Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Казанский национальный исследовательский

технологический университет

ВВЕДЕНИЕ В БУЛЕВУ, 

ЛИНЕЙНУЮ, ВЕКТОРНУЮ, 

ТЕНЗОРНУЮ АЛГЕБРУ

Учебно-методическое пособие

Казань

Издательство КНИТУ

2022

УДК 512.56(075)
ББК 22.14я7

В24

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук  К. А. Поташев
канд. физ.-мат. наук О. С. Жучкова

Составители:

О. Н. Зайцева, А. Н. Нуриев, П. В. Малов

В24

Введение в булеву, линейную, векторную, тензорную алгебру : 
учебно-методическое пособие / сост.: О. Н. Зайцева, А. Н. Нуриев, 
П. В. Малов; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. –
Казань : Изд-во КНИТУ, 2022. – 116 с.

ISBN 978-5-7882-3180-8

Рассмотрены фундаментальные понятия булевой, линейной, векторной 

и тензорной алгебры. 

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подго
товки «Информационные системы и технологии», «Информационная безопасность».

Подготовлено на кафедре информатики и прикладной математики.

ISBN 978-5-7882-3180-8
© Зайцева О. Н., Нуриев А. Н., Малов П. В., 

составление, 2022

© Казанский национальный исследовательский 

технологический университет, 2022

УДК 512.56(075)
ББК 22.14я7

2

О Г Л А В Л Е Н И Е

Введение..................................................................................................................4
Глава 1. БУЛЕВА АЛГЕБРА.................................................................................5

1.1. Высказывания и логика.............................................................................6
1.2. Булева алгебра..........................................................................................11
1.3. Карта Карно..............................................................................................17
Задачи для самостоятельного решения.........................................................22

Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ........................................................................25

2.1. Определители, их свойства.....................................................................26
2.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, 

определенность. Методы Гаусса и Крамера ......................................................30

2.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ ..........37
Задачи для самостоятельного решения.........................................................43

Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.......................................................................49

3.1. Векторы и линейные операции над ними..............................................52

3.1.1. Сложение векторов............................................................................52
3.1.2. Вычитание векторов ..........................................................................54
3.1.3. Умножение вектора на число............................................................54

3.2. Базис в пространстве и на плоскости.....................................................55
3.3. Проекция вектора на ось и ее свойства..................................................58
3.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки.....60
3.5. Скалярное произведение векторов.........................................................62
3.6. Векторное произведение.........................................................................65
3.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов .........69
3.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rn..........................72
3.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные 

векторы. Квадратичные формы в Rn...................................................................77

Задачи для самостоятельного решения.........................................................85
Варианты контрольной работы .....................................................................93

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ...............................................96

4.1. Тензоры в пространстве и операции над ними .....................................97

4.1.1. Задача, приводящая к понятию тензора в пространстве
...........97

4.1.2. Сокращенные обозначения для векторов и матриц........................98
4.1.3. Преобразование координат. Определение тензора ранга n..........101
4.1.4. Операции над тензорами.................................................................103

4.2. Свойства тензоров .................................................................................106

4.2.1. Симметрия и разложение тензоров................................................106
4.2.2. Главные оси тензора........................................................................108
4.2.3. Инварианты тензора ........................................................................110

Задачи для самостоятельного решения.......................................................112
Варианты контрольной работы ...................................................................113

Литература..........................................................................................................114

3

В В Е Д Е Н И Е

В основе данного пособия курсы лекционных и практических 

занятий, проводимых по дисциплинам «Дискретная математика», «Алгебра и аналитическая геометрия».

Первая глава посвящена основам логики высказываний и буле
вой алгебры. Материал в этой главе подобран так, чтобы сформировать 
необходимую базу знаний у студентов-программистов для понимания 
ими теории и принципов работы современных электронных вычислительных устройств и создания алгоритмов. Большое внимание уделено 
работе с логическими выражениями, рассмотрен метод представления 
их в стандартной форме, называемой «дизъюнктивная нормальная 
форма». Также описан способ карта Карно, который применяется для 
автоматического упрощения булевых выражений. 

Во второй главе излагаются основы линейной алгебры. Рас
сматриваются теория и алгоритмы для вычисления определителей, проведения операций над матрицами, решения систем линейных уравнений. Материал главы направлен на формирование у студентов-программистов базовые навыков по работе с одномерными и двумерными 
массивами данных, а также по решению линейных задач, повсеместно 
встречающихся в численном моделировании.

Третья глава посвящена введению в векторную алгебру. Изуче
ние векторов начинается с пространств R2, R3, с которыми студенты 
знакомы со школы, а затем переходит к пространству Rn. Материал 
несет в себе базовые теоретические знания, необходимые для работы 
с 3D-графикой, а также работы с системами САПР (CAD).

В четвертой главе рассматриваются понятие тензора, его основ
ные свойства и операции над тензорами. Материал служит для формирования у студентов-программистов теоретической базы для работы 
с моделями физических явлений.

Авторы выражают глубокую благодарность профессору

Л. Н. Журбенко за предоставление базы примеров для написания глав 
2 и 3 данного учебного пособия. 

4 

Г л а в а 1 .  Б У Л Е В А  А Л Г Е Б Р А

Опорный конспект 1

1.1. Высказывания и логика

Высказыванием 
P 
называется 

утверждение, имеющее значение 
истинности, т. е. оно может быть 
истинным (И) или ложным (Л).
Составное высказывание может 
быть построено из других высказываний с помощью логических 
операций (например, не, или, и).

Логические операции:

1. Конъюнкция, или логическое 
умножение:

2. Дизъюнкция:

3. Отрицание (инверсия):

4. Импликация:

5. Эквивалентность:

Последовательность выполнения 

логических операций:

1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация;
5) эквивалентность

1.2. Булева алгебра

Булева 
переменная 
принимает 

только два значения: 0 и 1. Булевы 
переменные можно комбинировать, 
используя операции 
для со
здания булевых выражений.

Законы булевой алгебры:

Законы коммутативности:
p 
q = q 
p, p 
q = q 
p.

Законы ассоциативности:
p 
(q 
r) = (p 
q) 
r,

p 
(q 
r) = (p 
q) 
r.

Законы дистрибутивности:
p 
(q 
r) = (p 
q) 
(p 
r),

p 
(q 
r) = (p 
q) 
(p 
r).

Законы идемпотентности:
p 
p = p, p 
p = p.

Законы поглощения:
p 
(p 
q) = p,  p 
(p 
q) = p.

Законы де Моргана:

Булевой функцией от n аргументов 
называется функция f из n-й степени множества { 0, 1 } в множество 
{0, 1}. Булева функция называется 
минтермом, если столбец таблицы 
истинности, в котором записаны ее 
значения, содержит одну единицу.

Любая булева функция может быть 
единственным образом записана как 
дизъюнкция минтермов. Такое представление функции называется дизъюнктивной нормальной формой.

1.3. Карта Карно

Булево выражение можно упростить, используя карту Карно – прямоугольную 
таблицу, чьи строки и столбцы обозначены конъюнкциями булевых переменных и их отрицаний. В клетках этой таблицы, соответствующих минтермам 
данной дизъюнктивной нормальной формы, помещаются единицы.

,
,
,

,

И если P
И Q
И
P
Q
Л иначе

=
=

= 



и

,
,
,

,

Л если P
Л Q
Л
P
Q
И иначе

=
=

= 



или

Л,
,

,
если P
И
P
P
И если P
Л

=

=
= 
=


не

Л,
,
,

И,

если P
И Q
Л
P
Q
иначе

=
=


= 



,
,

,
,

,

И если P
Q
И

P
Q
И если P
Q
Л

Л иначе

=
=



=
=
=



,
,
 




































(
)
,
p
q
p
q

=

(
)
.
p
q
p
q

=


1 . 1 . В ы с к а з ы в а н и я  и  л о г и к а

Понятие высказывание является первоначальным и основопола
гающим в логике.

