Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА

И.А. ПАЛИЙ

3-е издание, переработанное и дополненное

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим 

и экономическим направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 4 от 13.04.2022)

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.17я73
 
П14

А в т о р :

Палий И.А., доцент, доцент Сибирского государственного автомо-

бильно-дорожного университета (СибАДИ)

Р е ц е н з е н т ы:

В.А. Далингер, доктор педагогических наук, профессор, заведу-

ющий кафедрой математики и методики обучения математике Ом-
ского государственного педагогического университета;

Б.С. Добронец, доктор физико-математических наук, профессор 

кафедры систем искусственного интеллекта Института космических 
и информационных технологий Сибирского федерального универси-
тета (г. Красноярск)

ISBN 978-5-16-017505-8 (print)
ISBN 978-5-16-110025-7 (online)

© Палий И.А., 2012, 2021
© Палий И.А., 2022, с изменениями

Палий И.А.

П14  
Теория вероятностей и математическая статистика : учебное посо-

бие / И.А. Палий. — 3-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 
2023. — 426 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 
10.12737/1859126.

ISBN 978-5-16-017505-8 (print)
ISBN 978-5-16-110025-7 (online)
Учебное пособие является вводным курсом теории вероятностей и ма-

тематической статистики. Рассмотрены элементы комбинаторики, основ-
ные понятия и теоремы теории вероятностей, дискретные случайные вели-
чины, непрерывные случайные величины, некоторые предельные теоремы,  
одномерные и двумерные выборки, точечное и интервальное оценивание 
параметров генеральной совокупности, проверка статистических гипотез, 
элементы теории массового обслуживания. Изложение теоретического ма-
териала сопровождается большим числом подробно разобранных приме-
ров решения задач. 

Для студентов технических и экономических направлений подготовки 

и специальностей, обучающихся по программам бакалавриата и специали-
тета.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.17я73

Предисловие

Это учебное пособие написано на основе многолетнего опыта 

чтения курса теории вероятностей студентам СибАДИ.

Цель данной работы — не только познакомить учащегося с осно-

вами теории вероятностей, но и развить у него навыки решения 
задач, в том числе достаточно сложных для того, кто не избрал 
для себя основной специальностью математику.

Вот почему в пособии так много примеров решения задач, начиная 
с самых элементарных упражнений. Но кроме простых 
примеров рассматриваются и такие задачи, для решения которых 
нужны достаточно тонкие рассуждения.

При этом в работе выдержан достаточно строгий стиль изложения 
материала, ведь теория вероятностей — часть математики 
(а не физики, техники, экономики и т.п.). Поэтому излагать теорию 
вероятностей и принципы решения вероятностных задач нужно 
в соответствии с правилами современной математики.

Вместе с тем представляется весьма важным научить строить 

корректные вероятностные модели по описанию определенных ситуаций. 
Студенты технических и экономических специальностей 
непременно встретятся с использованием методов теории вероятностей 
в разнообразных приложениях. Поэтому в пособии немало 
места уделено подробному объяснению того, как построить вероятностное 
пространство по описанию некоторого случайного явления.


Вероятностные схемы широко используются в современных 

физике, химии, генетике, экономике, технических науках. Поразительное 
соответствие поведения реальных случайных систем с поведением, 
предсказанным теорией вероятностей, может объяснить, 
наверное, только философия. Мы сейчас приведем два занятных 
примера таких соответствий.

Е.С. Вентцель, автор одного из лучших учебников по теории вероятностей, 
любимого многими поколениями студентов, на своей 
первой лекции по теории вероятностей просила студентов написать 
на листке бумаги дату их рождения (число и месяц). Затем 
она утверждала, что, не зная никого из студентов, все же может 
держать пари, что среди них найдутся два человека, родившиеся 
в один день. И она ни разу не ошиблась! С точки зрения теории 
вероятностей Е.С. Вентцель ничем не рисковала: если в аудитории 
на лекции присутствуют хотя бы 50 человек (а в году 365 дней!), 

вероятность совпадения дней рождения практически равняется 1. 
Но кто может ответить на вопрос, почему вполне абстрактные понятия 
независимых событий и их вероятностей так замечательно 
точно соответствуют реальным датам рождения людей?

