Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы: справочник. Том 2

ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ.

СХЕМЫ 
И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

ТОМ 2

В ТРЕХ ТОМАХ

М.Н. КИРСАНОВ

Москва
ИНФРА-М
2023

СПРАВОЧНИК

Справочники «ИНФРА-М»

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73
 
К43

Кирсанов М.Н.
К43  
Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы : справочник : в 3 томах. Том 2 / М.Н. Кирсанов. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 285 с. — 
(Справочники ИНФРА-М). — DOI 10.12737/1918490.

ISBN 978-5-16-018186-8 (общ.)
ISBN 978-5-16-018185-1 (print, том 2)
ISBN 978-5-16-111187-1 (online, том 2)

В справочнике приведены 99 схем плоских регулярных статически 
определимых ферм и точные формулы для расчета усилий в стержнях 
и прогиба в зависимости от числа панелей. Описаны алгоритмы получения аналитических решений в системе компьютерной математики Maple. 
Отмечены случаи кинематической изменяемости некоторых схем ферм при 
определенном числе панелей. Дано описание алгоритма аналитического 
расчета пространственной консольной фермы и осесимметричного купола. 
Рассмотрен пример расчета фермы. 
Предназначен для инженеров, научных работников, студентов и аспирантов технических вузов.

УДК 624.04(075.8)
ББК 38.112я73

ISBN 978-5-16-018186-8 (общ.)
ISBN 978-5-16-018185-1 (print, том 2)
ISBN 978-5-16-111187-1 (online, том 2)
© Кирсанов М.Н., 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1.
Балочные фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ферма 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ферма 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ферма 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ферма 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ферма 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ферма 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ферма 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Ферма 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Ферма 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ферма 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ферма 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ферма 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ферма 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Глава 2.
Шпренгельные балочные фермы. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ферма 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ферма 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ферма 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ферма 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ферма 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ферма 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Ферма 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ферма 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ферма 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ферма 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Ферма 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Глава 3.
Решетчатые балочные фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ферма 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Ферма 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Ферма 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ферма 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ферма 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ферма 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ферма 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Ферма 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Ферма 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ферма 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Ферма 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Ферма 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Ферма 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Ферма 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Ферма 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Ферма 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ферма 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Ферма 3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Ферма 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Ферма 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Глава 4.
Внешне статически неопределимые фермы . . . . . . . . . 114

Ферма 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Ферма 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Ферма 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Ферма 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Ферма 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ферма 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Ферма 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ферма 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Ферма 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ферма 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Ферма 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Ферма 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Ферма 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Глава 5.
Распорные арки и рамы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Ферма 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Ферма 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

Ферма 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Ферма 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ферма 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Ферма 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Ферма 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ферма 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Ферма 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Ферма 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Ферма 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Ферма 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Ферма 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Ферма 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Ферма 5.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Ферма 5.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ферма 5.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Ферма 5.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Ферма 5.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Глава 6.
Безраспорные арки и рамы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Ферма 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Ферма 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Ферма 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Ферма 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Ферма 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Ферма 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Ферма 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Ферма 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Ферма 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Ферма 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Ферма 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Ферма 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Ферма 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Ферма 6.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Ферма 6.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Ферма 6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ферма 6.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Ферма 6.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Глава 7.
Многопролетные фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Ферма 7.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Ферма 7.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Ферма 7.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Ферма 7.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Ферма 7.5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Глава 8.
Практический расчет фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

8.1. Прогиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.2. Усилия в критических стержнях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Глава 9.
Программа расчета прогиба фермы . . . . . . . . . . . . . . . 253

Глава 10.
Пространственные фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

10.1. Консольная ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.2. Ферма осесимметричного покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Схемы ферм
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Предисловие
7

Предисловие

В настоящее время, когда численные системы, основанные на
методе конечных элементов [9],
используются почти во всех
практических
расчетах
строительных
конструкций,
готовые
аналитические решения в
виде
конечных формул
не только
не
теряют
свое
значение,
но
во
многих
случаях
являются
единственным путем для получения достоверных
результатов
расчетов.
Однако таких формул немного и поэтому инженеру
приходится обращаться к численным методам. При этом инженер,
как
правило,
сталкивается
со
стандартными
недостатками,
общими для численных приближенных расчетов.
Во-первых,
возникает
проблема
с
точностью
вычислений.
В
простом
случае,
когда
конструкция
не
очень
сложна
и
количество
ее элементов,
например,
стержней,
ограничено,
погрешности
численных алгоритмов не столь значительны. Однако, если иметь
дело с крупномасштабными структурами (рис. 1), содержащими
тысячи элементы, то здесь погрешности счета вырастают уже в
реальную проблему. Накопление ошибок округления, незаметное
для сравнительно небольших конструкций, неизбежно приводит
к существенным погрешностям в системах с большим числом
элементов.

