Основы управления манипуляционными роботами

 

 

 
 
 
 
 
 
С.Л. Зенкевич, А.С. Ющенко 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ 
МАНИПУЛЯЦИОННЫМИ 
РОБОТАМИ 
 
 
Рекомендовано Министерством образования  
Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов 
высших учебных заведений, 
обучающихся по специальности 
«Роботы и робототехнические системы» 
 
 
 
Издание второе, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2004 

 

УДК 621.865(075.8) 
ББК 32.816 
З-56 
 
 
 
Рецензенты: акад. И. М. Макаров, проф. В. М. Лохин, проф. В. С. Кулешов 
 
Зенкевич С.Л., Ющенко А.С.  
Основы управления манипуляционными роботами: Учебник для вузов. – 
2-е изд., исправ. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. – 480 с.: 
ил. (Робототехника / Под. ред. С.Л. Зенкевича, А.С. Ющенко). 
 
ISBN 5-7038-2567-9 
 
Рассмотрены вопросы теории манипуляционных роботов и методы управления 
ими. Приведены основные кинематические соотношения, позволяющие определять 
положение манипуляционного механизма робота в рабочем пространстве, а также 
решать задачи о скоростях и ускорениях движения его звеньев. Подробно описаны 
способы и алгоритмы кинематического управления манипуляторами. Приведены основные сведения о динамике манипуляционных механизмов, математические модели 
движения и методика их анализа. Рассмотрены методы динамического управления, 
позволяющие организовать движение манипулятора с учетом сил и моментов, реально действующих на него в процессе работы, практические методы исследования и 
расчета исполнительной системы манипуляционного робота, а также логическое 
управление сложными робототехническими системами с использованием теории сетей и конечных автоматов. Даны примеры применения рассматриваемых методов, в 
конце каждой главы приведен список контрольных вопросов и заданий. Книга содержит основные математические сведения, необходимые для понимания материала 
учебника и выходящие за рамки обычной программы технического университета по 
математике и теоретической механике. 
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для студентов технических университетов, обучающихся по специальности «Роботы и робототехнические системы» и другим специальностям, связанным с управлением сложными механизмами. Представляет интерес для аспирантов, преподавателей 
и специалистов. 

 
УДК 621.865(075.8) 
 
ББК 32.816 
 
 

 
© С. Л. Зенкевич, А. С. Ющенко, 2004 
 
© Московский государственный технический  
 университет им. Н. Э. Баумана, 2004 
ISBN 5-7038-2567-9 
© Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004 

3-56 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..................................................................................................................... 9 
Список основных обозначений................................................................................... 12 
Введение.......................................................................................................................... 15 
В.1. Задачи управления манипуляционными роботами.............................................. 15 
В.2. Функциональное описание робототехнической системы  .................................. 19 
В.2.1. Манипулятор................................................................................................... 19 
В.2.2. Привод степени подвижности....................................................................... 26 
В.2.3. Исполнительная система................................................................................ 27 
В.2.4. Система управления манипулятором............................................................ 28 
В.3. Задачи управления робототехническими комплексами....................................... 32 
В.4. Взаимодействие робота с человеком-оператором................................................ 34 
1. Основные кинематические соотношения............................................................. 37 
1.1. Манипулятор как механическая система............................................................... 37 
1.2. Преобразование координат..................................................................................... 40 
1.2.1. Преобразования вращения и переноса.......................................................... 41 
1.2.2. Элементарные и сложные вращения............................................................. 44 
1.2.3. Типовые вращения. Углы Эйлера.................................................................. 46 
1.2.4. Сложные преобразования............................................................................... 49 
1.3. Однородные координаты и преобразования......................................................... 50 
1.3.1. Однородные координаты и векторы.............................................................. 50 
1.3.2. Однородные преобразования.......................................................................... 53 
1.4. Определение положения и ориентации звеньев манипулятора........................... 59 
1.5. Специальные системы координат........................................................................... 62 
Контрольные вопросы и задания................................................................................... 64 
2. Положение манипулятора в рабочем пространстве........................................... 67 
2.1. Прямая позиционная задача.................................................................................... 67 
2.2. Геометрия рабочего пространства манипулятора................................................. 75 
2.2.1. Конфигурация рабочего пространства и его объем...................................... 75 
2.2.2. Анализ ориентации схвата в рабочем пространстве. Коэффициент 
сервиса.............................................................................................................. 85 
2.3. Обратная позиционная задача................................................................................ 93 
2.3.1. Метод обратных преобразований.................................................................. 94 
2.3.2. Тригонометрический подход к решению обратной позиционной 
задачи................................................................................................................ 96 
2.3.3. Численные методы решения обратной задачи............................................. 107 
Контрольные вопросы и задания.................................................................................. 114 

