Вейвлет-анализ и его приложения

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ

серия основана в 1 996 г.



Т.В. ЗАХАРОВА
О.В. ШЕСТАКОВ





ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

2-е издание, переработанное и дополненное



                       Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика» и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»



znanium.com

Москва ИНФРА-М 2023

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
      З38










      Захарова Т.В.
З38 Вейвлет-анализ и его приложения : учебное пособие / Т.В. Захарова, О.В. Шестаков. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 158 с. — (Высшее образование).

      ISBN 978-5-16-018171-4 (print)
      ISBN 978-5-16-111174-1 (online)

         В данном пособии изложены теоретические основы Фурье-анализа и вейвлет-анализа, рассмотрены практические аспекты использования вейвлет-преобразования для анализа и обработки сигналов и временных рядов. Приведены примеры использования вейвлет-анализа в задачах вычислительной томографии. Пособие содержит материал курса лекций, читаемого авторами студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова. Второе издание дополнено примерами и иллюстрациями.
         Для студентов и аспирантов университетов по специальностям «математика» и «прикладная математика и информатика».



УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73











ISBN 978-5-16-018171-4 (print)
ISBN 978-5-16-111174-1 (online)


© Захарова Т.В., Шестаков О.В., 2012

                Оглавление





   Введение                                           5

1  Основы Фурье-анализа                               7
   1.1. Ряды Фурье ................................. 10
   1.2. Преобразование Фурье и его основные свойства 26
   1.3. Линейные фильтры..................... 38
   1.4. Быстрое преобразование Фурье......... 42
   1.5. Окопное преобразование Фурье......... 45

2  Основы вейвлет-анализа                            51
   2.1. Вейвлеты Хаара....................... 52
   2.2. Алгоритмы разложения и реконструкции ....    56
   2.3. Кратпомасштабпый анализ.............. 60
   2.4. Общие процедуры разложения и реконструкции   66
   2.5. Построение масштабирующей функции .......... 68
   2.6. Примеры.............................. 74
   2.7. Многомерный кратпомасштабпый анализ  ....    80
   2.8. Непрерывное вейвлет-преобразование ......... 83
   2.9. Частотно-временная локализация....... 90
   2.10. Дискретное вейвлет-преобразование... 92

3  Применение вейвлетов для анализа и обработки
   сигн  алов                                        93
   3.1. Виды пороговой обработки.................... 96
   3.2. Методы выбора порога....................... 101
3.2.1.  Универсальный порог.............. 101

3

       3.2.2. SURE-порог ....................... 103
   3.3. Инвариантные относительно сдвига пороговые обработки, пороговые обработки вейвлет-коэффициептов ................................ 108
   3.4. Примеры использования вейвлетов для анализа кардиограмм................................... 115
   3.5. Другие примеры анализа временных рядов ... 119

4  Применение вейвлет-анализа в задачах вычислительной томографии                               127
   4.1. Задача вычислительной томографии........ 129
   4.2. Метод реконструкции..................... 133
   4.3. Нелокалыюсть преобразования Радона ....................................... 137
   4.4. Обращение преобразования Радона с помощью вейвлет-преобразовапия ....................... 140
   4.5. Кратпомасштабпая реконструкция.......... 147
   4.6. Регуляризация с помощью пороговой обработки вейвлет-коэффициентов......................... 150

Литература                                       155

4

                Введение





Вейвлет-апализ является относительно повой областью прикладной математики. Интерес к этой области, значительно возросший за последние десятилетия, объясняется тем, что вейвлет-апализ представляет собой удобный математический аппарат, способный решать те задачи, в которых применение традиционного Фурье-анализа оказывается неэффективным. Вейвлеты - это семейство функций, которые получаются из одной функции посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Все вейвлет-преобразовапия рассматривают любую функцию в виде разложения па колебания, локализованные по времени и частоте. Это и является причиной нередкой замены ими обычного преобразования Фурье, которое не имеет локальности во временной области. В то время как Фурье-анализ традиционно используется для анализа и обработки стационарных сигналов, вейвлет-апализ применяется для анализа и обработки нестационарных сигналов.
   Вейвлет-преобразовапия в настоящее время приняты па вооружение в самых разнообразных областях. Вейвлет-апализ применяется в молекулярной динамике, сейсмической геофизике, оптике, физике плазмы, квантовой механике, вычислительной томографии, компьютерной графике, при распознавании речи, обработке изображений, анализе кровяного давления, пульса и ЭКГ, при исследовании климата и т.д.
   В настоящей книге мы постарались изложить основы современной теории вейвлет-анализ а наиболее доступным язы

5

ком. Книга написана по материалам спецкурса, читаемого авторами для студентов старших курсов факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

   Первая глава книги посвящена изучению основ Фурье-анализа и возможностей его применения для анализа и обработки сигналов и изображений. Во второй вводится понятие вейвлетов, кратпомасштабпого анализа, вейвлет-преобразовапия и изучаются их свойства. В третьей главе описывается применение вейвлет-апализа, обсуждаются его преимущества при обработке сигналов, рассматриваются различные виды пороговой обработки и приводятся примеры анализа и обработки конкретных временных рядов. Четвертая глава посвящена задачам вычислительной томографии и их решению методами вейвлет-апализа.

