Численные методы. Практикум

А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
И.А. КУДРЯВЦЕВА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
ПРАКТИКУМ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано 
Редакционно-издательским советом 
Московского авиационного института 
(национального исследовательского университета) 
в качестве учебного пособия
Москва
ИНФРА-М
202

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
 
П16
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра прикладной информатики Московского государственного психолого-педагогического университета (заведующий кафедрой доктор технических 
наук, профессор Куравский Л.С.);
кафедра прикладной математики Московского государственного психологопедагогического университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук Яшин А.Д.);
Синицын В.И., доктор физико-математических наук (Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук)
Пантелеев А.В.
П16  
Численные методы. Практикум : учебное пособие / А.В. Пантелеев, И.А. Кудрявцева. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 512 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-018445-6 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
В учебном пособии изложены классические численные методы решения систем 
линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений и систем, нахождения 
собственных значений и векторов, методы теории приближения функций, численного дифференцирования, интегрирования и решения дифференциальных уравнений. В каждом разделе изложены постановка задачи, пошаговые алгоритмы решения, 
подробные решения типовых примеров. Приведены способы реализации описанных 
алгоритмов в системах компьютерной математики.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов, аспирантов технических вузов и университетов, изучающих численные методы и их приложения.
УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
© Пантелеев А.В., 
ISBN 978-5-16-018445-6 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)
Кудрявцева И.А., 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
Предисловие................................................................................................................................ 7 
Введение ...................................................................................................................................... 8 
Глава 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений................... 18 
 
1.1. Постановка задачи .............................................................................................. 18 
 
1.2. Прямые методы................................................................................................... 20 
 
 
1.2.1.  Метод Гаусса............................................................................................ 20 
 
 
1.2.2. Метод прогонки....................................................................................... 27 
 
 
1.2.3.  Метод на основе LU-разложения ........................................................... 31 
 
 
1.2.4.  Метод квадратных корней...................................................................... 37 
 
 
1.2.5.  Метод на основе QR-разложения........................................................... 40 
 
1.3. Итерационные методы........................................................................................ 48 
 
 
1.3.1. Метод простых итераций........................................................................ 48 
     1.3.2. Метод Зейделя ......................................................................................... 53 
 
1.3.3.  Метод релаксации.................................................................................... 62 
 
1.3.4.  Метод Шульца.......................................................................................... 65 
1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений в системах                       
   
компьютерной математики ................................................................................ 68 
 
1.4.1. Решение в системе MATLAB .................................................................. 68 
 
1.4.2. Решение в системе MathCAD .................................................................. 73 
 
Глава 2. Методы решения задач о собственных значениях  
             и собственных векторах матриц........................................................................... 85 
 
2.1. Постановка задачи .............................................................................................. 85 
 
2.2. Метод непосредственного развертывания ....................................................... 86 
 
2.3. Метод итераций................................................................................................... 90 
      2.4. Метод вращений ................................................................................................ 93 
 
2.5. Метод на основе LU-разложения .................................................................... 100 
 
2.6. Метод на основе QR-разложения.................................................................... 101 
 
2.7. Решение задач о собственных значениях  и собственных векторах 
                       матриц в системах компьютерной математики ............................................. 108 
 
2.7.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 108 
 
2.7.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 109 
          
Глава 3. Методы решения нелинейных уравнений........................................................ 115 
       3.1. Постановка задачи ............................................................................................ 115 
       3.2. Отделение корней ............................................................................................. 116 
 
3

       3.3. Метод половинного деления ........................................................................... 118 
       3.4. Метод хорд ........................................................................................................ 122 
 
3.5. Метод простых итераций................................................................................. 125 
 
3.6. Метод Ньютона................................................................................................. 131 
 
3.7. Модификации метода Ньютона....................................................................... 136 
 
3.8. Решение нелинейных уравнений в системах компьютерной 
                       математики ........................................................................................................ 140 
 
3.8.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 140 
 
3.8.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 145 
 
Глава 4. Методы решения систем нелинейных уравнений ........................................... 155 
       4.1. Постановка задачи ............................................................................................ 155 
 
4.2. Метод простых итераций................................................................................. 156 
 
4.3. Метод Зейделя................................................................................................... 159 
 
4.4. Метод Ньютона................................................................................................. 161 
 
4.5. Модификации метода Ньютона....................................................................... 167 
 
4.6. Решение систем нелинейных уравнений в системах компьютерной 
                       математики ........................................................................................................ 172 
 
