Основы теории цепей

УДК 621.39(075.8)
ББК 32.88я73
А85
Р е ц е н з е н т ы :
доктор технических наук, доцент, научный консультант Смоленского филиала
НОУ ВПО «Академия права и управления (институт)» С.А. Вашкевич;
доктор технических наук, профессор математики и информатики
Голицынского пограничного института ФСБ России В.В. Горячкин
Арсеньев Г.Н., Бондаренко В.Н., Чепурнов И.А.
А85
Основы теории цепей : учебное пособие / Г.Н. Арсеньев, В.Н. Бондаренко,
И.А. Чепурнов ; под ред. Г.Н. Арсеньева. — М. : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М,
2023. — 448 с. : ил. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-8199-0466-4 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-004798-0 (ИНФРА-М)
В учебном пособии на основе положений теории электромагнитного поля изложены
вопросы теории электрических линейных и нелинейных цепей, даны общие теоретические сведения о методах расчета, на многочисленных примерах показана методика применения методов расчета, входящих в программы подготовки специалистов по направлению «Радиотехника». Описаны методики составления передаточных функций, уравнений равновесия и уравнений состояния электрических цепей. Математическую
основу анализа и синтеза электрических цепей составили частотный, операторный и
метод пространства состояний. Практическому применению этих методов способствовали как специально разработанные системы расчетно-аналитических компьютерных
программ, так и уже известные математические среды типа Mathcad. Теоретические
расчеты и выводы в пособии подтверждены наглядными практическими примерами,
выполненными в компьютерных математических и графических средах.
Для студентов и курсантов электро- и радиотехнических специальностей средних и
высших учебных заведений, пособие также может быть полезным для инженеров и технических специалистов, занимающихся анализом, синтезом и эксплуатацией электрических цепей и устройств.
УДК 621.39(075.8)
ББК 32.88я73
© Арсеньев Г.Н., Бондаренко В.Н.,
Чепурнов И.А., 2011
ISBN 978-5-8199-0466-4 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-004798-0 (ИНФРА-М)
© ИД «ФОРУМ», 2011

Предисловие
В подготовке инженеров важнейшая роль отводится овладению специалистами научно-теоретическими и практическими методами получения и
применения новых знаний в своей профессиональной деятельности. Теоретическое и практическое применение этих методов начинается непосредственно в процессе обучения, уже на начальном этапе при изучении естественно-научных и общепрофессиональных дисциплин. Прохождение этих
дисциплин по срокам и содержанию структурировано учебным планом
подготовки по конкретной специальности. Развитие информационных технологий вызвало появление систем компьютерной математики (СКМ), которые не являются объектами изучения по многим специальностям, но
представляют собой универсальное техническое и программное средство
обучения. Компьютерные средства и СКМ одновременно расширяют информационную составляющую процесса обучения, усиливают активную
составляющую и интенсифицируют в целом учебную деятельность обучающихся и обучающих.
Расширение перечня учебных дисциплин естественным образом привело к уменьшению времени на изучение дисциплин, связанных с основами
построения, методами анализа и синтеза структур и параметров электрических цепей и динамических систем, что может отрицательно сказаться на
уровне общеинженерной подготовки специалистов. В первую очередь сокращение времени повлияло на уровень практического овладения методами получения знаний в рамках расписания занятий, что не позволяет в
полной мере достигнуть обучающимся требуемых уровней усвоения, практических умений и навыков, которые являются важнейшей составляющей
подготовки инженерных кадров.
В последние годы из печати вышел ряд учебников и учебных пособий
по основам теории цепей, по теории радиотехнических цепей и сигналов,
которые соответствуют требованиям ГОСТ и отражают современные научные достижения в области теории электро- и радиотехники. Cодержание
этих учебников ориентировано в среднем на 100 часов учебного времени, а
при таких объемах времени раскрытие глубинных основ научности, а особенно ее прикладной направленности, например, для радиоэлектронных
систем космических, противоракетных средств, связано с большими трудностями, а чаще всего не представляется возможным. В этих условиях наиболее методически оправданным является комплексное, взаимосвязанное
построение учебных курсов, что позволит научное и практическое содержание специальности излагать не в одном, а в серии учебников и учебных
пособий по различным дисциплинам, объединенных методологией практи

Предисловие
ческого применения общих методов получения знаний в отдельных дисциплинах.
В учебниках и учебных пособиях [4]—[14] на основе многолетнего личного опыта авторов чтения лекций, постановки практической и учебно-исследовательской части курсов и дисциплин в целом, опыта кафедры автоматики КВИРТУ ПВО, кафедры вычислительной техники и автоматики,
кафедры электротехники и радиотехники ФВА РВСН, МВИРЭ КВ, ФВА
им. А.Ф. Можайского изложены назначение, методика применения инженерных методов анализа качества в переходных и установившихся режимах
автоматических устройств и электрических цепей в радиоэлектронных системах. Теоретический и практический материал по исследованию цепей и
систем рассмотрен с позиций комплексного изучения процессов в сложных электрических цепях и системах, инженерных методов их анализа и
синтеза. За время, прошедшее после выхода учебных изданий из печати,
были получены многочисленные положительные отзывы от ведущих специалистов вузов Российской Федерации на содержание и методику изложения научных положений теории динамических систем и приемов их
практического применения. Были также получены новые практические результаты в области теории электрических цепей, динамических систем и
процессов управления. Все это послужило для авторов стимулом по дальнейшей разработке методик комплексного междисциплинарного применения методов анализа и синтеза динамических процессов в области временнîй, комплексной и частотной переменной. Применение этих методов,
поддержанных компьютерными средствами с математическими средами
типа Mathcad и Matlab, позволяет формировать содержание отдельных дисциплин в блочно-модульные структуры, которые обеспечивают междисциплинарную преемственность овладения методами получения знаний в
отдельных дисциплинах, перенесение и совершенствование их в процессе
изучения других дисциплин.
В книге на примерах простых и сложных электрических цепей изложено практическое применение методов их анализа и расчета. Расчет и анализ
динамических характеристик электрических цепей осуществляются частотными, временнûми и операторными методами, аналитическими и численными способами с применением персональных ЭВМ. Изложение методик
практического применения компьютерных технологий и программ для расчета электрических цепей различными методами является основой содержания учебного пособия.
При изложении материала, особенно при изложении методов анализа,
авторы стремились максимально использовать те теоретические методы, а
именно частотные, операторные и временнûе, которые изучались в курсе
«Математика». Эти методы являются основополагающими при подготовке
специалистов по радиотехнике и радиоэлектронным системам.
При изучении обучающимися в специальных дисциплинах образцов
радиоэлектронных систем, систем автоматического управления содержание
книги будет способствовать более быстрому установлению связи между
конкретным исполнением образца системы, принципами его функционирования и методами теоретического анализа. Комплексное и взаимосвя

Предисловие
5
занное изложение материала способствует более глубокому раскрытию и
пониманию физических процессов в сложных системах, их математическому описанию и формированию обучающимися способностей анализировать современное состояние и определять направления развития теории и
практики электрических цепей и радиоэлектронных систем.
Авторы выражают благодарность рецензентам доктору технических
наук, доценту С.А. Вашкевичу; доктору технических наук, профессору
В.В. Горячкину за ценные замечания и предложения, которые способствовали улучшению содержания учебного пособия.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Электромагнитное поле как вид материи
Под электромагнитным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупностью взаимосвязанных и взаимообусловливающих друг
друга электрического и магнитного полей [21]. Электромагнитное поле может существовать при отсутствии другого вида материи — вещества, характеризуется непрерывным распределением в пространстве (электромагнитная
волна в вакууме) и может проявлять дискретную структуру (фотоны). В вакууме поле распространяется со скоростью света, полю присущи характерные для него электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению.
Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электрические заряды. Силовое воздействие положено в основу определения двух
векторных величин, описывающих поле: напряженности электрического
поля E (В/м) и индукции магнитного поля B (В 
 с/м2). На заряд q (Кл),
движущийся со скоростью õ в электрическом поле напряженности E и магнитном поле индукции В, действует сила Лоренца F  qE  q[õB].
Электромагнитное поле обладает энергией, массой и количеством движения, т. е. такими же атрибутами, что и вещество. Энергия в единице
объема, занятого полем в вакууме, равна сумме энергий электрической и
магнитной компонент поля
Wэм  0E2/2  B2/20.
4
9 10





— электрическая постоянная; Ф/м; 

0
7
4
10




—
Здесь 

0
9
1
магнитная постоянная, Гн/м.
Масса электромагнитного поля в единице объема равна частному от деления энергии поля Wэм на квадрат скорости распространения электромагнитной волны в вакууме, равной скорости света. Несмотря на малое значение массы поля по сравнению с массой вещества, наличие массы поля указывает на то, что процессы в поле являются процессами инерционными.
Количество движения единицы объема электромагнитного поля определяется произведением массы единицы объема поля на скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения...
7
Электрическое и магнитное поля могут быть изменяющимися и неизменными во времени. Неизменным в макроскопическом смысле электрическим полем является электростатическое поле, созданное совокупностью
зарядов, неподвижных в пространстве и неизменных во времени. В этом
случае существует электрическое поле, а магнитное отсутствует.
При протекании постоянных токов по проводящим телам внутри и вне
их существуют электрическое и магнитное поля, не влияющие друг на друга, поэтому их можно рассматривать раздельно. В изменяющемся во времени поле электрическое и магнитное поля, как упоминалось, взаимосвязаны
и обусловливают друг друга, поэтому их нельзя рассматривать раздельно.
1.2. Интегральные и дифференциальные
соотношения между основными величинами,
характеризующими поле
Электромагнитные поля могут быть описаны интегральными или дифференциальными соотношениями. Интегральные соотношения относятся
к объему (длине, площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные — к участку поля физически бесконечно малых размеров. Они
выражаются операциями градиента, дивергенции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных системах координат см. в [23, 25]). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по
бесконечно малому физическому объему и во времени. Этот объем в отличие от математически бесконечно малого объема может содержать большое
число атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопической
теории поля не описывают поля внутри атомов, для этого, как известно,
служат уравнения квантовой теории поля.
В электростатическом поле поток вектора напряженности электрического поля Е через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду qсв, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на 0г (теорема Гаусса)
Е S
d
q


св
г
 
0
,
(1.1)
где dS — элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали
к объему; г — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
Рис. 1.1

Глава 1. Основные положения теории электромагнитного поля...
В дифференциальной форме теорема Гаусса записывается так:
div
св
г
E  

 
0
,
(1.2)
где 
св — объемная плотность свободного заряда, Кл/м3.
Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на
объем V, находящийся внутри поверхности S, и стремлении объема V к
нулю.
Физически divE означает исток вектора в данной точке.
В электростатическом поле и в стационарном электрическом поле на
заряд q действует сила F  qE. Отсюда следует, что Е может быть определена как силовая характеристика поля E
F

	
lim
q
q
0
. Если q под действием сил
поля переместится из точки 1 в точку 2 (рис. 1.2), то силы поля совершат
2
, где d l — элемент пути из 1 в 2.
работу A
q
d
  E l
1
Рис. 1.2
Под разностью потенциалов Ul2 между точками 1 и 2 понимают работу,
совершаемую силами поля при переносе заряда q  1 Кл из точки 1 в точку 2
U12  
1  
2 
E l
d
2

.
(1.3)
1
U12 не зависит от того, по какому пути происходило перемещение из
точки 1 в точку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциальное соотношение
E  grad 
.
(1.4)
Градиент 
 (grad 
) в некоторой точке поля определяет скорость изменения 
 в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрастания.
Знак минус означает, что Е и grad 
 направлены противоположно.
Электрическое поле называют потенциальным, если для него
Е l
d

 0.
Электрическое поле поляризованного диэлектрика описывается вектором электрического смещения (индукции)
D  0E  P,
(1.5)
где Р — поляризованность диэлектрика, равная электрическому моменту
единицы объема поляризованного диэлектрика.