О: Высказывание − произвольное утверждение (повествова
тельное предложение), которое может быть либо истинным (обозначается буквой И или 1), либо ложным (обозначается Л или 0) •

Можно привести следующие простые примеры высказываний:
– «море – пресный водоем» − ложное высказывание;
– «лед скользкий» − истинное высказывание;
– «3 – простое число» − истинное высказывание.
Для проведения формальных операций над высказываниями бу
дем использовать для их обозначения буквы латинского алфавита. 
Пусть, например, P обозначает высказывание «море – пресный водоем», Q – «лед скользкий» и R – «3 – простое четное число».

О: Используя такие логические операции, как не, или, и, можно 

построить составные высказывания, компонуя их из простых высказываний •

Например:
– (не Q) – это высказывание «лед нескользкий»;
– (P или Q) – «море – пресный водоем или лед скользкий»;
– ((не R) и Q) – «3 – непростое четное число и лед скользкий».

Пример 1.1. Обозначим, как и ранее, через Q высказывание «лед 

скользкий», а через R – «3 – простое четное число». Требуется выразить 
каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.

(а)
Лед нескользкий, и 3 – простое четное число.

(б)
Лед нескользкий, и 3 – непростое четное число.

(в)
Лед скользкий, или 3 – непростое четное число.

Решение:

(а)
(не Q) и R.

(б)
(не Q) и (не R).

(в)
Q или (не R).

Составное высказывание, как и простое, будем обозначать бук
вой, например P = (не Q) и R.

Составное высказывание, как и простое, может быть истинным 

или ложным. Чтобы определить значение истинности составных 

высказываний, необходимо знать, какой эффект они оказывают на истинностное значение простых высказываний. 

О: Конъюнкцией, или логическим умножением, двух высказы
ваний P и Q называют составное высказывание вида (P и Q). Оно принимает истинное значение только в том случае, когда истинны обе его 
составные части:

•

Соответствующий результат можно представить также в  виде 

таблицы. Такая таблица называется также таблицей истинности:

P
Q
(P и Q)

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
Л

О: Таблица истинности − это таблица, которая описывает ло
гические операции •.

О: Дизъюнкцией, или логическим сложением, двух высказыва
ний P и Q называется составное высказывание (P или Q). Оно истинно, 
если хотя бы одна из ее составных частей имеет истинное значение:

•

Таблица истинности дизъюнкции:

P
Q
(P или Q)

И
И
И

И
Л
И

Л
И
И

Л
Л
Л

,
,
,

,
.

И если P
И Q
И
P
Q
Л иначе

=
=

= 



и

,
,
,

,
.

Л если P
Л Q
Л
P
Q
И иначе

=
=

= 



или

Пример 1.2. Что можно сказать об истинности составного вы
сказывания: «земля плоская, и Иван Грозный завоевал Казань, или не 
верно, что динозавры вымерли»?

Решение. Обозначим через P высказывание «земля плоская», 

через Q – высказывание «Иван Грозный завоевал Казань» и через 
R – высказывание «динозавры вымерли». Символьная запись данного 
высказывания имеет вид: (P и Q) или (не R). Известно, что высказывание P ложно, a Q и R истинны. Поэтому высказывание (P и Q) или (не
R) имеет такое истинностное значение: (Л и И) или Л, что эквивалентно 
Л (т. е. (P и Q) или (не R) = = Л).

О: Отрицанием, или инверсией, произвольного высказывания P

называется высказывание вида (не P), чье истинностное значение 
строго противоположно значению P:

•

Определяющая таблица истинности отрицания высказывания:

P
(не P)

И
Л

Л
И

Два составных высказывания, построенные из одних и тех же 

простых утверждений, но разными путями, могут принимать одинаковые значения истинности на любом возможном наборе значений истинности своих составных частей. Такие высказывания называются логически эквивалентными.

