Теория функций комплексного переменного

Е.С. ПОЛОВИНКИН
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
УЧЕБНИК
Рекомендовано
Учебно 
-методическим советом  высших учебных заведений 
Российской Федерации по образованию в области 
авиации, ракетостроения и космоса в качестве учебника 
для студентов высших технических учебных заведений
Москва
ИНФРА-М
2020

УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
П52
П52
Половинкин Е.С. 
Теория функций комплексного переменного : учебник / 
Е.С. Половинкин. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 254 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/6014.
ISBN 978-5-16-013608-0 (print)
ISBN 978-5-16-106273-9 (online)
В учебнике излагаются основы теории функций комплексного переменного. Рассматриваются также геометрические принципы аналитических 
(регулярных) функций, на основе которых построена геометрическая теория конформных отображений. Приводятся некоторые прикладные аспекты 
функций комплексного переменного.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
УДК 517.5(075.8)
ББК 22.161.5я73
ISBN 978-5-16-013608-0 (print)
ISBN 978-5-16-106273-9 (online)
© Половинкин Е.С., 2015

Содержание
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Ÿ 1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ÿ 2. Пределы. Ряды. Расширенная комплексная плоскость.
Функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . .
15
Ÿ 3. Дифференцирование функции комплексного переменного 23
Ÿ 4. Регулярные функции.
Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Ÿ 5. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Ÿ 6. Интегрирование функции комплексного переменного
. .
43
Ÿ 7. Интегральная теорема Коши
. . . . . . . . . . . . . . . .
49
Ÿ 8. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Ÿ 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса
. . . . . . . . . . .
60
Ÿ 10. Некоторые свойства регулярных функций . . . . . . . . .
69
Ÿ 11. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Ÿ 12. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Ÿ 13. Теория вычетов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Ÿ 14. Приращение аргумента z вдоль контура . . . . . . . . . . 109
Ÿ 15. Регулярные ветви многозначных функций корня и
логарифма Ln z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Ÿ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и корня122
Ÿ 17. Примеры нахождения регулярных ветвей . . . . . . . . . 131
Ÿ 18. Примеры вычисления интегралов от регулярных
ветвей многозначных функций
. . . . . . . . . . . . . . . 138
Ÿ 19. Целые и мероморфные функции
. . . . . . . . . . . . . . 147
Ÿ 20. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ÿ 21. Полные аналитические функции логарифма и корня
и их римановы поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Ÿ 22. Особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . 174
Ÿ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . 181
Ÿ 24. Геометрические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Ÿ 25. Конформные отображения в C
. . . . . . . . . . . . . . . 193
Ÿ 26. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . 199
Ÿ 27. Конформные отображения элементарными функциями.
Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Ÿ 28. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ÿ 29. Задача Дирихле на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Основные обозначения
x2 + y2  модуль комплексного числа z = x + iy
△
=  знак равенства по определению
N  множество всех натуральных чисел
Z  множество всех целых чисел
n,m  множество целых чисел вида n,n + 1,n + 2, . . . ,m
R  множество всех действительных чисел
Rn  n-мерное действительное евклидово пространство
C  множество всех комплексных чисел, комплексная плоскость
C  расширенная комплексная плоскость
|z| =
p
z = x −iy  число, комплексно-сопряженное числу z = x + iy
Re z = x  действительная часть числа z = x + iy
Im z = y  мнимая часть числа z = x + iy
Br(z0) = {z | |z −z0| < r}  открытый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0
Br(z0) = {z | |z −z0| ⩽r}  замкнутый круг радиуса r > 0 с
центром в точке z0
◦
Br(z0) = {z | 0 < |z −z0| < r}  проколотая окрестность точки
z0
◦
Br(∞) = {z | |z| > r}  проколотая окрестность бесконечности
◦
Br(∞) =
Br(∞) ∪∞ окрестность бесконечности
arg z  произвольное значение аргумента числа z ̸= 0
argãë z  главное значение аргумента числа z ̸= 0, принадлежащее интервалу (−π,π]
Arg z = {argãë z + 2πk | k ∈Z}  множество всех значений
аргумента числа z ̸= 0
λψ0
△
= {z | arg z = ψ0} ∪{0}  луч, выходящий из точки 0,
состоящий из точек с аргументом ψ0 ∈[0,2π).
γab  ориентированная кривая (контур) с началом в точке a и
с концом в точке b;
γ−1  ориентированная кривая, обход которой производится в
обратном направлении по сравнению с направлением кривой γ
◦
γ  простая замкнутая ориентированная кривая (контур)
4

