Вейвлет-анализ и его приложения

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ 
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Рекомендовано 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика» 
и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»

Москва
ИНФРА-М
2023

Т.В. ЗАХАРОВА
О.В. ШЕСТАКОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

2-е издание, переработанное и дополненное

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
 
З38

Захарова Т.В.
Вейвлет-анализ и его приложения : учебное пособие / 
Т.В. Захарова, О.В. Шестаков. — 2-е изд., перераб. и доп. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 158 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-018171-4 (print)
ISBN 978-5-16-111174-1 (online)

В данном пособии изложены теоретические основы Фурье-анализа 
и вейв лет-анализа, рассмотрены практические аспекты использования 
вейвлет-преобразования для анализа и обработки сигналов и времен-
ных рядов. Приведены примеры использования вейвлет-анализа в за-
дачах вычислительной томографии. Пособие содержит материал кур-
са лекций, читаемого авторами студентам факультета вычислительной 
математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова. Второе 
издание дополнено примерами и иллюстрациями.
Для студентов и аспирантов университетов по специальностям 
«математика» и «прикладная математика и информатика».

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73

З38

© Захарова Т.В.,
     Шестаков О.В., 2012
ISBN 978-5-16-018171-4 (print)
ISBN 978-5-16-111174-1 (online)

!"#$%"#

&'#()*%%+#,)-$."+*%%+#)-/.%+)0 
01)%)-
2"3"453)%+46%3"4&"%41"7"

!"
#$%&' ' &%% (
()*%&%+, '-

#.//%-
#0*!#1&'
23
##45&' 2%56
&'
##(7%8' *!' #3
#92*'&!' %56 !(#

!"#$$% $!$!"&$!&'"#(#!!"!")&"$$ "$"$&"'*+)"&,

!"#$ %##&' #((#(&''
'(#'(##$'' )'#(&$"(($#)) ' (() #(()*)+"#)' $
'#,

!"! # $% &"$"!!''&% &&!"&&"'!(")!! )! *!!'! '!"&&&! $&% +

!"!!#"$%&!'( !!!!f(x) [−π, π])!a0 +

∞
k=1
(ak cos kx + bk sin kx).

)*f(t) #sin(kt) !2π/k k '%k [−π, π](!3 sin 2t + cos 4t − 40 sin 7t + 5 sin 200t,

+,- +..&%!- '//(0

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

 

 

!!!"
!#!!$!%%&'f(t) !(f(t) = a0 +

∞
k=1
(ak cos kt + bk sin kt),

!!'))*! ak bk +%,k- ((. !(
! %"
$!/0$$!1

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50
50

f ! " ##$ak bk" %
" &##%
$" " %
" ' ##$" %(ak bk k → ∞)*%*+" #$[a, b],-,⟨f, g⟩L2 #%

.

f g L2([a, b]) ⟨f, g⟩L2 =

b
a
f(x)g(x)dx.

⟨f, g⟩ [−π, π]!f f(x) = a0 +

∞
k=1
(ak cos kx + bk sin kx),
(1.1)

ak bk "!f# $%& '$%()

1
π

π
−π
cos nx cos kxdx =

⎧
⎪
⎨

⎪
⎩

1, n = k ⩾ 1
2, n = k = 0
0, & &(1.2)

1
π

π
−π
sin nx sin kxdx =

1, n = k ⩾ 1
0, & &(1.3)

1
π

π
−π
cos nx sin kxdx = 0 & & n, k.
(1.4)

*1
√

2π, cos x
√π , sin x
√π , . . . , cos nx
√π , sin nx
√π , . . .

++

L2 [−π, π]!"

cos((n + k)x) = cos nx cos kx − sin nx sin kx,
(1.5)

cos((n − k)x) = cos nx cos kx + sin nx sin kx.
(1.6)

#$%&' (π
−π
cos nx cos kxdx = 1

2

π
−π
(cos((n + k)x) + cos((n − k)x))dx.

)' n ̸= k'

π
−π
cos nx cos kxdx =

= 1

2

sin(n + k)x

n + k
+ sin(n − k)x

n − k

π

−π
= 0.

*n = k ⩾ 1'

1
π

π
−π
cos2 nxdx = 1

2π

π
−π
(1 + cos 2nx)dx = 1.

*n = k = 0' 1
π

π
−π
1dx = 2,

+%(' (,-%' #.(%%cos nx sin kx
k > 0