Оглавление 

 
6 

3. Скорости и ускорения звеньев манипулятора................................................... 115 
3.1. Вращение твердого тела......................................................................................... 115 
3.2. Скорости и ускорения звеньев манипулятора...................................................... 121 
3.2.1. Скорости и ускорения в однородных координатах..................................... 121 
3.2.2. Линейные и угловые скорости и ускорения звеньев манипулятора.......... 124 
3.3. Дифференциальные преобразования..................................................................... 129 
3.3.1. Дифференциальное перемещение................................................................. 129 
3.3.2. Матрица дифференциальных преобразований............................................ 132 
3.4. Прямая и обратная задачи о скорости.................................................................. 134 
3.4.1. Прямая задача о скорости............................................................................. 135 
3.4.2. Обратная задача о скорости.......................................................................... 146 
3.4.3. Манипуляторы с тремя пересекающимися осями сочленений................. 150 
3.4.4. Обратная задача о скорости как задача минимизации............................... 158 
3.5. Запись основных кинематических соотношений с помощью блочных 
матриц..................................................................................................................... 165 
3.5.1. Блочные матрицы и действия над ними...................................................... 165 
3.5.2. Запись линейных и угловых скоростей звеньев манипулятора с помощью 
блочных матриц............................................................................................. 169 
3.5.3. Линейные и угловые ускорения звеньев манипулятора............................ 178 
3.6. Кинематические свойства манипулятора............................................................. 182 
3.6.1. Распределение допустимых скоростей  в рабочем пространстве............. 182 
3.6.2. Оценка мобильности манипулятора............................................................ 187 
3.6.3. Оценка приемистости................................................................................... 190 
Контрольные вопросы и задания................................................................................. 192 
4. Кинематическое управление манипулятором................................................... 193 
4.1. Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат................. 194 
4.1.1. Перевод из точки в точку. Режим разгона – торможения.......................... 194 
4.1.2. Обход совокупности точек............................................................................ 199 
4.2. Управление манипулятором в пространстве координат схвата......................... 207 
4.2.1. Управление по положению........................................................................... 207 
4.2.2. Формирование программной траектории.................................................... 208 
4.2.3. Линеаризованный позиционный алгоритм управления............................. 211 
4.2.4. Управление по вектору скорости и по вектору ускорения........................ 213 
4.2.5. Управление по вектору силы........................................................................ 215 
Контрольные вопросы и задания................................................................................ 218 
5. Уравнения кинетостатики манипулятора......................................................... 219 
5.1. Статика манипуляционных механизмов.............................................................. 220 
5.1.1. Уравнение равновесия относительно основания манипулятора............... 220 
5.1.2. Обобщенные условия равновесия (обратная рекурсия)............................. 222 
5.2. Анализ рабочих сил и моментов........................................................................... 226 
5.2.1. Силы и моменты, развиваемые двигателями манипулятора..................... 226 
5.2.2. Эллипсоиды допустимых сил....................................................................... 229 
5.3. Уравнения движения манипулятора в форме Даламбера................................... 236 
5.3.1. Силы и моменты инерции............................................................................. 236 