Основные обозначения
f : G →C  функция f задана на множестве G со значениями
в расширенной комплексной плоскости C
f(G) = {f(z) | z ∈G}  множество значений функции f,
заданной на множестве G
ux(x,y) = ∂u
∂x(x,y), uy(x,y) = ∂u
∂y (x,y)  частные производные
первого порядка функции u(x,y)
{ n
√z}  многозначная функция корня n-й степени z
Ln z  многозначная функция логарифма z, аналитическая
функция логарифма z
{zn}, {fn(z)}  числовая и функциональная последовательности
C[0,1], (C1[0,1])  пространство действительных непрерывных
(непрерывно дифференцируемых) функций, заданных на отрезке [0,1]
C2(G)  пространство действительных дважды непрерывно
дифференцируемых функций, заданных на области G ⊂R2
res
a f  вычет функции f в точке a
dist(z,γ) = inf{|z −ζ| | ζ ∈γ}  расстояние от точки z до
кривой γ
diam G = sup{|z −ζ| | z,ζ ∈G}  диаметр множества G ⊂C
5

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Предисловие
Настоящая книга является достаточно полным конспектом
курса лекций по теории функций комплексного переменного,
читаемого автором студентам Московского физико-технического института. Это  полуторасеместровый курс в объеме 51
академического часа лекционных занятий.
Эта книга является учебным пособием для студентов высших учебных заведений с углубленным изучением курса математики.
В настоящей книге мы будем изучать свойства функций
комплексного переменного. Такие функции нашли многочисленные применения как в различных разделах чистой математики, таких как: алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравнения, так и в различных прикладных математических дисциплинах, таких как: теоретическая физика,
небесная механика, гидродинамика, теория упругости и др.
Чтобы понять важность теории функций комплексного переменного, отметим лишь некоторые примеры использования
этой теории, которые встречаются студентам младших курсов
при изучении ими алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений. Так, утверждение о том, что всякое
алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один комплексный корень, является основным в алгебре. В интегральном исчислении большое значение имеет тот факт, что рациональная функция представима в виде элементарных дробей с
комплексными коэффициентами. Понятие комплексного числа
и экспоненциальной функции комплексного переменного имеет важное значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Только изучив теорию функций комплексного переменного, можно понять, почему такая хорошая на всей числовой оси функция
f(x) = 1/(1 + x2) может быть представлена в виде степенного
ряда f(x) =
(−1)nx2n лишь при значениях x, удовлетворяn=0
+∞
P
ющих условию −1 < x < 1.
6

Предисловие
Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах мы будем заниматься развитием в комплексной области известных из действительного анализа основных понятий и операций: предела, производной, интеграла. Опираясь
на указанный аналитический аппарат, в основной части курса мы будем изучать свойства регулярных (= голоморфных)
функций, т. е. функций комплексного переменного, определенных и непрерывно дифференцируемых в некоторой области на
комплексной плоскости. В Ÿ 9  11 и Ÿ 19 будут изучены условия представления таких функций в виде степенных рядов, в
виде рядов Лорана, а также рядов из элементарных дробей.
В книге изложены свойства обратных многозначных функций. В Ÿ 14  17 приведено подробное исследование условий
существования и вид однозначных функций, называемых "регулярными ветвями"многозначного корня или многозначного
логарифма от регулярной функции. В Ÿ 20  21 рассмотрены
понятия аналитических продолжений и аналитической функции.
В курсе также изложены геометрические принципы регулярных функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения области, принцип максимума модуля и другие. На их
основе построена геометрическая теория конформных отображений, осуществляемых регулярными функциями.
В книге приведены некоторые прикладные аспекты теории
функций комплексного переменного. В Ÿ 13 и Ÿ 18 c помощью
теории вычетов показаны эффективные методы вычисления
интегралов, в том числе несобственных интегралов от действительных функций. В Ÿ 29 на примере задачи Дирихле продемонстрированы возможности комплексного анализа при решении уравнений математической физики.
В книге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить теоретический материал. Эти упражнения имеют разный уровень сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться, если они не сразу смогут найти решение некоторых из
них.
7