Рис. 1. Харбор Бридж, Сидней, Австралия

Выполнение расчетов большепролетных мостов и покрытий
в таких случаях не только трудоемко, но и не дает гарантии

Предисловие

точности расчетов. Это, так называемое, «проклятие размерности»
или неизбежная потеря точности при решении системы линейных
уравнений с большим числом уравнений. В таких случаях простые
и надежные формулы, содержащие в качестве параметров не
только размеры конструкции, но и количество элементов (порядок
системы), могут быть очень полезными. Для регулярной фермы
в качестве порядка системы можно выбрать число панелей.
В

регулярной ферме решетка или ее часть содержит периодически
повторяющиеся структуры. Количество элементов в аналитических
расчетах не влияет на точность.

Расчетные формулы для регулярных систем можно вывести

методом индукции.

В
настоящем
справочнике,
являющемся
продолжением

справочника [23], представлены новые схемы плоских статически
определимых ферм и формулы для расчета их прогибов, смещений
опор и усилий в некоторых стержнях как функции числа панелей.

Для каждой схемы приведены формулы, как правило, для

трех
нагрузок:
распределенной
по
верхнему
или
нижнему

поясу и сосредоточенной нагрузки в середине пролета.
Для

конструкций, содержащих подвижную опору, приводится также
формула зависимости горизонтального смещения опоры от числа
панелей. Настоящий справочник состоит из десяти глав. Схемы
ферм условно делятся на определенные виды по типу решеток
и числу опор.
При этом некоторые фермы могут принадлежать

одновременно к нескольким типам.

Все схемы в справочнике, кроме самых простых, оригинальные.
При составлении настоящего справочника автору пришлось

решить задачу подбора схем ферм. С одной стороны схема должна
быть новой, не опубликованной в справочниках автора [23,60,67].
С другой стороны желательно, чтобы формулы для ее расчета
были бы не очень громоздкими. Публикация объемных формул,
содержащих на полстраницы различные функции, не практична,
хотя бы потому, что пользоваться такой формулой порой сложнее,
чем рассчитать конструкцию в стандартных программах.
С

другой стороны и доверия к таким формулам меньше.
Для

того, чтобы свести к минимуму число опечаток, а заодно и
проверить на себе удобство использования предложенных формул,
все формулы в книге проверены автором в "режиме читателя".
Автор набирал в системе Maple формулу с листа оригинал

Предисловие
9

макета рукописи,
а затем сверял расчет по этой формуле с
численным расчетом.
Кроме того, для удобства пользователей,
чтобы не набирать формулу заново, все формулы занесены в
текстовые файлы, информацию с которых можно снимать простым
копированием. Эти файлы доступны для бесплатного скачивания
(http://vuz.exponenta.ru/Trusstxt2022.zip).
Скопированную
из
файла формулу можно поместить в пользовательскую программу,
которая выполняет конкретные расчеты. Язык Maple, на котором
записаны формулы, наиболее близок алгоритмическим языкам
Pascal и Си.
Для усилий в выделенных стержнях используются обычные в
строительной механике обозначения: O — усилие в верхнем поясе,
U — усилие в нижнем поясе, D — усилие в раскосе (диагональном
стержне), V — усилие в стойке.
В главе 8 дан пример расчета плоской фермы по формулам,
приведенным в справочнике.
В главе 9 раскрыты некоторые секреты вывода формул. Текст
программы в системе компьютерной математики Maple доступен
по
адресу
http://vuz.exponenta.ru/1/Truss2.4.rar.
Программа
написана на Maple-13, но от версии Maple работоспособность
программы почти не зависит.
В главе 10 приведен аналитический расчет пространственной
консоли и дан пример пространственной фермы, допускающей
мгновенную изменяемость при четном числе панелей.
В списке литературы собраны только последние работы автора
и его учеников. Полный список статей по теме справочника можно
найти на сайте vuz.exponenta.ru.
Автор надеется, что справочник будет полезен инженерам,
студентам и аспирантам. Сама идея вывода формул для расчета
регулярных систем (не обязательно ферм) может быть полезна для
исследователей в своей научной деятельности.
Все предложения и замечания автор принимает по электронной
почте: c216@ya.ru.

Балочные фермы
Глава 1

Глава 1

Балочные фермы

Ферма 1.1

Ферма высотой h (рис. 1), содержащая 2n панелей, состоит

из 8n + 1 стержней, n = 3, 4, 5.. [6]. Пролет фермы AB = 2na.
Суммарная длина стержней фермы:

Lsum = 4(n − 1)a + 2(n − 2)c + d + f/2 + g + (4n − 1)h/2,

где введены обозначения:
c
=

√

a2 + h2,
g
=

√

16a2 + h2,

f =

√

16a2 + 9h2, d =

√

4a2 + h2.

1.1.1. Сосредоточенная сила в середине пролета

?
P

h/2

h/2

a
a
a
a
a
a

C

A
B

D

O

U

Рис. 1.1. Ферма, n = 3

Формула для прогиба (вертикального смещения среднего узла

C в нижнем поясе) имеет вид:

Δ = P(16(6n3 + 3n − 38)a3 + 144(n − 2)c3 + 32d3+

+f 3 + 13g3 + 12(12n − 23)h3)/(288h2EF).

Формула для величины горизонтального смещения подвижной

опоры A имеет вид:

δA = Pa2(3n2 − 3n + 2)/(6hEF).

Усилия: