM
M

ZA
DAET
SQ
N
ERAWEN
STWO
M
x
x



y
y





SOOTWx
x



y
y



z
z





MN
O
V
ESTWO

M

n
M

P
OLUENN
OE
U
DAL
ENIEM
IZ
M

T
O
KI
M

NAZYWAETSQ
PROKOLOTOJ
OKRESTNOSTXT
O
KI
M

OBOZNA
AET
SQ

M

I
ZA
DAET
SQ
N
ERAWEN
STWAMI
x
x



y
y





SOOTWx
x



y
y



z
z







pRE
D
EL
FUNKCII
DWUH
ILI
TRE
H
P
EREM
ENNYHpUSTX
FUNKCIQ
f
M
O
PRE
D
EL
ENA
H
OTQ
B
Y
W
N
EK
OT
O
RO
J
PRO
K
OL
OT
O
J

O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
M

ISL
O
A
NAZYWAET
SQ
PREDELOM
FUNKCII

f
M
PRI
M
M

ESLI
DLQ
LBOG
O
NAJD
ET
SQ
TAK
OE

T
O
jf
M
Aj
DLQ
WSE
H
M


M

w
T
O
M
SLU

pRE
D
ELY
I
N
EPRERYWN
OSTX


AE
PIUT
lim

M
M

f
M
AiZ
O
PRE
D
EL
ENIQ
PRE
D
ELA
FUNKCII

DWUH
ILI
TRE
H
P
EREM
ENNYH
SL
E
DUETT
O
O
N
N
E
ZAWISIT
OT
WYBO
RA

LINIIP
O
K
OT
O
RO
J
T
O
KA
M
PRIBLIVAET
SQ
K
M



pRIM
ERrASSM
OTRIM
FUNKCIf
M
f
xy
x



x



y



O
PRE
D
EL
ENNUNA
WSEJ
PL
OSK
OSTI

O
xy
KRO
M
E
T
O
KI
M

I
B
U
D
EM
PRIBLIVATX
T
O
K
U
M
K
M

P
O
RAZNYM
PRQMYM
y
k
xGD
E

x



x



y



x



x



k



x








k



pRE
D
EL
lim

M
M

f
M
N
E
SUESTWUETTAK
KAK
f
M
STREMIT
SQ
K

RAZNYM
ISLAM
PRI
STREML
ENII
M
K
M

P
O
RAZNYM
PRQMYM

sWO
JSTWA
PRE
D
EL
O
WpRE
D
ELY
FUNKCIJ
DWUH
I
TRE
H

P
EREM
ENNYH
OBLA
DAT
SWO
JSTWAMIANAL
OGINYMI
SWO
JSTWAM

PRE
D
EL
O
W
FUNKCIJ
O
DN
O
J
P
EREM
ENN
O
J


nAPRIM
ERESLI
SUESTWUT
PRE
D
ELY

lim

M
M

uM
A
I
lim

M
M

v
M
B
T
O

lim

M
M

uM
v
M
A
B
lim

M
M

uM
v
M
A
B
I

lim

M
M

uM
v
M
A

B

PRI
B


nEPRERYWN
OSTX
FUNKCII
DWUH
ILI
TRE
H

P
EREM
ENNYHfUNKCIQ
f
M
DWUH
ILI
TRE
H
P
EREM
ENNYH

NAZYWAET
SQ
NEPRERYWNOJ
W
T
O
K
E
M

ESLI
FUNKCIQ
f
M
O
PRE
D
EL
ENA
H
OTQ
B
Y
W
N
EK
OT
O
RO
J
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
M

PRIEM

PRE
D
EL
lim

M
M

f
M
SUESTWUET
I
RAWEN
ISLU
f
M

pOLXZUQSX



I
O
PRE
D
EL
ENIEM
N
EPRERYWN
OSTIDLQ

N
EPRERYWNYH
FUNKCIJ
DWUH
ILI
TRE
H
P
EREM
ENNYH
M
O
VN
O

D
O
KAZATX
UTWERVD
ENIQANAL
OGINYE
IZWEST
NYM
SWO
JSTWAM

N
EPRERYWNYH
FUNKCIJ
O
DN
O
J
P
EREM
ENN
O
J

nAPRIM
ERPOSTROENIE
SLOVNYH
FUNKCIJ
IZ
NEPRERYWNYH
FUNKCIJ
I

ARIFMETIESKIE
DEJSTWIQ
NAD
NIMI
PRIWODQT
K
NEPRERYWNYM

FUNKCIQM

oGRANIENNYE
I
ZAMKNUTYE
MN
O
V
ESTWApUSTX

D
P
O
DMN
O
V
ESTWO
PL
OSK
OSTI
O
xy
mN
O
V
ESTWO
D
NAZYWAETSQ
OGRANIENNYMESLI
O
N
O
C
ELIK
O
M
L
E
VIT
W
N
EK
OT
O
RO
M
KRUG
EgRANICEJ
MN
O
V
ESTWA
D
NAZYWAET
SQ
MN
O
V
ESTWO
D
SOST
OQEE
IZ
WSE
H
TAKIH
T
O
EK
M

O
xy
T
O
W
KAVD
O
J
O
KREST
N
OSTI




sMNAPRIM
ER



sMNAPRIM
ER


W


fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYH

T
O
KI
M
ESTX
KAK
T
O
KI
IZ
D
TAK
I
T
O
KIN
E
L
E
VAIE
W
D
mN
O
V
ESTWO
D
NAZYWAET
SQ
ZAMKNUTYMESLI
O
N
O
SO
D
ERVIT
SWOGRANICUaNALOGINO
OPREDELQTSQ
OGRANIENNYE
I
ZAMKNUTYE
PODMNOVESTWA
W
O
xy
z


nEPRERYWN
OSTX
NA
OGRANIENN
O
M
ZAMKNUT
O
M

MN
O
V
ESTWEmO
VN
O
D
O
KAZATX
SL
E
DUUTEOREMU
wEJERTRASSA

ESLI
FUNKCIQ
f
xy
N
EPRERYWNA
W
KAVD
O
J
T
O
K
E

N
EK
OT
O
ROG
O
OGRANIENN
OG
O
ZAMKNUT
OG
O
P
O
DMN
O
V
ESTWA
D
W

O
xy
T
O
NAJDUT
SQ
TAKIE
T
O
KI
M




M




D
T
O
f
M




f
M
f
M



DLQ
WSE
H
M

D
f
xTEf
xD
OSTIGAET

NA
D
SWO
I
NAIM
ENXEE
I
NAIBOLXEE
ZNA
ENIQ
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
P
ERWOG
O
P
O
RQDKA



AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
P
ERWOG
O
P
O
RQDKAASTNOJ

PROIZWODNOJ
P
O
P
EREM
ENN
O
J
x
FUNKCII
z
f
xy
W
T
O
K
E

M

x

y

NAZYWAET
SQ
PRE
D
EL
lim

xf
x

xy

f
x

y

x

OBOZNA
AEMYJ

z

x

x

y

A
TAKV
E
z

x

x

y

f

x

M

I
f

x

M

aNAL
OGIN
O
O
PRE
D
ELQT
SQ
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
P
O
y
A

TAKV
E
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
OT
FUNKCIJ
TRE
H
I
BOL
EE

P
EREM
ENNYHAST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
z

x

I
z

y

NAZYWAT
SQ
ASTNYMI
PROIZWODNYMI
PERWOGO
PORQDKA
OT
FUNKCII
z
f
xy

pRO
IZWO
DNYE
P
O
NAPRAWL
ENIpUSTX
FUNKCIQ
z
f
xy
O
PRE
D
EL
ENA
W
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
M
xy
ab
N
ENU
L
EWO
J
WEKT
O
ROB
RAZUIJ
UGLY
I