Второй пример — это задача 66 данного учебного пособия. 

В конце 1980-х годов в СССР существовал государственный заем 
с условиями, очень похожими на те, которые в ней описаны. Вероятности 
доходов, рассчитанные в задаче, прекрасно соответствовали 
реальным частотам (проверено путем статистического 
анализа таблиц выигрышных номеров). Затем государство СССР 
прекратило свое существование, а облигации государственного 
займа превратились в ничего не стоящие бумажки. Но теория вероятностей 
к этому факту современной истории отношения не имеет.

Без глубокого постижения основ теории вероятностей невозможны 
ни дальнейшее изучение более серьезных ее разделов, 
ни грамотное использование вероятностных методов на практике.

Глава 1.  

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика решает задачи подсчета числа определенных 

комбинаций элемен тов, выбранных из данного конечного множества. 
Далее будут рассмотрены простейшие понятия и формулы.

1.1. ПРИНЦИП УМНОЖЕНИЯ

Этот принцип будет для нас основным. Он формулируется так: 

пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое 
действие можно выполнить n1 способами, второе — n2 способами 
и так далее до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, 
то все k действий вместе могут быть выполнены

 
1
2 ...
k
n
n
n
⋅
⋅
⋅
 
(1.1)

способами.

Важно. Принципом умножения можно пользоваться, если каждый 

раз число способов выполнения очередного действия одно и то же 
и не зависит от того, как выполнялись все предыдущие действия.

Примеры решения задач

Задача 1. Три дороги соединяют города A и В, две дороги соединяют 
города B и С, по двум дорогам можно проехать из С в D. 
Сколькими способами можно совершить поездку из A в D через B и С?

Решение. Чтобы указать способ поездки, нужно выполнить три 

действия: выбрать дорогу, соединяющую A c B; выбрать дорогу, соединяющую 
B c C; выбрать дорогу, соединяющую С и D.

Первое действие можно совершить тремя способами, второе 

и третье — двумя. Следуя принципу умножения, получаем, что 
число разных способов совершить поездку равно

 
3 2 2
12.
⋅
⋅
=
 

Принцип умножения можно представить наглядно. Обозначим 

дороги, соединяющие города A и В, символами A1B, А2В, А3В; дороги, 
соединяющие города B и С, — символами B1C, В2С; дороги, 
соединяющие города С и D, — символами С1D, С2Д. Один из воз-
можных способов совершить поездку может быть, например, такой: 
A1B — В2С — С1D. Все 12 возможных вариантов показаны на рис. 1.1.

А
В
С
Д

С1Д

С1Д

С1Д

С1Д

С1Д

С1Д

С2Д

С2Д

С2Д

С2Д

С2Д

С2Д

В1С

В1С

В1С

В2С

В2С

В2С

А1В

А2В

А3В

Рис. 1.1

Задача 2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 

0, 1, 2, 3, 4, если цифры в числе не должны повторяться? Сколько 
среди них четных чисел? Сколько нечетных?

Решение. Каждое число — это набор из пяти цифр, первая из ко-

торых не есть нуль. Примеры чисел: 14203, 32014, 24031. Чтобы со-
ставить число, нужно выполнить пять действий: указать первую 
цифру числа, указать вторую и т.д. вплоть до пятой цифры. Первое 
действие можно выполнить четырьмя способами (0 не может быть 
первой цифрой), второе — также четырьмя (вторая цифра может 
быть любой из четырех оставшихся после выбора первой цифры), 
третье — тремя способами, четвертое — двумя. Последнее, пятое 
действие можно выполнить только одним способом — поставить 