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Для данного курса написан и опубликован в 2006 году
¾Сборник задач по теории функций комплексного переменного¿ в издательстве ¾БИНОМ. Лаборатория знаний¿, авторы
М.И.Шабунин, Е.С. Половинкин и М.И.Карлов [11]. Этот сборник задач содержит не только большое количество задач по
курсу ТФКП, но также формулировки основных теорем курса
и решения многих наиболее типичных задач.
Первое издание книги вышло в 1999 году. Во втором издании (2003 год) и настоящем третьем издании устранены опечатки и сделаны небольшие изменения в доказательствах некоторых теорем.
Считаю своим долгом выразить признательность своим
коллегам  профессорам А. А. Болибруху, В. В. Горяйнову,
В. К. Захарову, В. Б. Лидскому, Б. В. Пальцеву, Ю. В. Сидорову, М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву за полезные обсуждения
первого и второго издания книги, а также выражаю большую
благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке рукописи первого и второго издания к печати. Особую признательность выражаю моим слушателям  студентам физтеха, которые помогли исправить опечатки в первом издании и сделали
ряд интересных замечаний по данному курсу лекций.
8

Ÿ 1. Комплексные числа
Ÿ 1. Комплексные числа
Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство
R2, состоящее из векторов z = (x,y) с двумя действительными компонентами x, y, в котором как обычно заданы
0)
равенство векторов (покомпонентное), т.е. z1 = z2 ⇔
⇔x1 = x2, y1 = y2
1) операция сложения векторов
z1 + z2 = (x1 + x2,y1 + y2),
где zk = (xk,yk), k ∈1,2;
2) операция умножения вектора z на действительное число
λ:
λz = (λx,λy);
3) расстояние и норма:
ρ(z1,z2) = ∥z1 −z2∥=
(x1 −x2)2 + (y1 −y2)2.
p
Общие свойства приведенных выше операций Вам должны
быть хорошо известны из курса математического анализа.
Обозначим базисные векторы из R2 следующим образом:
1
△
= (1,0),
i
△
= (0,1).
(1)
В силу (1) всякий вектор z = (x,y) ∈R2 можно записать в
виде z = x · 1 + y · i, или проще: z = x + iy.
Теперь определим в R2 операцию произведения следующим
образом
z1z2
△
= (x1x2 −y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
(2)
где zk = xk + iyk.
Определение 1. Евклидово пространство R2, в котором
определено произведение по формуле (2), называется множеством (или пространством) комплексных чисел C. Элементы
множества C называются комплексными числами.
Комплексное число i называется мнимой единицей. В силу
определения произведения (2) получаем, что i2 = −1.
9

Е. С. Половинкин. ТФКП: лекции
Множество комплексных чисел вида x+i0 изоморфно множеству действительных чисел, так как взаимно однозначное
соответствие x+i0 →x сохраняется при выполнении операций
сложения и умножения. Поэтому мы не будем различать комплексное число x+i0 и действительное число x. Соответственно, x = Re z называется действительной (или: вещественной)
частью, а y = Im z  мнимой частью числа z = x + iy.
△
=
x2 + y2 называется модулем комплексноВеличина |z|
го числа z = x + iy.
p
Число z
△
= x−iy называется комплексно-сопряженным числом к числу z = x + iy.
Очевидно, что zz = |z|2.
Легко проверить справедливость следующих свойств:
1) z1z2 = z2z1 (коммутативность умножения),
2) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (ассоциативность умножения),
3) (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 (дистрибутивность),
4)
обратимость операции умножения (2), т. е. для любых
z1 ̸= 0 и z2 уравнение
z1z = z2
(3)
имеет, и притом единственное, решение, которое будем обозначать z
△
= z2/z1 и называть результатом деления числа z2 на
число z1.
Докажем последнее свойство. Уравнение (3) эквивалентно
x1x −y1y = x2,
y1x + x1y = y2.
(4)
в силу определения произведения (2) системе линейных уравнений
(
Определитель этой системы равен
∆=
1 + y2
1 = |z1|2 ̸= 0,
x1 −y1
y1
x1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = x2
т. е. по правилу Крамера решение системы (4) (т.е. уравнения (3)) существует и единственно.
10