Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теория функций комплексного переменного

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 481150.09.01
Доступ онлайн
от 304 ₽
В корзину
В учебнике излагаются основы теории функций комплексного переменного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических (регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая теория конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспекты функций комплексного переменного. Рекомендовано Учебно-методическим советом высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладные математика и физика» и смежным направлениям и специальностям. Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения. Для студентов и преподавателей технических и физико-математических вузов.
Половинкин, Е. С. Теория функций комплексного переменного : учебник / Е. С. Половинкин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 253 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1845987. - ISBN 978-5-16-017359-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1913992 (дата обращения: 23.02.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 
КОМПЛЕКСНОГО 
ПЕРЕМЕННОГО

Е.С. ПОЛОВИНКИН

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНИК

Рекомендовано

Учебно-методическим объединением

высших учебных заведений Российской Федерации в области

авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебника

для студентов высших технических учебных заведений

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
П52

Половинкин Е.С.

П52  
Теория функций комплексного переменного : учебник / Е.С. По-

ловинкин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 
253 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1845987.

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)
В учебнике излагаются основы теории функций комплексного перемен-

ного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических 
(регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая тео-
рия конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспек-
ты функций комплексного переменного.

Рекомендовано Учебно-методическим советом высших учебных заве-

дений Российской Федерации по образованию в области прикладных ма-
тематики и физики в качестве учебника для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладные мате-
матика и физика» и смежным направлениям и специальностям.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов и преподавателей технических и физико-математиче-

ских вузов.

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73

Р е ц е н з е н т ы:

Буслаев В.И., доктор физико-математических наук, ведущий науч-

ный сотрудник Отдела комплексного анализа Математического ин-
ститута имени В.А. Стеклова Российской академии наук;

Лукашов А.Л., доктор физико-математических наук, профессор 

кафедры высшей математики Московского физико-технического ин-
ститута (национального исследовательского университета)

ISBN 978-5-16-017359-7 (print)
ISBN 978-5-16-109915-5 (online)

© Половинкин Е.С., 2015
© Половинкин Е.С., 2022, 

с изменениями

Оглавление

Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плос-
кость. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§3. Дифференцирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
23
§4. Регулярные функции. Гармонические функции . . . . . . . 29
§5. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§6. Интегрирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
43
§7. Интегральная теорема Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§8. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§10. Некоторые свойства регулярных функций . . . . . . . . . . . . 78
§11. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§12. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§13. Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

13.1. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
Fn, m(x) dx . . . . . . .106

13.2. Вычисление интегралов вида J =
2π
0
F(cos ϕ, sin ϕ) dϕ. . .108

13.3. Вычисление интегралов вида J =
+∞
−∞
eiαxFn,m(x) dx . . . .109

§14. Приращение аргумента z вдоль кривой . . . . . . . . . . . . . . .112
§15. Регулярные ветви многозначных функций корня
и логарифма Ln z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
§16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z)
и
nf(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
3

§17. Примеры нахождения регулярных ветвей и ком-
плексная степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.1. Примеры.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
17.2. Понятие комплексной степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
§18. Примеры вычисления интегралов
от регулярных ветвей многозначных функций . . . . . . . .139
§19. Целые и мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
§20. Принцип аргумента. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
§21. Геометрические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
§22. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.1. Геометрический смысл модуля и аргумента про-
изводной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
22.2. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
22.3. Конформные отображения в C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
§23. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
§24. Конформные отображения элементарными функ-
циями. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.1. Степенн´ая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
24.2. Экспоненциальная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
24.3. Функция Жуковского.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
24.4. Теорема Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
§25. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
§26. Задача Дирихле на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209
§27. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
§28. Полные аналитические функции логарифма и кор-
ня и их римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.1. Полные аналитические функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
28.2. Римановы поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
§29. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . .241
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

4

Основные обозначения

:= — знак равенства по определению;

N — множество всех натуральных чисел;

Z — множество всех целых чисел;

n, m — множество целых чисел вида n, n + 1, n + 2, . . . , m;

R — множество всех действительных чисел;

Rn — n-мерное действительное евклидово пространство;

C — множество всех комплексных чисел, комплексная плос-
кость;

C — расширенная комплексная плоскость;

|z| =
x2 + y2 — модуль комплексного числа z = x + iy;

z = x − iy — число, комплексно-сопряженное числу z = x + iy;

Re z = x — действительная часть числа z = x + iy;

Im z = y — мнимая часть числа z = x + iy;

Br(z0) = {z
|z − z0| < r} — открытый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;

Br(z0) = {z
|z − z0| ⩽ r} — замкнутый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0;
◦Br(z0) = {z
0 < |z − z0| < r} — проколотая окрестность точки
z0;
◦Br(∞) = {z
|z| > r} — проколотая окрестность бесконечности;


Br(∞) =
◦Br(∞) ∪ ∞ — окрестность бесконечности;

arg z — произвольное значение аргумента числа z ̸= 0;

argгл z — главное значение аргумента числа z ̸= 0, т.е. из интервала (−
π, π];

Arg z = {argгл z + 2πk
k ∈ Z} — множество значений аргумента 
числа z ̸= 0;
5

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

λψ0 := {z
arg z = ψ0} ∪ {0} — луч, выходящий из точки 0, состоящий 
из точек с аргументом ψ0 ∈ [0, 2π);

γab — ориентированная кривая с началом в точке a и с концом
в точке b;

γ−1 — ориентированная кривая, обход которой производится
в обратном направлении по сравнению с направлением кривой
γ;

◦γ — простая замкнутая ориентированная кривая;

f : G → C — функция f задана на множестве G со значениями
в расширенной комплексной плоскости C;

f(G) = {f(z)
z ∈ G} — множество значений функции f, за-
данной на множестве G;

ux(x, y) = ∂u

∂x (x, y), uy(x, y) = ∂u

∂y (x, y) — частные производные
первого порядка функции u(x, y);

{ n√z} — многозначная функция корня n-й степени z;

Ln z — многозначная функция логарифма z, аналитическая
функция логарифма z;

{zn}, {fn(z)} — числовая и функциональная последовательно-
сти;

C[0, 1], (C1[0, 1]) — пространство действительных непрерывных
(непрерывно дифференцируемых) функций, заданных на от-
резке [0, 1];

C2(G) — пространство действительных дважды непрерывно
дифференцируемых функций, заданных на области G ⊂ R2;

res
a f — вычет функции f в точке a;

dist(z, γ) = inf{|z − ζ|
ζ ∈ γ} — расстояние от точки z до кри-
вой γ;

diam G = sup{|z − ζ|
z, ζ ∈ G} — диаметр множества G ⊂ C.

6

Предисловие

Предисловие

Настоящая книга является достаточно полным конспек-
том курса лекций по теории функций комплексного пере-
менного, читаемого автором студентам Московского физико-
технического института. Это — полуторасеместровый курс в
объеме 45 академических часов лекционных занятий.
Эта книга является учебным пособием для студентов выс-
ших учебных заведений с углубленным изучением курса мате-
матики.
В настоящей книге мы будем изучать свойства функций ком-
плексного переменного. Такие функции нашли многочислен-
ные применения как в различных разделах чистой математи-
ки, таких как: алгебра, аналитическая теория чисел, диффе-
ренциальные уравнения, так и в различных прикладных ма-
тематических дисциплинах, таких как: теоретическая физика,
небесная механика, гидродинамика, теория упругости и др.
Чтобы понять важность теории функций комплексного пе-
ременного, отметим лишь некоторые примеры использования
этой теории, которые встречаются студентам младших курсов
при изучении ими алгебры, математического анализа и диф-
ференциальных уравнений. Так, утверждение о том, что вся-
кое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один ком-
плексный корень, является основным в алгебре. В интеграль-
ном исчислении большое значение имеет тот факт, что рацио-
нальная функция представима в виде элементарных дробей с
комплексными коэффициентами. Понятие комплексного числа
и экспоненциальной функции комплексного переменного име-
ет важное значение при решении линейных дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами. Только изучив 
теорию функций комплексного переменного, можно понять, 
почему такая хорошая на всей числовой оси функция
f(x) = 1/(1 + x2) может быть представлена в виде степенного

ряда f(x) =
+∞
n=0
(−1)nx2n лишь при значениях x, удовлетворяющих 
условию −1 < x < 1.
7

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах 
мы будем заниматься развитием в комплексной области 
известных из действительного анализа основных понятий
и операций: предела, производной, интеграла.
Опираясь на
указанный аналитический аппарат, в основной части курса мы
будем изучать свойства регулярных (= голоморфных) функций, 
т. е. функций комплексного переменного, определенных и
непрерывно дифференцируемых в некоторой области на комплексной 
плоскости. В §§ 9–11 и § 19 будут изучены условия
представления таких функций в виде степенных рядов, в виде
рядов Лорана, а также рядов из элементарных дробей.
В книге изложены свойства обратных многозначных функций. 
В §§ 14–17 приведено подробное исследование условий су-
ществования и вид однозначных функций, называемых «регулярными 
ветвями» многозначного корня или многозначного
логарифма от регулярной функции. В §§ 27–29 рассмотрены
понятия аналитических продолжений и аналитической функции.

В курсе также изложены геометрические принципы регулярных 
функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения 
области, принцип максимума модуля и другие. На их
основе построена геометрическая теория конформных отображений, 
осуществляемых регулярными функциями.
В книге приведены некоторые прикладные аспекты теории
функций комплексного переменного. В § 13 и § 18 c помощью
теории вычетов показаны эффективные методы вычисления
интегралов, в том числе несобственных интегралов от действительных 
функций. В § 26 на примере задачи Дирихле продемонстрированы 
возможности комплексного анализа при решении 
уравнений математической физики.
В книге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить 
теоретический материал. Эти упражнения имеют разный
уровень сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться,
если они не сразу смогут найти решение некоторых из них.
Для данного курса написан и опубликован в 2006 году
«Сборник задач по теории функций комплексного перемен-
8

Предисловие

ного» в издательстве «БИНОМ. Лаборатория знаний», авто-
ры М.И.Шабунин, Е.С. Половинкин и М.И.Карлов [11]. Этот
сборник задач содержит не только большое количество задач
по курсу ТФКП, но также формулировки основных теорем
курса и решения многих наиболее типичных задач.
Первое издание книги вышло в 1999 году.
Во втором из-
дании (2003 год) и в третьем издании (2015 год) устранены
опечатки и сделаны небольшие изменения в доказательствах
некоторых теорем.
В настоящем четвертом издании в опре-
делении регулярной функции убрано условие непрерывности
производной, добавлены лемма Гурса и частный случай тео-
ремы Жордана для многогранника, изменены доказательства
интегральной теоремы Коши и леммы об открытости. Мате-
риал, связанный с понятиями аналитического продолжения и
аналитической функции, перенесен в конец курса.
Считаю своим долгом выразить признательность своим
коллегам — профессорам А. А. Болибруху, В. В. Горяйнову,
В. К. Захарову, В. Б. Лидскому, Б. В. Пальцеву, Ю. В. Сидоро-
ву, М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву за полезные обсуждения
первого и второго издания книги, а также выражаю большую
благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке рукопи-
си к печати. Особую признательность выражаю моим слуша-
телям — студентам физтеха, которые помогли исправить опе-
чатки в первом издании и сделали ряд интересных замечаний
по данному курсу лекций.

9

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

§ 1. Комплексные числа

Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство
R2, состоящее из векторов z = (x, y) с двумя действительны-
ми компонентами x, y, в котором как обычно заданы
0) равенство векторов (покомпонентное), т.е.
z1 = z2
⇐⇒
x1 = x2,
y1 = y2
1) операция сложения векторов
z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),
где zk = (xk, yk), k ∈ 1, 2;
2) операция умножения вектора z на действительное число
λ:
λz = (λx, λy);
3) расстояние и норма:
ρ(z1, z2) = ∥z1 − z2∥ =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Общие свойства приведенных выше операций Вам должны
быть хорошо известны из курса математического анализа.
Обозначим базисные векторы из R2 следующим образом:
1 := (1, 0),
i := (0, 1).
(1.1)
В силу (1.1) всякий вектор z = (x, y) ∈ R2 можно записать в
виде z = x · 1 + y · i, или проще: z = x + iy.
Теперь определим в R2 операцию произведения следующим
образом
z1z2 := (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
(1.2)
где zk = xk + iyk.

Определение 1.1. Евклидово пространство R2, в котором
определено произведение по формуле (1.2), называется множе-
ством (или пространством) комплексных чисел C. Элементы
множества C называются комплексными числами.
Комплексное число i называется мнимой единицей. В силу
определения произведения (1.2) получаем, что i2 = −1.
Множество комплексных чисел вида x + i0 изоморфно мно-
жеству действительных чисел, так как взаимно однозначное
соответствие x + i0 → x сохраняется при выполнении операций
сложения и умножения. Поэтому мы не будем различать ком-
10

§ 1. Комплексные числа

плексное число x + i0 и действительное число x. Соответствен-
но, x = Re z называется действительной (или: вещественной)
частью, а y = Im z — мнимой частью числа z = x + iy.
Величина |z| :=
x2 + y2 называется модулем комплексного
числа z = x + iy.
Число z := x−iy называется комплексно-сопряженным чис-
лом к числу z = x + iy.
Очевидно, что zz = |z|2.
Легко проверить справедливость следующих свойств:
1) z1z2 = z2z1 (коммутативность умножения),
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (ассоциативность умножения),
3) (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 (дистрибутивность),
4) обратимость операции умножения (1.2), т. е. для любых z1 ̸=
̸= 0 и z2 уравнение
z1z = z2
(1.3)
имеет, и притом единственное, решение, которое будем обозначать 
z := z2/z1 и называть результатом деления числа
z2 на число z1.
Докажем последнее свойство. Уравнение (1.3) эквивалентно
в силу определения произведения (1.2) системе линейных уравнений
x1x − y1y = x2,
y1x + x1y = y2.
(1.4)

Определитель этой системы равен

Δ =

x1
−y1

y1
x1

= x2
1 + y2
1 = |z1|2 ̸= 0,

т. е. по правилу Крамера решение системы (1.4) (т.е. уравнения
(1.3)) существует и единственно.
Решение уравнения (1.3) можно получить иначе, домножая
это уравнение на z1. Тогда получаем

z1z1z = z1z2,
|z1|2z = z1z2,

z = z1z2

|z1|2 = x1x2 + y1y2

x2
1 + y2
1
+ −y1x2 + x1y2

x2
1 + y2
1
i.
(1.5)

Решение уравнения z1z = 1, z1 ̸= 0 называют обратным числом 
к z1 и обозначают z−1
1
= 1

z1 .
11

Е. С. Половинкин. Теория функций комплексного переменного

Множество комплексных чисел C удобно рассматривать как
множество точек, принадлежащих евклидовой плоскости, выбрав 
базисные векторы 1 и i из (1.1) (см. рис. 1.1). Эту плоскость 
будем называть комплексной плоскостью.

x

y

0
x

y
z = x + iy

ϕ

Рис. 1.1

Перейдем в этой плоскости к полярной
системе координат
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
(1.6)

В новых обозначениях получаем, что
r = |z|, т. е. r есть модуль числа z, а ϕ называется аргументом
комплексного числа z ̸= 0 и обозначается arg z. В силу периодичности 
тригонометрических функций аргумент числа z ̸=
̸= 0 нельзя определить однозначно, лишь с точностью до 2πk.
Поэтому введем специальные обозначения. Аргумент числа z,
выбираемый в интервале (−π, π], назовем главным значением
аргумента z и обозначим
argгл z ∈ (−π, π].
(1.7)
Тогда множество всех значений аргумента числа z выражается
формулой
Arg z := {argгл z + 2πk
k ∈ Z},
(1.8)

где через Z обозначено множество всех целых чисел. Через N
будем обозначать множество всех натуральных чисел.
Отметим, что для числа z = 0 аргумент не определен.
Для всякого числа z = x + iy ̸= 0, используя переменные
(r, ϕ) (1.6), получаем его представление в виде
z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) ,
где
ϕ ∈ Arg z,
(1.9)
которое называется тригонометрической (или полярной) формой 
задания комплексного числа.
Отметим, что два комплексных числа, записанные в тригонометрической 
форме, равны между собой тогда и только тогда, 
когда равны их модули и множества значений аргумента.
Произведение чисел, заданных в форме (1.9), в силу формулы 
(1.2) принимает вид
z1z2 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1)|z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2) =
12

Доступ онлайн
от 304 ₽
В корзину