на последнее место единственную еще не использованную цифру. 
По принципу умножения получаем, что всего есть 4 × 4 × 3 × 2 × 
× 1 = 96 разных пятизначных чисел, определяемых условиями за-
дачи. Найдем, сколько среди них нечетных чисел. Чтобы можно 
было воспользоваться принципом умножения, нужно сначала на-
звать последнюю цифру числа: чтобы число было нечетным, на по-
следнем месте должны стоять 1 или 3. Затем нужно указать первую 
цифру, что можно сделать тремя способами (не 0 и не цифра, вы-
бранная в качестве последней). Остальные цифры числа можно за-
давать в любом порядке. Третье действие можно выполнить тремя 
способами, четвертое — двумя, последнее, пятое действие можно 
выполнить одним способом. Всего нечетных чисел 2 × 3 × 3 × 2 × 
× 1 = 36. Тогда количество четных чисел равно разности 96 – 36 = 60.

1.2. ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановкой называется любое упорядоченное размещение 

данных n элемен тов. Например, перестановки трех букв А, В, С та-
ковы: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA.

Число различных перестановок из n элемен тов обозначается 
nP . 

Чтобы задать перестановку, нужно выполнить n действий: указать 
элемент, стоящий на первом месте; указать элемент, стоящий 
на втором месте, …, указать элемент, стоящий на n-м месте.

Первое действие можно выполнить n способами, на первое место 

можно поместить любой из имеющихся n элемен тов; второе действие 
можно выполнить (n – 1) способами, на второе место можно 
поставить любой из оставшихся (n – 1) элемен тов; последнее, n-е 
действие можно выполнить только одним способом (на последнее 
место есть только один кандидат — единственный неиспользованный 
элемент).

По принципу умножения

 
(
) (
)
=
⋅
−
⋅
−
⋅…⋅
⋅
=
1
2
2 1
!
n
P
n
n
n
n  
(1.2)

(читается «эн факториал»). На рис. 1.2 проиллюстрирован способ 
подсчета P3.

Пример решения задачи

Задача 3. На собрании должны выступить четыре оратора — А, 

В, С, D. Сколькими способами можно разместить их в списке выступающих? 
Тот же вопрос для случая, когда B может выступать 
только после А.

Действие 1  Действие 2  Действие 3

ACB 

BAC 

AB 

AC 

BA 

BC 

CA 

CB 

ABC 

BCA  

CAB 

CBA 

A 

B 

C 

Рис. 1.2

Решение. Каждое размещение ораторов в списке — это перестановка 
из четырех элемен тов. Следовательно, число различных 
списков равно 
4
4!
4 3 2 1
24
P =
=
⋅
⋅
⋅
=
. Примеры размещений: 

ABCD, BACD, DACB, СDВА. В каждой такой перестановке либо 
буква A предшествует букве В, либо наоборот.

Из соображений симметрии ясно, что число списков, в которых 

A записан раньше B, равно числу списков, в которых B записан 
раньше А, т.е. 12.

1.3. РАЗМЕЩЕНИЯ

Размещением называется любой упорядоченный набор из k 

элемен тов, выбранных из n данных. Например, из трех данных букв 
ABC можно составить шесть размещений по две буквы: AB, BA, AC, 
CA, CB, ВС.

Чтобы получить размещение, нужно выполнить k действий: указать 
первый элемент размещения, указать второй элемент размещения, …, 
указать k-й элемент размещения. Первое действие можно 
выполнить n способами (выбрать любой элемент из n имеющихся); 
второе действие можно выполнить (n – 1) способами (выбрать 
любой элемент из (n – 1) оставшихся); k-е действие можно выполнить (
n – k + 1) способами (выбрать любой элемент из (n – k + 1) 
оставшихся). По принципу умножения число размещений из n 
элемен тов по k равно

 
(
)
(
)
(
)

!
1
1
!

k
n

n
A
n
n
n
k
n
k
=
⋅
−
⋅
⋅
−
+
=
−
…
. 
(1.3)

Пример решения задачи

Задача 4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные 

числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько 

таких чисел можно составить, если повторения цифр в числе запрещены.


Решение. Числа могут быть трех-, четырех- и пятизначные. 