Оглавление 

 7 

5.3.2. Уравнения движения..................................................................................... 240 
5.3.3. Составление дифференциальных уравнений движения манипулятора 
относительно обобщенных координат......................................................... 242 
5.4. Показатели динамических свойств манипулятора.............................................. 246 
5.4.1. Эллипсоид допустимых ускорений.............................................................. 246 
5.4.2. Динамическая манипулятивность. Приемистость...................................... 249 
5.4.3. Вычисление показателей динамических свойств манипулятора.............. 251 
Контрольные вопросы и задания................................................................................ 257 
6. Уравнения движения манипуляционного механизма в форме Лагранжа. 
Принцип Гаусса................................................................................................... 259 
6.1. Уравнение движения в форме Лагранжа второго рода....................................... 259 
6.1.1. Структура уравнения. Обобщенные силы................................................... 259 
6.1.2. Кинетическая энергия манипуляционного механизма............................... 264 
6.1.3. Связь между уравнением Лагранжа и уравнением кинетостатики........... 282 
6.2. Движение манипуляционного механизма при наличии внешних связей. 
Уравнение движения в форме Лагранжа первого рода...................................... 288 
6.2.1. Определение реакции связей при использовании уравнений 
кинетостатики................................................................................................. 288 
6.2.2. Уравнение Лагранжа при наличии связей................................................... 290 
6.2.3. Применение уравнений Лагранжа для анализа движения манипуляционных механизмов с замкнутыми контурами......................................... 293 
6.3. Принцип Гаусса...................................................................................................... 301 
6.3.1. Общая формулировка принципа Гаусса...................................................... 301 
6.3.2. Применение принципа Гаусса для исследования движения манипуляционных механизмов..................................................................................... 303 
6.3.3. Определение ускорений вынужденного движения..................................... 305 
6.3.4. Принцип Гаусса в однородных координатах............................................... 310 
6.3.5. Моделирование движения манипуляционного механизма с использованием принципа Гаусса................................................................................ 313 
Контрольные вопросы и задания................................................................................. 332 
7. Система управления исполнительного уровня................................................. 335 
7.1. Математическая модель исполнительной системы............................................. 335 
7.1.1. Уравнения исполнительной системы........................................................... 335 
7.1.2. Линеаризация модели исполнительной системы........................................ 340 
7.2. Исследование линеаризованной модели исполнительной системы.................. 346 
7.2.1. Частотные характеристики и обобщенные показатели качества.............. 346 
7.2.2. Устойчивость исполнительной системы..................................................... 355 
7.3. Автоматизированный синтез исполнительной системы.................................... 360 
7.3.1. Вычисление показателей качества исполнительной системы и 
отдельных приводов...................................................................................... 360 
7.3.2. Расчет приводов исполнительной системы. Синтез корректирующих 
устройств и регуляторов................................................................................ 362 
7.3.3. Анализ синтезированной системы. Введение корректирующих 
связей............................................................................................................... 367 

Оглавление 

 
8 

7.4. Анализ исполнительной системы при кинематическом управлении................ 369 
7.4.1. Управление по вектору скорости................................................................. 370 
7.4.2. Управление положением и устойчивость системы управления................ 376 
Контрольные вопросы и задания................................................................................. 382 
8. Методы динамического управления манипуляторами................................... 385 
8.1. Методы, основанные на решении обратных задач динамики........................... 385 
8.1.1. Компенсация динамических эффектов в реальном времени...................... 386 
8.1.2. Компенсация динамических эффектов при программном движении........388 
8.1.3. Проблема реализуемости.............................................................................. 390 
8.1.4. Обобщенный моментный регулятор............................................................ 392 
8.2. Декомпозиция управления..................................................................................... 394 
8.2.1. Декомпозиция уравнений динамики манипуляционного механизма....... 394 
8.2.2. Декомпозиция управляющих сигналов........................................................ 396 
8.3. Силовая обратная связь.......................................................................................... 400 
8.3.1. Силовая обратная связь в сочленениях манипулятора............................... 401 
8.3.2. Силовая обратная связь на схвате................................................................ 406 
8.3.3. Проблема устойчивости при силовой обратной связи............................... 410 
8.4. Динамическое планирование................................................................................. 416 
8.4.1. Планирование движения вдоль заданной траектории с учетом 
динамических ограничений........................................................................... 417 
8.4.2. Выбор мощности силовых агрегатов............................................................ 421 
8.4.3. Планирование движения манипулятора по собственной траектории....... 424 
Контрольные вопросы и задания................................................................................. 430 
9. Логическое управление сложной робототехнической системой.................... 431 
9.1. Понятие сложной системы..................................................................................... 431 
9.2. Конечный автомат как модель объекта управления............................................ 435 
9.3. Построение моделей подсистем............................................................................ 438 
9.3.1. Робот как элемент сложной системы............................................................ 439 
9.3.2. Модели подсистем.......................................................................................... 442 
9.4. Сетевой автомат...................................................................................................... 444 
9.5. Сеть автоматов........................................................................................................ 448 
9.5.1. Последовательное соединение сетевых автоматов..................................... 448 
9.5.2. Соединение с обратной связью..................................................................... 452 
9.5.3. Сеть автоматов и эквивалентный автомат................................................... 453 
9.6. Метод управления сложной робототехнической системой................................ 454 
Контрольные вопросы и задания................................................................................. 462 
Заключение.................................................................................................................. 463 
Список литературы..................................................................................................... 465 
Комментарий к списку литературы......................................................................... 469 
Предметный указатель................................................................................................477 

Посвящается светлой памяти  
нашего учителя академика Е.П. Попова 
 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Робототехника становится неотъемлемой частью производственной и 
исследовательской деятельности человека в самых различных областях. В 
связи с этим постоянно возрастает интерес к ней как к инженерной специальности. Подготовка студентов по специальности «Роботы и робототехнические системы» была начата более десяти лет тому назад, и, следовательно, она является относительно молодой среди традиционных 
инженерных специальностей. Это проявляется, в частности, и в том, что 
по робототехнике нет стабильных, хорошо отработанных в методическом 
отношении учебников. Имеющаяся отечественная и переводная учебная 
литература либо устарела, либо отражает отдельные стороны дисциплины 
и не соответствует учебной программе. Для того чтобы восполнить этот 
пробел, и предлагается настоящая книга, написанная как учебник по курсу 
«Управление роботами и робототехническими системами» на основе одноименного курса лекций, читаемого авторами в МГТУ им. Н.Э. Баумана в 
последние годы. 
Настоящий учебник, как и любой другой, имеет ограниченную область приложения. Робототехника – весьма обширная сфера инженерной 
практики, причем в последнее время она все более расширяется. Само 
понятие «робот» приобретает более глубокий смысл, по сравнению с 
тем, который вкладывался в него ранее. Любое техническое устройство, способное самостоятельно функционировать в не известных заранее, изменяющихся условиях внешнего мира, можно рассматривать как 
робот. При этом предполагается, что оно располагает собственной 
сенсорной системой, позволяющей ориентироваться во внешнем мире, 
обладает знаниями, позволяющими принимать решения в сложной ситуации, способно взаимодействовать с человеком-оператором, определяющим цели функционирования робота. 
В такой широкой постановке проблема написания учебника по робототехнике представляется неразрешимой. Поэтому авторами был выбран 
за основу традиционный подход, согласно которому будущие специалисты 
по робототехнике прежде всего должны изучить манипуляционный робот, 

Предисловие 

 
10 

т. е. техническое устройство, снабженное манипуляторами и способное 
самостоятельно выполнять различные механические операции в своем рабочем пространстве. Это наиболее широкий класс робототехнических устройств. К нему относятся все промышленные роботы, а также манипуляционные роботы, предназначенные для замены человека в тех случаях, 
когда он не может присутствовать на месте выполнения операции или 
выполнять ее самостоятельно – под водой, в космическом пространстве, в 
условиях повышенной радиации и т. п. Знания, полученные в области 
кинематики и динамики сложных механизмов и способов управления 
ими, необходимы и при решении проблем проектирования робототехнических систем в любой другой области. 
Авторами не оставлен в стороне еще один важный вопрос, который, 
по их мнению, также относится к основам робототехники. Это совместная работа нескольких роботов, а также другого автоматизированного 
технологического оборудования при решении определенной задачи, т. е. 
проблема управления сложной робототехнической системой. Элементы 
теории подобных систем также вошли в настоящий учебник. 
Учебник условно подразделяется на три части, различающиеся уровнем математической модели робототехнической системы. В гл. 1–4 рассмотрены основные кинематические соотношения, описывающие манипуляционный механизм без учета действующих на него сил. Они 
позволяют определить положение механизма в пространстве, скорости 
и ускорения всех его звеньев. Кроме того, в гл. 4 изложены задачи 
управления манипуляторами с использованием кинематических соотношений. 
В гл. 5–8 рассмотрены проблемы, связанные с динамикой манипуляционных роботов. При этом исследуются не только описанные в предыдущих главах алгоритмы кинематического управления при действии 
сил и моментов, но также рассматриваются и специальные алгоритмы 
динамического управления, учитывающие динамику манипуляционного 
механизма при определении управляющих сигналов (гл. 8). Традиционные методы исследования и расчета следящих систем отражены в гл. 7, 
основное внимание в которой уделено анализу исполнительной системы 
манипуляционного робота. 
Гл. 9 посвящена проблемам логического управления сложными робототехническими системами. Читатель найдет здесь, так же как и в остальных главах книги, необходимый математический аппарат, позволяющий понять материал учебника, не прибегая к другим источникам. 

