Вейвлет-анализ и его приложения

Т.В. ЗАХАРОВА
О.В. ШЕСТАКОВ
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ 
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Второе издание, переработанное и дополненное
Рекомендовано 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика» 
и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика»
Москва
ИНФРА-М
2021

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
 
З38
З38
Захарова Т.В.
Вейвлет-анализ и его приложения : учебное пособие / 
Т
.В. Захарова, О.В. Шестаков. — 2-е изд., перераб. и доп. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 158 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-005056-0
В данном пособии изложены теоретические основы Фурье-анализа и вейвлет-анализа, рассмотрены практические аспекты использования вейвлетпреобразования для анализа и обработки сигналов и временных рядов. 
Приведены примеры использования вейвлет-анализа в задачах вычислительной томографии. Пособие содержит материал курса лекций, читаемого авторами студентам факультета вычислительной математики и кибернетики 
МГУ имени М.В. Ломоносова. Второе издание дополнено примерами и иллюстрациями.
Для студентов и аспирантов университетов по специальностям «математика» и «прикладная математика и информатика».
УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
© Т
.В. Захарова, О.В. Шестаков, 2012
ISBN 978-5-16-005056-0

Оглавление
Введение
5
1
Основы Фурье-анализа
7
1.1. Ряды Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2. Преобразование Фурье и его основные свойства
26
1.3. Линейные фильтры . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.4. Быстрое преобразование Фурье . . . . . . . . . .
42
1.5. Оконное преобразование Фурье . . . . . . . . . .
45
2
Основы вейвлет-анализа
51
2.1. Вейвлеты Хаара . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.2. Алгоритмы разложения и реконструкции
. . . .
56
2.3. Кратномасштабный анализ . . . . . . . . . . . . .
60
2.4. Общие процедуры разложения и реконструкции
66
2.5. Построение масштабирующей функции
. . . . .
68
2.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.7. Многомерный кратномасштабный анализ . . . .
80
2.8. Непрерывное вейвлет-преобразование
. . . . . .
83
2.9. Частотно-временная локализация . . . . . . . . .
90
2.10. Дискретное вейвлет-преобразование
. . . . . . .
92
3
Применение вейвлетов для анализа и обработки
сигналов
93
3.1. Виды пороговой обработки . . . . . . . . . . . . .
96
3.2. Методы выбора порога . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.2.1.
Универсальный порог . . . . . . . . . . . .
101
3

3.2.2.
SURE-порог
. . . . . . . . . . . . . . . . .
103
3.3. Инвариантные относительно сдвига пороговые
обработки,
пороговые
обработки
вейвлеткоэффициентов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
3.4. Примеры использования вейвлетов для анализа
кардиограмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
3.5. Другие примеры анализа временн

ых рядов . . .
119
4
Применение вейвлет-анализа в задачах вычислительной томографии
127
4.1. Задача вычислительной томографии . . . . . . .
129
4.2. Метод реконструкции . . . . . . . . . . . . . . . .
133
4.3. Нелокальность преобразования
Радона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
4.4. Обращение преобразования Радона с помощью
вейвлет-преобразования
. . . . . . . . . . . . . .
140
4.5. Кратномасштабная реконструкция . . . . . . . .
147
4.6. Регуляризация с помощью пороговой обработки
вейвлет-коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . .
150
Литература
155
4

Введение
Вейвлет-анализ является относительно новой областью прикладной математики. Интерес к этой области, значительно
возросший за последние десятилетия, объясняется тем, что
вейвлет-анализ представляет собой удобный математический
аппарат, способный решать те задачи, в которых применение
традиционного Фурье-анализа оказывается неэффективным.
Вейвлеты  это семейство функций, которые получаются из
одной функции посредством ее сдвигов и растяжений по оси
времени. Все вейвлет-преобразования рассматривают любую
функцию в виде разложения на колебания, локализованные по
времени и частоте. Это и является причиной нередкой замены
ими обычного преобразования Фурье, которое не имеет локальности во временн