Пример 1.3. Показать, что высказывание (не (P и (не Q))) логи
чески эквивалентно утверждению ((не P) или Q).

Решение. Заполним совместную таблицу истинности для со
ставных высказываний: R = (не (P и (не Q))) 
и 
S = ((не P)

или Q). Вспомогательные колонки используются для построения обоих 
выражений из P и Q:

P
Q
не P
не Q
P и (не Q)
R
S

И
И
Л
Л
Л
И
И

И
Л
Л
И
И
Л
Л

Л
И
И
Л
Л
И
И

Л
Л
И
И
Л
И
И

,

,
.

И если P
Л
P
Л иначе

=

= 



не

Две последние колонки таблицы идентичны. Это означает, что 

высказывание R логически эквивалентно высказыванию S.

О: Эквивалентность можно рассматривать как еще одну логи
ческую операцию. Для нее используется символ «». Ее формальное
определение можно дать как

•

Важно изучить еще один тип логического оператора, результа
том которого является условное высказывание. Примером такого высказывания является следующее: «если завтра будет суббота, то сегодня –
пятница». При определении истинностного значения условного высказывания необходимо различать фактическую истину и логическую.

Рассмотрим высказывание «если P, то Q». В том случае, когда 

предпосылка P истинна, мы не можем получить логически корректного 
заключения, если Q ложно. Однако если посылка P ложна, мы имеем 
логически корректное высказывание и когда Q ложно, и когда оно истинно.

Пример 1.4. Пусть P – (ложное) высказывание 1 = 5, Q – (тоже 

ложное) высказывание 3 = 7 и R – (истинное) утверждение 4 = 4. Показать, что условные высказывания: «если P, то Q» и «если P, то R» – оба 
истинны.

Решение. Если 1 = 5, то, прибавляя 2 к обеим частям равенства, 

мы получим, что 3 = 7. Следовательно, высказывание «если P, то Q»
справедливо. Вычтем теперь из обеих частей равенства 1 = 5 число 3 
и придем к (– 2) = 2. Поэтому (– 2)2 = 22, т. е. 4 = 4. Таким образом, «если 
P, то R» тоже верно.

О: В логике условное высказывание «если P, то Q» принято счи
тать ложным только в том случае, когда предпосылка P истинна, а заключение Q ложно. В любом другом случае оно считается истинным:

•

Используя символ импликации «», мы пишем P  Q для обо
значения условного высказывания «если P, то Q». Таблица истинности 
импликации:

И,
,

(
)
И,
,

Л,
.

если P
Q
И

если P
Q
P
Л

и аче

Q

н



=
=


=
=
=



,
,
,

,
)
(
.

Л если P
И Q
Л
P
Q
аче
P
Q
И ин

=
=

=
= 




если
, то

P
Q
(P   Q)

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
И

Л
Л
И

Пример 1.5. Высказывание ((не Q)  (не P)) называется про

тивоположным или контрапозитивным к высказыванию (P  Q). Показать, что ((не Q)  (не P)) логически эквивалентно высказыванию 
(P  Q).

Решение. Рассмотрим совместную таблицу истинности:

P
Q
не P
не Q
(P  Q)
((не Q)  (не P))

И
И
Л
Л
И
И

И
Л
Л
И
Л
Л

Л
И
И
Л
И
И

Л
Л
И
И
И
И

Поскольку два последних столбца этой таблицы совпадают, то 

и высказывания, о которых идет речь, логически эквивалентны.

О: Порядок выполнения логических операций задается круг
лыми скобками, но для уменьшения числа скобок принято применять 
следующую последовательность:
1) инверсия;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликация;
5) эквивалентность. •

При построении таблиц истинности необходимо учитывать все 

возможные сочетания логических значений И и Л исходных выражений. 

Для построения таблицы истинности необходимо определить:

– количество строк: количество строк = 
+ строка для за
головка (n – количество простых высказываний), 

– количество столбцов: количество столбцов = количество пе
ременных + количество логических операций;

– последовательность выполнения основных логических операций.

2n