S
OSQMI
O
x

I
O
y
GD
E
cos
a

p

a



b



cos
b

p

a



b



tOGDA
PROIZWODNAQ

PO
NAPRAWLENIWEKT
O
RA

FUNKCII
z
f
xy
W
T
O
K
E
M
T
O

z

z

x

cos
z

y

cos
z

x

cos
z

y

sin
qSN
OT
O
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE

z

x

I

z

y

T
O
PRO
IZWO
DNYE

FUNKCII
z
f
xy
P
O
NAPRAWL
ENIQM
WEKT
O
RO
W
I


aNAL
OGIN
OE
UTWERVD
ENIE
DLQ
FUNKCIJ
O
DN
O
J
P
EREM
ENN
O
J
D
O
KAZAN
O
W


IZ

AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
P
ERWOG
O
P
O
RQDKA



dIFF
ERENCIRUEM
OSTX
I
DIFF
ERENCIALY
FUNKCIJ

DWUH
P
EREM
ENNYHpUSTX
FUNKCIQ
z
f
xy
O
PRE
D
EL
ENA
H
OTQ

B
Y
W
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
M
xy
oBOZNA
IM
EREZ
z
POLNOE

PRIRAENIE
f
x
xy
y
f
xy
FUNKCII
z
f
xy
W

T
O
K
E
M
eSLI
z
M
O
VN
O
PRE
D
STAWITX
W
WID
E

z
A
x
B
y
x
y


GD
E
I
STREMQT
SQ
K
NU
LPRI
xy
T
O

FUNKCIQ
z
f
xy
NAZYWAET
SQ
DIFFERENCIRUEMOJ
W
T
O
K
E
M
A

WYRAV
ENIE
A
x
B
y
NAZYWAET
SQ
POLNYM
DIFFERENCIALOM

FUNKCII
z
f
xy
W
M
I
OBOZNA
AET
SQ
EREZ
dz
ILI
d
f
dLQ

N
EZAWISIMYH
P
EREM
ENNYH
x
I
y
P
OLAGAT
x
dx
I
y
dy
pOT
O
MU
dz
A
dx
B
dy
wYRAV
ENIQ
A
x
A
dx

I
B
y
B
dy
NAZYWAT
SQ
ASTNYMI
DIFFERENCIALAMI

FUNKCII
z
f
xy
P
O
x
I
y

uSL
O
WIQ
DIFF
ERENCIRUEM
OSTI
FUNKCII
DWUH

P
EREM
ENNYHpUSTX
FUNKCIQ
z
f
xy
O
PRE
D
EL
ENA
H
OTQ
B
Y
W
O
KREST
N
OSTI

T
O
KI
M
xy
mO
VN
O
D
O
KAZATX
DWA
UTWERVD
ENIQ
nEOB
H
O
DIM
OE
USL
O
WIE
DIFF
ERENCIRUEM
OSTIeSLI
FUNKCIQ
f
xy
IM
EET
W
T
O
K
E
M
DIFF
ERENCIAL
dz
A
x
B
y
T
O
W
M
FUNKCIQ
f
xy
N
EPRERYWNA
I

IM
EET
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE

z

x

A
I

z

y

B
pOT
O
MU

dz
z

x

M
x
z

y

M
y

dOSTAT
O
N
OE
USL
O
WIE
DIFF
ERENCIRUEM
OSTIeSLI
FUNKCIQ
f
xy
IM
EET
W
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
M
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE

z

x

z

y

I
O
NI
N
EPRERYWNY
W
M
T
O

FUNKCIQ
f
xy
DIFF
ERENCIRUEMA
W
T
O
K
E
M

oPRE
D
EL
ENIQ
OB
YKN
O
WENN
O
J
T
O
KIOSOBO
J
T
O
KIN
O
RMALXN
OG
O
WEKT
O
RAN
O
RMALI
I
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTIpUSTX
S
P
O
WER
HN
OSTXZA
DAWAEMA
Q
URAWN
ENIEM
F
xy
z
I
M