Предисловие 

 
11 

Авторы предполагали, что читатель владеет материалом курсов высшей математики и теоретической механики в объеме программ технического университета. Желательными являются также знания основ курсов 
прикладной механики и теории управления техническими системами. 
При работе над книгой авторы столкнулись с тем, что в рамках одного учебника невозможно отразить даже основные вопросы, связанные с 
подготовкой инженера-робототехника. Вне рамок книги остались такие 
важные разделы, как информационно-сенсорные модели роботов, организация программного обеспечения робототехнических систем, взаимодействие робота и человека-оператора, автоматизированное моделирование и 
проектирование робототехнических систем, системы с искусственным интеллектом и распределенные системы. В современной программе подготовки инженеров-робототехников имеются все перечисленные разделы и 
по ним также в течение ряда лет читаются лекции в МГТУ им. Н.Э. Баумана, в связи с этим в ближайшие годы будет издана серия учебников и 
учебных пособий, содержащих эти разделы. Идея такой серии принадлежит основателю кафедры «Робототехнические системы» академику РАН 
Е.П. Попову, создавшему отечественную школу робототехники, к которой 
принадлежат и авторы настоящей книги. 
Второе, исправленное и дополненное издание (первое – в 2000 г.) учебника открывает серию «Робототехника». Авторами исправлены неточности 
и добавлены примеры, позволяющие лучше понять особенности применения 
рассматриваемых методов. 
Авторы выражают признательность всем читателям, которые выскажут свои замечания и пожелания, направленные на улучшение данного 
учебника. 
 

Список основных обозначений 

 
iq  – обобщенная координата i-го звена 

 
q – вектор обобщенных координат манипулятора 
 
s – вектор 6 1
× , определяющий положение схвата манипулятора как свободного твердого тела 
 
,
R O  – ортогональные матрицы 3 3
×  (матрицы поворота) 

 
,
k l
p
 – вектор, связывающий начало k-й и l-й систем координат, 

в проекции на абсолютную систему координат  
 
X, OX – ось системы координат OXYZ 

 
i
i
i
i
Z
Y
X
O
 – система координат, связанная с i-м звеном 

OXYZ, 
0
0 0
0
O X Y Z  – неподвижная система координат 

 
 
 
i
i
i
i
O X Y Z
′ ′ ′ ′ – система координат, связанная с i-м звеном, коллинеарная 

неподвижной системе координат 

 
 
 
i
i
i
i
С X Y Z
′ ′ ′ ′  – система координат, связанная с i-м звеном, имеющая на
чало координат в центре его масс и коллинеарная неподвижной системе OXYZ 

 
iA  – матрица перехода 4 4
×  от системы координат 
i
i
i
i
O X Y Z  i-го 

звена к системе координат 
 
 
 
1
1
1
1
i
i
i
i
O
X
Y
Z
−
−
−
−  (
1
i − )-го звена 

 
, , 
i
i
i
x
y
z  – орты системы координат 
i
i
i
i
O X Y Z , связанной с i-м зве
ном в проекции на абсолютную систему координат 

0
0
0
0
O X Y Z  

 
 
 
 
,
,
,
i
i
i
i
d
a
q
α
 – параметры, определяющие положение i-го звена манипуля
тора относительно (
1
i − )-го звена (параметры Денавита – 
Хартенберга)