Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы: справочник. Том 3

ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ.

СХЕМЫ 
И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

ТОМ 3

В ТРЕХ ТОМАХ

М.Н. КИРСАНОВ

Москва
ИНФРА-М
2023

СПРАВОЧНИК

Справочники «ИНФРА-М»

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
К43

Кирсанов М.Н.
К43  
Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы : справочник : 
в 3 томах. Том 3 / М.Н. Кирсанов. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 
178 с. — (Справочники ИНФРА-М). — DOI 10.12737/1939108.

ISBN 978-5-16-018186-8 (общ.)
ISBN 978-5-16-018250-6 (print, том 3)
ISBN 978-5-16-111262-5 (online, том 3)

В справочнике приведены схемы плоских регулярных статически определимых 
арочных, рамных и консольных ферм. Даются формулы для расчета 
усилий в стержнях и прогиба конструкций в зависимости от числа 
панелей. Описан алгоритм получения аналитических решений в системе 
компьютерной математики Maple. Рассмотрены случаи кинематической 
изменяемости некоторых схем ферм.
Предназначен для инженеров, научных работников, студентов и аспирантов 
технических вузов.

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73

Р е ц е н з е н т:
Козлов В.А., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий 
кафедрой строительной механики Воронежского государственного 
технического университета

ISBN 978-5-16-018186-8 (общ.)
ISBN 978-5-16-018250-6 (print, том 3)
ISBN 978-5-16-111262-5 (online, том 3)
© Кирсанов М.Н., 2023

А в т о р:
Кирсанов М.Н., доктор физико-математических наук, профессор, 
профессор кафедры робототехники, мехатроники, динамики и прочности 
машин Национального исследовательского университета 
«Московский энергетический институт»

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1.
Арки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Ферма 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Ферма 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ферма 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ферма 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ферма 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ферма 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ферма 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ферма 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ферма 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Ферма 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ферма 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ферма 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ферма 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ферма 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Ферма 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ферма 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ферма 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Глава 2.
Рамы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ферма 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ферма 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ферма 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ферма 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Ферма 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Ферма 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Ферма 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Ферма 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ферма 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Ферма 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ферма 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ферма 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ферма 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Содержание

Ферма 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ферма 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ферма 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Ферма 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Ферма 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ферма 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Глава 3.
Составные рамы и арки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ферма 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Ферма 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Ферма 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ферма 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ферма 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Ферма 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Ферма 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ферма 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Ферма 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Ферма 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Ферма 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Ферма 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Ферма 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Ферма 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Ферма 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Ферма 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Глава 4.
Кронштейны и многопролетные рамы
. . . . . . . . . . . . 122

Ферма 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Ферма 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Ферма 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Ферма 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Ферма 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ферма 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Ферма 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Ферма 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ферма 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Ферма 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Содержание
5

Глава 5.
Консоли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Ферма 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Ферма 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ферма 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Ферма 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ферма 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Ферма 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Ферма 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ферма 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ферма 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ферма 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Глава 6.
Программа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Схемы ферм
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Введение

Введение

В век мощных компьютеров, когда программы инженерных
расчетов
на
основе
метода
конечных
элементов
захватили
все доминирующие высоты в области расчетов строительных
конструкций, точные расчетные формулы не теряют свое значение.
Другое дело — таких формул мало, и проектировщику приходится
прибегать к численным методам.
При этом он обязательно
сталкивается
со
стандартными
недостатками,
традиционными
для приближенных вычислений.
Прежде всего — это потеря
точности расчетов.
Хорошо, если конструкция простая и число
ее элементов, например, стержней, не велико. Но существуют и
весьма масштабные сооружения, содержащие тысячи элементов.
Это и перекрытия стадионов, большепролетные мосты (рис. 1
– 3).
Расчет их сам по себе трудоемок, но никто не может
гарантировать
и
точность
таких
расчетов.
Всем
известно
"проклятие размерности" — гарантированная потеря точности
решения
системы
линейных
уравнений,
возникающая
при
увеличении числа уравнений. После некоторого порядка системы
решение
для
отдельных
неизвестных
может
иметь
большую
погрешность.

Рис. 1. Королевский мост Альберта, р. Тамар, Великобритания

Вот тут бы и пригодились формулы (желательно простые и
надежные), содержащие в качестве параметров не только размеры
конструкции, но и число элементов.
Число элементов в них
не влияет на точность.
Опыт показывает, что такие формулы

Введение
7

могут быть выведены методом индукции для регулярных систем,
имеющих в своей структуре элементы периодичности.

Рис. 2. Story Bridge, Брисбен, Квинсленд, Австралия

Для
ферм
элементом периодичности может
быть
панель,
содержащая некоторое число стержней.
Подтверждением этого
оптимизма является настоящий справочник, содержащий 72 схемы
плоских статически определимых ферм с формулами зависимости
прогиба
и
усилий
в
некоторых,
как
правило,
критических
стержнях от числа панелей.
Ко всем предложенным схемам в
справочнике даны формулы для случая действия распределенной
или сосредоточенной нагрузки.
Для тех конструкций, которые
содержат подвижную опору, даны формулы и для величины ее
горизонтального смещения.