x

y

z

T
O
KA
NA
S

tO
KA
M

NAZYWAET
SQ
OBYKNOWENNOJ
T
O
K
O
J
P
O
WER
HN
OSTI
S
ESLI
W
T
O
J
T
O
K
E
SUESTWUT
N
EPRERYWNYE
AST
NYE

PRO
IZWO
DNYE
F

x

F

y

I
F

z

N
E
WSE
RAWNYE
NU
LtO
KA
M

NAZYWAET
SQ
OSOBOJ
T
O
K
O
J
P
O
WER
HN
OSTI
S
ESLI
W


fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYH

T
O
J
T
O
K
E
LIBO
WSE
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
F

x

F

y

I
F

z

RAWNY

NU
LLIBO
H
OTQ
B
Y
O
DNA
IZ
TIH
AST
NYH
PRO
IZWO
DNYH
N
E
SUESTWUET
ILI
RAZRYWNAnENU
L
EWO
J
WEKT
O
R
n
NAZYWAET
SQ
NORMALXNYM
K
P
O
WER
HN
OSTI

S
W
T
O
K
E
M

ESLI
lim

M
M

cos
GD
E
M

S
I
UG
OL
M
E
VDU

WEKT
O
RAMI
M

M
I
neSLI
W
T
O
K
E
M

P
O
WER
HN
OSTX
S
OBLA
DAET
N
O
RMALXNYM

WEKT
O
RO
M
nT
O
PRQMA
Q
S
NAPRAWLQIM
WEKT
O
RO
M
nPRO
H
O
DQA
Q
EREZ
T
O
K
U
M

NAZYWAET
SQ
NORMALXK
S
W
T
O
K
E
M

eSLI
W
T
O
K
E
M

P
O
WER
HN
OSTX
S
OBLA
DAET
N
O
RMALXNYM

WEKT
O
RO
M
n
ISL
E
D
O
WAT
ELXN
OOBLA
DAET
N
O
RMALXT
O
PL
OSK
OSTXPRO
H
O
DQA
Q
EREZ
T
O
K
U
M

I
P
ERP
EN
DIK
U
LQRNA
Q
WEKT
O
RU

n
ISL
E
D
O
WAT
ELXN
OP
ERP
EN
DIK
U
LQRNA
Q
N
O
RMALI
K
S
W
M

NAZYWAET
SQ
KASATELXNOJ
PLOSKOSTXK
S
W
T
O
K
E
M


tEO
REMA
O
N
O
RMALXN
O
M
WEKT
O
REN
O
RMALI
I

KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTI
W
OB
YKN
O
WENN
O
J
T
O
K
EpUSTX
S
P
O
WER
HN
OSTXZA
DAWAEMA
Q
URAWN
ENIEM
F
xy
z
M

x

y

z

OB
YKN
O
WENNA
Q
T
O
KA
NA
S
I
n
F

x

x

y

z

F

y

x

y

z

F

z

x

y

z

k
tOGDA
WEKT
O
R
n
QWLQET
SQ
N
O
RMALXNYM
K
S
W
T
O
K
E

M

PRQMA
QZA
DAWAEMA
Q
KAN
O
NIESKIMI
URAWN
ENIQMI

x
x

F

x

M

y
y

F

y

M

z
z

F

z

M

QWLQET
SQ
N
O
RMALXK
S
W
T
O
K
E
M

A
PL
OSK
OSTXZA
DAWAEMA
Q

KAN
O
NIESKIM
URAWN
ENIEM

F

x

M

x
x

F

y

M

y
y

F

z

M

z
z

QWLQET
SQ
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTXK
S
W
T
O
K
E
M

zAM
ETIMT
O
j
nj
q

F

x

M



F

y

M



F

z

M



pUSTX
M
x

xy

y
z

z
T
O
KA
NA
S
q

x

y


z


I
UG
OL
M
E
VDU
WEKT
O
RAMI
M

M
I

ntOGDA

M

M
x
y
z

k
cos
nM

M
j
nj
jM

M
j

F

x

M

x
F

y

M

y
F

z

M

z

j
n
j
tAK
KAK
M

OB
YKN
O
WENNA
Q
T
O
KA
NA
S
T
O
W
T
O
J
T
O
K
E
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
F