4.6.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 172 
 
4.6.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 175 
Глава 5. Методы приближения функций .......................................................................... 182 
      5.1. Постановка задачи ............................................................................................ 182 
 
5.2. Методы интерполяции ..................................................................................... 184 
       
5.2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа .......................................... 184 
          
5.2.2. Интерполяционные многочлены Ньютона ......................................... 192 
 
 
5.2.3. Интерполяционные кубические сплайны ........................................... 203 
 
5.3. Методы интегрального сглаживания.............................................................. 211 
 
 
5.3.1.  Точечный метод наименьших квадратов ............................................ 211 
 
 
5.3.2.  Интегральный метод наименьших квадратов..................................... 226 
 
5.4. Методы приближения функций в системах компьютерной 
                       математики ........................................................................................................ 242 
 
5.4.1.  Решение в системе MATLAB............................................................... 242 
 
5.4.2.  Решение в системе MathCAD............................................................... 249 
 
 
 
  
Глава 6. Методы численного дифференцирования ........................................................ 257 
 
6.1. Постановка задачи ............................................................................................ 257 
 
 
6.2. Формулы численного дифференцирования ................................................... 257 
 
 
 
6.2.1. Применение двухточечного шаблона.................................................. 257 
 
       
6.2.2. Применение трехточечного шаблона .................................................. 258 
 
4 

 
 
      6.2.3.  Применение четырехточечного шаблона............................................ 261 
 
 
 
6.2.4.  Применение пятиточечного шаблона.................................................. 264 
 
 
6.2.5.   
Метод Рунге уточнения результатов численного  
                           
дифференцирования ............................................................................. 266 
 
6.3. Методы численного дифференцирования в системах компьютерной 
                       математики ........................................................................................................ 269 
 
6.3.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 269 
 
6.3.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 271 
 
Глава 7. Методы численного интегрирования ............................................................... 278 
 
7.1. Постановка задачи ............................................................................................ 278 
 
 
7.2. Формулы численного интегрирования........................................................... 279 
 
 
 
7.2.1.  Применение двухточечного шаблона.................................................. 279 
 
 
 
7.2.2. Применение трехточечного шаблона .................................................. 282 
 
 
 
7.2.3. Применение многоточечных шаблонов .............................................. 283 
 
7.3. Методы численного интегрирования в системах компьютерной 
                       математики ........................................................................................................ 290 
 
7.3.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 290 
 
7.3.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 292 
Глава 8. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений .............. 299 
 
 
8.1. Постановка задачи ............................................................................................ 299 
 
 
8.2. Явные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.... 308 
 
 
 
8.2.1.  Явный метод Эйлера............................................................................ 308 
              
8.2.2.  Метод Эйлера-Коши ............................................................................ 311 
 
 
8.2.3.  Модифицированный метод Эйлера .................................................... 311  
              
8.2.4.  Методы Рунге-Кутты ........................................................................... 311 
 
 
8.2.5.  Методы Адамса-Бэшфорта ................................................................. 318 
 
 
8.2.6.  Методы Фельберга ............................................................................... 320  
              
8.2.7.  Методы Ингленда................................................................................. 321 
 
 
8.2.8.  Методы Нюстрема................................................................................ 322  
              
8.2.9.  Явные методы Милна .......................................................................... 323 
 
 
8.2.10.  Явные методы Хемминга..................................................................... 323 
 
 
8.2.11. Методы предсказания и коррекции..................................................... 324 
 
 
8.2.12. Экстраполяционные методы................................................................ 327 
 
8.3. Неявные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 334 
              
8.3.1. Неявный метод Эйлера........................................................................... 334 
 
 
8.3.2. Метод трапеций....................................................................................... 335  
              
8.3.3. Методы Адамса-Мултона ...................................................................... 335 
 
 
8.3.4. Методы Гира ........................................................................................... 340 
 
5

 
 
8.3.5. Неявные методы Милна ......................................................................... 342  
              
8.3.6. Неявные методы Хемминга ................................................................... 342 
 
 
8.3.7. Неявные методы Рунге-Кутты............................................................... 342  
 
8.4. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 
                       в системах компьютерной математики........................................................... 344 
 
8.4.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 344 
 
8.4.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 350 
Глава 9. Методы решения краевых задач......................................................................... 364 
 
9.1. Постановка задачи и основные положения.................................................... 364 
 
9.2. Метод сеток ....................................................................................................... 367 
 
9.3. Методы минимизации невязки........................................................................ 373 
 
9.4. Метод стрельбы ................................................................................................ 381 
 
9.5. Метод конечных элементов............................................................................. 386 
 