6

Глава 1





                Основы Фурье-анализа





Фурье-апализ является мощным аналитическим инструментом, применяемым в различных научных областях при исследовании стационарных колебательных процессов и явлений. При помощи Фурье-анализа пространственная или временная функция раскладывается па синусоидальные составляющие, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и фазу.
   Сфера применения Фурье-анализ а очень широка. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях он позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.
   Автоматические межпланетные станции и искусственные спутники Земли передают информацию па Землю в виде последовательностей радиоимпульсов. Компьютеры обрабатывают эти импульсы с помощью методов Фурье-анализа. При этом компьютер модулирует отдельные компоненты каждого преобразования, чтобы четче выделить одни особенности и устранить другие, аналогично тому, как с помощью преобразования Фурье устраняется шум из сигнала музыкальной записи. В ко
7

печном итоге измененные таким образом данные опять преобразуются к исходной форме, и тем самым восстанавливается изображение. При помощи описанного процесса можно резче сфокусировать изображение, отфильтровать туманный фон и отрегулировать контрастность.
   Преобразование Фурье также играет очень важную роль в физике плазмы и полупроводниковых материалов, микроволновой акустике, сейсмологии, океанографии, радиолокации и медицинских обследованиях. Среди многочисленных приложений в химии можно назвать использование преобразования Фурье в спектрометрическом анализе. Часто эти преобразования применяются и в биологии.
   Используя идею о представлении исходной функции в виде суммы отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид), удобно исследовать стационарные процессы и обрабатывать стационарные сигналы.

   Пусть функция f (x) определена на отрезке [—п,п]. Тригонометрическим разложением функции называется сумма вида

                     <х>
а о + ^( aₖ cos kx + bₖ sin kx).
                    k=1
Такое разложение часто применяется па практике. Например, представление сигнала f (t) тригонометрической суммой позволяет определить частоты сигнала. Синусоида sin(kt) является периодической функцией с минимальным периодом 2n/k и частотой k (т.е. эта синусоида имеет k колебаний на отрезке [—п,п D   Предположим, что сигнал задается функцией

3 sin 21 + cos 41 — 40 sin 71 + 5 sin 2001,

тогда on содержит волны с частотами 2, 4, 7 и 200. И, судя по размеру коэффициентов, можно сказать, что частота 7 доминирует над остальными частотами (рис.1.1).


8

Рис. 1.1: пример сигнала

   Отметим, что для звукового сигнала волна с частотой 200 песет помехи типа шипения и свиста. Это - так называемый высокочастотный шум. Задача удаления высокочастотного шума является одной из самых важных при обработке сигнала. При этом сигнал f (t) раскладывают в тригонометрический ряд

<х>
f ⁽t) = а о + (aₖ cos kt + bₖ sin kt),
k=1

а затем высокочастотные коэффициенты ak и bk (при больших значениях k) приравнивают к нулю.
   В приведенном выше примере, удалив из сигнала волновую компоненту с частотой 200, мы получим гладкий сигнал, изображенный па рис. 1.2.
   Еще одной важной задачей является задача сжатия данных


9

г



-10

-50 0

0.5

1.5

2.5

3.5





— ■

1

2

3

t

Рис. 1.2: сигнал без шума



для передачи сигнала с наименьшими затратами. Для этого сигнал f также раскладывают в тригонометрический ряд, а потом пересылаются только те коэффициенты ak и bk, которые больше, чем некоторое определенное значение. Коэффициенты, меньшие этого значения, не сильно влияют па величину сигнала и поэтому могут быть отброшены, причем число больших коэффициентов всегда конечно, так как в силу леммы Римана-Лебега ak и bk стремятся к нулю при k ^ ж.
   Изучение методов Фурье-анализ а начнем с понятия ряда Фурье.



            1.1. Ряды Фурье


Пусть задано евклидово пространство, элементами которого являются квадратично интегрируемые функции па отрезке [a, b]. Скалярное произведение на нем задается в соответствии со следующим определением.
   Определение. Скалярным произведением (f,g)L2 функ

10