x

F

y

F

z

N
EPRERYWNYpO

FUNKCIQ

AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
P
ERWOG
O
P
O
RQDKA
 

F
xy
z
DIFF
ERENCIRUEMA
W
T
O
K
E
M

I
PRIRAENIE
F

T
O
J
FUNKCII
W
M

PRE
D
STAWIM
O
W
WID
E
F
F

x

M

x
F

y

M

y
F

z

M

z
GD
E
lim

tAK
KAK
T
O
KI
M
I

M

L
E
VAT
NA
S
T
O
F
x

xy

y
z

z
F
x

y

z

pOT
O
MU

F
F

x

M

x
F

y

M

y
F

z

M

z
lim

M
M

cos
lim

M
M

F

x

M

x
F

y

M

y
F

z

M

z

jnj
lim

M
M

jnj
lim

M
M

j
nj

I
n
N
O
RMALXNYJ
WEKT
O
R
K
S
W
T
O
K
E
M

kAK
IZWEST
N
OKAN
O
NIESKIE
URAWN
ENIQ
PRQM
O
JPRO
H
O
DQEJ
EREZ
M

S
NAPRAWLQIM
WEKT
O
RO
M
n
IM
ET
WID
A
KAN
O
NIESK
OE

URAWN
ENIE
PL
OSK
OSTIPRO
H
O
DQEJ
EREZ
M

I
P
ERP
EN
DIK
U
LQRN
O
J

WEKT
O
RU
nIM
EET
WID

zAM
EANIEeSLI
T
O
KA
M

P
O
WER
HN
OSTI
S
QWLQETSQ
OSOBO
JT
O
W
T
O
K
E
M

N
O
RMALXNYJ
K
S
WEKT
O
R
M
O
V
ET

N
E
SUESTWO
WATX
I
P
OT
O
MU
S
M
O
V
ET
N
E
IM
ETX
N
O
RMALI

I
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTInAPRIM
ERRASSM
OTRIM
K
O
NUS
S
ZA
DAWAEMYJ
URAWN
ENIEM
F
xy
z
x



y



z



I
T
O
K
U

M

tOGDA
F

x

xF

y

y
F

z

z
F

x

M



F

y

M



F

z

M



I
M

OSOBA
Q
T
O
KA
K
O
NUSA
S
QWLQA
QSQ
WERIN
O
J
T
OG
O
K
O
NUSAqSN
OT
O
W
WERIN
E
M

U
K
O
NUSA

S
N
ET
N
O
RMALXN
OG
O
WEKT
O
RAN
O
RMALI
I
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTI
pRIM
ERnAJTI
KASAT
ELXNUPL
OSK
OSTX
I
N
O
RMALX
K

P
O
WER
HN
OSTI
z
x



y



W
T
O
K
E
M


tAK
KAK
z

x

x
I
z

y

y
T
O
z

x

x

y


I
z

y

x

y

pOT
O
MU
URAWN
ENIE
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTI
IM
EET
WID
x
y