1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения...
9
В стационарном неизменном во времени электрическом поле в проводящей среде в смежные моменты времени распределение зарядов одинаково, поэтому для этого поля справедливо определение разности потенциалов по формуле U12 
E l
d .
2

1
Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряженность
электрического поля Ерез равна векторной сумме потенциальной (кулоновой) составляющей Епот и сторонней составляющей Естор
Ерез  Епот  Естор.
Естор разделяет заряды внутри источника, она обусловлена химическими, электрохимическими, тепловыми и другими процессами не электростатического происхождения и направлена встречно Епот. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи.
Под электрическим током понимают направленное (упорядоченное)
движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля характеризуется своей плотностью ä (А/м2). Известны три вида тока: ток проводимости
(плотностью äпр), ток смещения (плотностью äсм) и ток переноса (плотностью äпер).
Ток проводимости протекает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна Е
äпр  Е,
(1.6)
где  — удельная проводимость проводящего тела, Ом1 
 м1. В металлах
ток проводимости обусловлен упорядоченным движением свободных электронов, в жидкостях — движением ионов.
Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по времени от вектора электрического смещения D  0E  P
äсм  d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
r
D
E
P
E




 
0
0
.
(1.7)
Слагаемое  0
d
dt
E представляет собой составляющую тока смещения,
обусловленную изменением во времени напряженности поля Е в вакууме.
Носителями тока смещения в физическом вакууме (в нем нет частиц вещества) являются виртуальные частицы. Они всегда возникают парами, как
бы из ничего, например электрон и позитрон или протон и антипротон
и т. п. Каждая пара виртуальных частиц является коротко живущей (время
жизни  t). Составляющие ее частицы могут перемещаться на очень малое
расстояние х, а затем эти частицы с противоположного знака зарядами
аннигилируют. Каждая виртуальная частица обладает разбросом энергии


W
h
t


и разбросом импульса 

m
h
x


, где постоянная Планка h  6,626 
 1034 Дж 
 с. Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения заряда, но в рамках соотношения неопределенностей наблюдаются местные нарушения закона сохранения энергии и закона сохранения
импульса. Слагаемое dP/dt обусловлено изменением поляризованности во
времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлектрике при

Глава 1. Основные положения теории электромагнитного поля...
изменении Е во времени). В качестве примера тока смещения может быть
назван ток через конденсатор. Ток переноса обусловлен движением электрических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд объемной плотности 
 движется со скоростью õ
 и отрицательный заряд объемной плотности 
 — со скоростью õ, то плотность тока переноса в этом
поле äпер  
 õ
  
 õ в явном виде не зависит от напряженности Е в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновременно существовали
бы все три вида тока, то полная плотность тока äпол  äпр  äсм  äпер. Для
большинства задач ток переноса отсутствует.
Ток — это скаляр алгебраического характера. Полный ток через поверхность S
I
d
s
пол
пол
  
S.
(1.8)
Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток, вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.
 пол

dS  0,
(1.9)
где dS — элемент поверхности объема, он направлен в сторону внешней по
отношению к объему нормали к поверхности.
Уравнение (1.9) выражает принцип непрерывности полного тока: линии
полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни начала, ни
конца. Электрические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта
связь определяется интегральной формой закона полного тока
B
l
 0
d
I


пол .
(1.10)
Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна полному току, охваченному этим контуром; d l — элемент длины контура (рис. 1.3). Таким образом, все виды токов, хотя и имеют различную физическую природу, обладают свойством создавать магнитное поле.
Рис. 1.3
Ферромагнитные вещества обладают спонтанной намагниченностью.
Характеристикой ее является магнитный момент единицы объема вещества J (его называют намагниченностью). Для ферромагнитных веществ
H  0(H  J)  0rH  aH,
(1.11)