9.6. Методы решения краевых задач в системах компьютерной математики... 395 
 
9.6.1. Решение в системе MATLAB ................................................................ 395 
 
9.6.2. Решение в системе MathCAD ................................................................ 398 
 
Глава 10. Методы решения дифференциальных уравнений  
                  в частных производных...................................................................................... 410 
10.1. Постановка задачи и основные положения....................................................... 410 
10.2. Принципы построения разностных схем........................................................... 425 
 
10.3. Разностные схемы решения уравнений первого порядка................................ 433 
 
10.4. Разностные схемы решения уравнений второго порядка  
          с двумя независимыми переменными............................................................... 440 
 
  
10.4.1. Разностные схемы решения уравнений параболического типа.......... 440 
 
 
10.4.2. Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа........ 448 
 
   
10.4.3. Разностные схемы решения уравнений эллиптического типа............ 454 
 
10.5. Метод прямых...................................................................................................... 458 
 
10.6. Разностные схемы решения уравнений с тремя независимыми   
         переменными ...................................................................................................... 462 
           10.7. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 
                     в системах компьютерной математики............................................................. 470 
 
10.7.1. Решение в системе MATLAB................................................................. 470 
 
10.7.2. Решение в системе MathCAD................................................................. 483 
 
Приложение. Краткое описание работы в системах компьютерной  
математики  MATLAB  и MathCAD .................................................................................. 491 
 
Литература.............................................................................................................................. 507 
 
Предметный указатель......................................................................................................... 510 
 
6 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Книга предназначена для студентов технических специальностей и представляет 
собой учебное пособие по курсу «Численные методы». Предполагается, что читатель владеет основными понятиями математического анализа и линейной алгебры. Книга состоит 
из десяти разделов, которые охватывают основной материал курсов лекций, читаемых авторами на различных факультетах Московского авиационного института (национального 
исследовательского университета).  
Книга включает описание классических численных методов, применяемых в инженерных расчетах. Она написана на основе учебных пособий [23, 24], предназначенных 
для студентов специальности «Прикладная математика»  и содержащих помимо стандартных методов изложение новых экономичных, устойчивых и простых в реализации 
процедур, позволяющих решать прикладные задачи с переменной величиной шага, которые были предложены в работах д.ф.-м.н., проф. В.И. Киреева. 
Изложение построено по единой схеме, включающей постановку задачи, пошаговую методику решения, характеристику точности метода, демонстрационные примеры.  
Каждая глава книги содержит раздел, в котором продемонстрированы возможные 
пути реализации изложенных методов в системах компьютерной математики MathCAD и 
MATLAB. Авторы ставили перед собой задачу, не претендуя на полноту, показать применение встроенных в системы компьютерной математики операторов. Для иллюстрации 
описанных подходов выбраны типовые модельные примеры из основного содержания 
книги. 
Для изучения возможностей систем MathCAD и MATLAB авторы рекомендуют 
[15–18, 27, 32, 37, 41–42, 57]. 
В конце каждой главы предлагаются задачи для самостоятельного решения. Кроме 
того, имеются задачи для расчетно-графических работ, в том числе зависящие от параметров  m  – порядкового номера учебной группы в лекционном потоке и n – номера 
студента по списку группы. Это может позволить студентам выработать навыки решения 
типовых задач.  
Книга может быть использована для самостоятельного изучения курса, так как содержит весь необходимый теоретический материал и большое количество детально разобранных примеров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7

ВВЕДЕНИЕ 
 
В.1. Понятие о численных методах 
 
 
Большинство прикладных задач анализа, синтеза и оптимизации современных технических систем связаны с использованием компьютеров и вычислительных методов. 
При этом обычно выполняются следующие этапы. 
1. Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т.е. что дано и что требуется определить. 
Как правило, этот этап выполняется специалистом в конкретной предметной области.  
2. Поиск, выбор или модификация некоторой математической модели, адекватной 
физической постановке задачи. На этом этапе осуществляются:     
– выделение (запись) основных математических уравнений, соотношений, аппроксимационных формул, описывающих задачу; 
– выделение (запись) дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий; 
–  предварительное (априорное) обоснование математической модели. 
Этот этап является очень важным, так как ошибочная или неудачная модель,      
неадекватная физической, сводит «на нет» все дальнейшие усилия по реализации проекта. Заметим, что при решении многих задач выбираются, как правило, общепринятые математические модели. 
3. Разработка, выбор или модификация математического (аналитического, приближенно-аналитического или численного) метода, наиболее целесообразного и экономичного. Этот этап осуществляется на основе имеющихся у исследователей знаний 
(субъективный подход), а также исходя из ресурсов компьютера – оперативной и внешней памяти, быстродействия, возможностей представления информации (объективный 
подход).      
4. Составление алгоритма. 
5. Разработка программного обеспечения. 
6. Решение задачи: апостериорное обоснование модели и метода путем их методических и параметрических компьютерных исследований в привязке к реальному объекту.  
В результате анализа полученного решения задачи может осуществляться переход 
к любому из описанных этапов для внесения соответствующих изменений. Изложенные 
этапы исследования прикладных задач схематически показаны на рис. В.1. 
 