z
ILI
x
y
z

A
URAWN
ENIQ
N
O
RMALI

IM
ET
WID

x




y





z






pRIM
ERnAJD
EM
URAWN
ENIE
PL
OSK
OSTI
K
OT
O
RA
Q

QWLQET
SQ
KASAT
ELXN
O
J
PL
OSK
OSTXK
SF
ERE
x



y



z




I

PARALL
ELXNA
PL
OSK
OSTI
S
URAWN
ENIEM
x
y
z
pUSTX

PRO
H
O
DIT
EREZ
T
O
K
U
M

x

y

z

NA
SF
EREwEKT
O
R
n

S

K
OO
RDINATAMI
x

y

z

QWLQET
SQ
N
O
RMALXNYM
K
uRAWN
ENIE

PL
OSK
OSTI
IM
EET
WID
x

x
x

y

y
y

z

z
z

tAK
KAK
WEKT
O
R
n




N
O
RMALXNYJ
K
PL
OSK
OSTI
x
y
z
K
OLLIN
EAREN
WEKT
O
RU
x

y

z

T
O
x

y

z

I

fUNKCII
N
ESK
OLXKIH
P
EREM
ENNYH

x



y



z



tOGDA
x

y

z


iM
EEM
DWE

T
O
KI
M





I
M




I
DWE
KASAT
ELXNYE
PL
OSK
OSTI



I


S
URAWN
ENIQMI
x

y

z

I

x

y

z

iTAKPL
OSK
OSTI



I


IM
ET

URAWN
ENIQ
x
y
z

I
x
y
z

SOOTWET
STWENN
O

nEQWNYE
FUNKCII
I
IH
PRO
IZWO
DNYEgO
WO
RQTT
O

URAWN
ENIE
F
xy
O
PRE
D
ELQET
NEQWNUFUNKCIy
xESLI

F
xy
xaNAL
OGIN
OG
O
WO
RQTT
O
URAWN
ENIE
F
xy
z
O
PRE
D
ELQET
NEQWNUFUNKCIz
xy
ESLI
F
xy
z
xy
eSLI
FUNKCIQ
F
xy
TAK
O
WAT
O
F
x

y

AST
NYE

PRO
IZWO
DNYE
F

x

I
F

y

N
EPRERYWNY
W
N
EK
OT
O
RO
J
O
KREST
N
OSTI

T
O
KI
x

y

I
F

y

x

y

T
O
M
O
VN
O
D
O
KAZATXT
O
URAWN
ENIE

F
xy
O
PRE
D
ELQET
N
EQWN
O
W
N
EK
OT
O
RO
J
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI

x

E
DIN
STWENNUN
EPRERYWNUFUNKCIy
xU
D
O
WL
ETWO
RQUUSL
O
WIy
x

y

PRIEM
TA
FUNKCIQ
IM
EET
PRO
IZWO
DNUN
EPRERYWNUW
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
x

I

dy

dx

F

x

F

y

eSLI
FUNKCIQ
F
xy
z
TAK
O
WAT
O
F
x

y

z

AST
NYE

PRO
IZWO
DNYE
F

x

F

y

F

z

N
EPRERYWNY
W
N
EK
OT
O
RO
J
O
KREST
N
OSTI

T
O
KI
x

y

z

I
F

z

x

y

z

T
O
M
O
VN
O
D
O
KAZATXT
O

URAWN
ENIE
F
xy
z
O
PRE
D
ELQET
N
EQWN
O
W
N
EK
OT
O
RO
J
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI
x

y

E
DIN
STWENNUN
EPRERYWNUFUNKCIz
xy
U
D
O
WL
ETWO
RQUUSL
O
WIz
x

y

z

PRIEM
z
xy
IM
EET
N
EPRERYWNYE
AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
W
O
KREST
N
OSTI
T
O
KI

x

y

I

z

x

F

x

F

z

z

y

F

y

F

z




dLQ
FUNKCII
y
xO
PRE
D
ELQEM
O
J
N
EQWN
O
URAWN
ENIEM
y
sin
y
x
NAJTI
y

xzD
ESX
F
xy
y
sin
y
x
F

x


F

y



cos
y
I

dy

dx

F

x

F

y






cos
y






cos
y


AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
WYSIH
P
O
RQDK
O
W



AST
NYE
PRO
IZWO
DNYE
WYSIH
P
O
RQDK
O
WAST
NYE

PRO
IZWO
DNYE
P
ERWOG
O
P
O
RQDKA
OT
FUNKCIJ
z

x

xy
I
z

y

xy
NAZYWAT
SQ
ASTNYMI
PROIZWODNYMI
WTOROGO
PORQDKA
OT