Каждое трехзначное число — это размещение из пяти данных цифр 

по три. Число таких размещений равно 
=
×
×
=
=
3
5

5!
5
4
3
60
2!
A
.

Примеры искомых трехзначных чисел: 123, 321, 541 и т.д. Такие 

числа, как, например, 625 или 333, не соответствуют условиям задачи: 
в первом из них есть цифра 6, во втором все цифры одинаковы.


Количество четырехзначных чисел равно 
4
5
120
A =
, пятиз-

начных — 
5
5
5
120
A
P
=
=
. Всего же имеется 60 + 120 + 120 = 300 подходящих 
чисел.

1.4. СОЧЕТАНИЯ

Сочетанием из n элемен тов по k называется любой неупорядоченный 
набор из k элемен тов, выбранных из n данных. Наборы отличаются 
друг от друга составом элемен тов, место элемента в наборе 
не имеет значения. Например, если имеется 5 букв: А, В, С, D, 
E, можно составить 10 трехбуквенных сочетаний: {A, В, C}, {A, В, D} 
и т.д. Каждому неупорядоченному трехбуквенному набору (например, {
A, В, С}) соответствует 3! = 6 упорядоченных: ABC, ACB, 
BAC, BCA, CAB, CBA. В общем случае неупорядоченному набору 
из k элемен тов соответствует k! упорядоченных наборов-перестановок. 
Поэтому число сочетаний из n элемен тов по k (обозначается 

k
n
C ) в k! раз меньше числа размещений из n элемен тов по k.

 
(
)

=
=
⋅
−
!
!
!
!

k
n
k
n

A
n
C
k
k n
k
 
(1.4)

Числа 
k
n
C  называют биномиальными коэффициентами. Отметим 

их простейшие свойства:

 
0
!
1.
0! !

n
n
n

n
C
C
n
=
=
=
  
(1.5)

(По определению 0! = 1.)

 
(
)

!
!
!

k
n k
n
n

n
C
C
k n
k

−
=
=
⋅
−
 
(1.6)

1
1
k
k
k
n
n
n
C
C
C −
+ =
+
. 
(1.7)

Действительно,

       

(
)
(
) (
)

(
)
(
)

(
)
(
)

(
)
(
)

1

1

0
1

!
!

!
!
1 !
1 !

!
1
!
!
1
1 !
,
!
1 !
!
1 !
!
1 !

2 .

k
k
n
n

k
n

n
n

n
n
n

n
n
C
C
k n
k
k
n
k

n n
k
n k
n n
n
C
k n
k
k n
k
k n
k

C
C
C

−

+

+
=
+
=
−
−
−
+

−
+
+
+
+
=
=
=
=
−
+
−
+
−
+

+
+
+
=
…

 (1.8)

Докажем эту формулу индукцией по числу n.
Если n = 1, то 
0
1
1
1
1
1
2
C
C
+
=
+
=
.

Если n = 2, то 
0
1
2
2
2
2
2
1
2
1
4
2
C
C
C
+
+
=
+
+
=
=
.

Пусть равенство (1.8) верно для первых n натуральных чисел.
Тогда из (1.7) следует:

 
0
0
1
n
n
C
C
+ =
, 

 
1
1
0
1
n
n
n
C
C
C
+ =
+
, 

 
2
2
1
1
n
n
n
C
C
C
+ =
+
, 

 
1
1
k
k
k
n
n
n
C
C
C −
+ =
+
, 

 
1
1
n
n
n
n
n
n
C
C
C −
+ =
+
, 

 
1
1
n
n
n
n
C
C
+
+ =
. 

Значит,

 
0
1
1
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
⋅
=
…
…
, 

что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

Задача 5. Сколькими способами из восьми человек можно из-

брать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Выбор комиссии — это задание некоторого сочетания 

из восьми элемен тов по пять, так как порядок перечисления вы-
бранных в комиссию людей не имеет значения. Число способов 
отобрать пять человек из восьми равно

 
(
)

5
8

8!
56.
5! 8
5 !
C
=
=
−