 
Классическим средством изучения математических моделей и исследований на их 
основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего 
значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, 
весьма ограничен. Поэтому решение широкого класса задач при отработке современных 
технических систем, как правило, осуществляется численными методами. 
 
Численные методы – это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или 
вычислительной математикой. 
 
8 

 
   
 
Физическая постановка задачи 
Поиск, выбор или модификация  
математической  модели  
Разработка, выбор или           
модификация математического  
метода
Составление алгоритма 
Разработка программного         
обеспечения 
 Решение задачи и  анализ        
результатов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. В.1 
 
 
Решения, получаемые численными методами, в силу их приближенности содержат 
некоторые погрешности. Рассмотрим их источники и типы. 
 
В.2. Погрешности вычислений 
 
 
Один из типов погрешностей обусловлен неадекватностью выбранной математической модели исходной физической. Эта неадекватность в большей или меньшей 
степени присуща всем приближенно решаемым задачам. Данная погрешность является 
неустранимой, и она определяется апостериорным путем (на шестом этапе решения задачи (см. рис. В.1)). Остальные три типа погрешностей являются сугубо вычислительными и обусловлены следующими причинами.  
 
Неточность (неопределенность) задания исходных данных приводит также к       
неустранимым погрешностям, связанным с точностью измерений или вычислений, или 
округлением данных. 
 
9

 
Если устранить неопределенность в исходных данных, например, путем их фиксирования, и найти решение с помощью какого-либо численного метода, то получится результат, не в точности соответствующий исходным данным. Это есть погрешность численного метода или какого-либо другого приближенного метода (например, приближенно-аналитического); именно такие погрешности будут оцениваться при рассмотрении 
численных методов. Эти оценки могут получаться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).  
 
В компьютере все числа представляются в конечном виде, и поэтому при использовании вычислительного алгоритма реализуются ошибки арифметических и других операций над числами, а также ошибки округления. 
 
Дадим некоторые понятия из теории погрешностей вычислительных действий над 
приближенными величинами. 
 
Пусть x  – точное, но, как правило, неизвестное значение величины, а x
ˆ – ее известное приближенное значение.  
 
Абсолютной погрешностью приближения x
ˆ называется разность 
x
x
x
ˆ
ˆ

 
'
 
(в общем случае 
x
ˆ
'
 имеет размерность величины x ). 
 
Относительная погрешность приближения x
ˆ обозначается G  и выражается       
x
ˆ
'
 
G
 (G – безразмерная величина,
0
z
x
ˆ
). Часто величина G  вычисляется 
отношением 
ˆ
x
в процентах, и тогда она умножается на сто.  
 
Так как величина x , как правило, неизвестна, а погрешность необходимо определять, то в рассмотрение вводится предельная абсолютная погрешность 
)
ˆ
(x
'
: 
  
 
)
ˆ
(
ˆ
ˆ
x
x
x
x
'
d

 
'
.  
Раскрывая в этом неравенстве модуль, получаем соотношение, задающее отрезок, которому принадлежит точное значение: 
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
x
x
x
'

d
d
'

. 
 
Таким образом, величина x  находится в '-окрестности (дельта-окрестности), определяемой величинами  x
ˆ  и  
)
ˆ
(x
'
 и составляющей отрезок >
@
b
a,
 (рис. В.2). 
x
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
x
x
a
'

 
)
ˆ
(
ˆ
x
x
b
'

 
 
)
ˆ
(x
'
)
ˆ
(x
'
 
 
                                                
 
 
 
 
 
 
Рис. В.2 
 
  
 
Предельная относительная погрешность приближения x
ˆ определяется отношением 
)
ˆ
(
)
ˆ
(
'
 
G
. Отсюда получается часто используемое соотношение  
x
x
ˆ
x
 
 
x
x
x
ˆ
)
ˆ
(
)
ˆ
(
˜
G
 
'
.  
 
 
10