Рис. 3. Андреевский мост, Москва

Справочник состоит из шести глав.
Схемы ферм условно
разделены
по
первым
пяти
главам
на
определенные
типы.
Разделение на типы ферм не однозначно.
Некоторые фермы
могут принадлежать, например, как к аркам, так и к рамам.
В

Введение

главе 5 содержатся формулы для расчета прогибов консолей.
Все
приведенные
в
справочнике
схемы,
кроме
простейших,
оригинальные.
В шестой главе описана программа для вывода
расчетных формул на языке символьной математики Maple.
При написании справочника у автора были две трудности.
Первая и главная — придумать оригинальную схему статически
определимой
регулярной
фермы
так,
чтобы
она
была
кинематически неизменяемой, а формула для ее расчета была
бы не очень громоздкой. К сожалению, пришлось отказаться от
публикации объемных решений, содержащих тригонометрические
функции и занимающие по пол страницы.
Практический смысл
таких формул не велик.
Пользователь вряд ли будет применять на практике формулу,
в безупречность которой за счет ее размеров трудно поверить.
Вторая трудность связана как раз с достоверностью полученных
решений.
Как гарантировать надежность выведенных формул?
Был найден следующий прием, ранее использованный автором в
его первых двух справочниках [2, 3]. Во-первых, для того, чтобы
избежать элементарных опечаток, производился численный расчет
по формулам готовой рукописи справочника, и выполнялась сверка
полученных результатов с независимым численным счетом этой же
фермы. Во-вторых, все формулы для каждой фермы помещены в
отдельные файлы в текстовом формате. Эти файлы доступны для
свободного
скачивания
(http://vuz.exponenta.ru/Truss2022.zip).
Таким образом,
пользователю не надо трудиться и набирать
большие формулы с листа книги. Достаточно скопировать текст
формулы из файла и поместить его в ту программу, которая могла
бы выполнить по этой формуле вычисления. Более всего для этого
подходят программы на основе языка Pascal и Maple. Справочник
является продолжением первых двух справочников [2, 3].
Автор
надеется, что формулы пригодятся инженерам в их практике,
студентам — для обучения, а сама идея генерации формул для
расчета регулярных систем (не обязательно ферм) даст толчок для
исследователей в их научной деятельности.
Все
замечания
и
пожелания
автор
принимает
по
адресу
c216@ya.ru.

1.1
Арка 1.1
9

Глава 1

Арки

Ферма 1.1

Ферма высотой (m + 1)h, h = a
√

3 /2 состоит из 8n + 8m + 3
стержней длиной a (рис. 4).

1.1.1. Сосредоточенная сила в середине пролета

?
P

h

h

h

h

na
a
a
a
a
ma/2
ma/2

60◦

C

A
B

O

D

U

Рис. 4. Ферма, m = 3, n = 4

Формула для прогиба (вертикального смещения среднего узла
C в нижнем поясе) имеет вид:

Δ = Pa(4m3 + 3(1 + 4n)m2 + 2(13 + 12n2)m+

+2n(25 + 8n2))/(36EF).

Смещение опоры A:

δA = Pa
√

3 (4m3+3(3+4n)m2+2(6n2+3n+4)m+6n2)/(18EF).

Усилия:

O = −P
√

3 (2n + m)/6, D = P
√

3 /3, U = P
√

3 (2n − 1 + m)/6.

Реакции опор: YA = YB = P/2, XB = 0.

Арки
Глава 1

1.1.2. Нагрузка на верхний пояс

?

P

?

P

?

P

?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P

?
P

?
P

?
P

h

h

h

h

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ma/2
ma/2

C

A
B

Рис. 5. Ферма, m = 3, n = 5

Формула для прогиба (вертикального смещения среднего узла
C в нижнем поясе) имеет вид:

Δ = Pa(5m4 + (20n − 1)m3 + (36n2 − 6n + 10)m2+

+(40n3 − 12n2 + 30n + 16)m + 4n2(7 + 5n2))/(36EF).

Смещение опоры A:

δA = Pa
√

3 (5m4 + (7 + 20n)m3 + 2(12n2 + 6n − 7)m2+

+4(n − 1)(4n2 + 7n + 4)m + 8n(n2 − 1))/18.

Усилия:

O = −P
√

3 (m2 + (2n − 1)m + 2(n2 − 1))/6, D = 0, U = −O.

Реакции опор: YA = YB = (n + m)P, XB = 0.

Ферма 1.2

Ферма высотой h + 2b (рис. 6), содержащая 2n + 4 панелей,
состоит из 8n + 17 стержней.
Суммарная длина стержней фермы

Lsum = 2(2a + c)(n + 1) + 2d + g + 2h(n + 4),

где c =
√

a2 + h2, d =
√

4a2 + h2, g =
√

4a2 + 9h2, b = h/2.

Формула для прогиба (вертикального смещения среднего узла
C в нижнем поясе) имеет вид:

Δ = P(C1a3 + C2c3 + C3h3 + C4(d3 + g3))/(6h2EF).
(1.1)