ой области. В то время как Фурье-анализ традиционно используется для анализа и обработки стационарных
сигналов, вейвлет-анализ применяется для анализа и обработки нестационарных сигналов.
Вейвлет-преобразования в настоящее время приняты на вооружение в самых разнообразных областях. Вейвлет-анализ
применяется в молекулярной динамике, сейсмической геофизике, оптике, физике плазмы, квантовой механике, вычислительной томографии, компьютерной графике, при распознавании речи, обработке изображений, анализе кровяного давления, пульса и ЭКГ, при исследовании климата и т.д.
В настоящей книге мы постарались изложить основы современной теории вейвлет-анализа наиболее доступным язы5

ком. Книга написана по материалам спецкурса, читаемого авторами для студентов старших курсов факультета ВМК МГУ
имени М.В. Ломоносова.
Первая глава книги посвящена изучению основ Фурьеанализа и возможностей его применения для анализа и
обработки
сигналов
и
изображений.
Во
второй
вводится понятие вейвлетов, кратномасштабного анализа, вейвлетпреобразования и изучаются их свойства. В третьей главе описывается применение вейвлет-анализа, обсуждаются его преимущества при обработке сигналов, рассматриваются различные виды пороговой обработки и приводятся примеры анализа
и обработки конкретных временн

ых рядов. Четвертая глава посвящена задачам вычислительной томографии и их решению
методами вейвлет-анализа.
6

Глава 1
Основы Фурье-анализа
Фурье-анализ является мощным аналитическим инструментом, применяемым в различных научных областях при исследовании стационарных колебательных процессов и явлений.
При помощи Фурье-анализа пространственная или временн

ая
функция раскладывается на синусоидальные составляющие,
каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и фазу.
Сфера применения Фурье-анализа очень широка. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях он позволяет
выделять регулярные составляющие в сложном колебательном
сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать
экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.
Автоматические межпланетные станции и искусственные
спутники Земли передают информацию на Землю в виде последовательностей радиоимпульсов. Компьютеры обрабатывают эти импульсы с помощью методов Фурье-анализа. При этом
компьютер модулирует отдельные компоненты каждого преобразования, чтобы четче выделить одни особенности и устранить другие, аналогично тому, как с помощью преобразования
Фурье устраняется шум из сигнала музыкальной записи. В ко7

нечном итоге измененные таким образом данные опять преобразуются к исходной форме, и тем самым восстанавливается
изображение. При помощи описанного процесса можно резче
сфокусировать изображение, отфильтровать туманный фон и
отрегулировать контрастность.
Преобразование Фурье также играет очень важную роль в
физике плазмы и полупроводниковых материалов, микроволновой акустике, сейсмологии, океанографии, радиолокации и
медицинских обследованиях. Среди многочисленных приложений в химии можно назвать использование преобразования Фурье в спектрометрическом анализе. Часто эти преобразования
применяются и в биологии.
Используя идею о представлении исходной функции в виде суммы отдельных гармонических составляющих (синусоид
и косинусоид), удобно исследовать стационарные процессы и
обрабатывать стационарные сигналы.
Пусть функция f(x) определена на отрезке [−π, π]. Тригонометрическим разложением функции называется сумма вида
a0 +
(ak cos kx + bk sin kx).
k=1
∞
∑
Такое разложение часто применяется на практике. Например,
представление сигнала f(t) тригонометрической суммой позволяет определить частоты сигнала. Синусоида sin(kt) является периодической функцией с минимальным периодом 2π/k и
частотой k (т.е. эта синусоида имеет k колебаний на отрезке
[−π, π]).
Предположим, что сигнал задается функцией
3 sin 2t + cos 4t −40 sin 7t + 5 sin 200t,
тогда он содержит волны с частотами 2, 4, 7 и 200. И, судя по
размеру коэффициентов, можно сказать, что частота 7 доминирует над остальными частотами (рис.1.1).
8

40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
 
0  
0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50
Рис. 1.1: пример сигнала
Отметим, что для звукового сигнала волна с частотой 200
несет помехи типа шипения и свиста. Это  так называемый высокочастотный шум. Задача удаления высокочастотного шума
является одной из самых важных при обработке сигнала. При
этом сигнал f(t) раскладывают в тригонометрический ряд
f(t) = a0 +
(ak cos kt + bk sin kt),
k=1
∞
∑
и затем высокочастотные коэффициенты ak и bk (при больших
значениях k) приравнивают к нулю.
В приведенном выше примере, удалив из сигнала волновую
компоненту с частотой 200, мы получим гладкий сигнал, изображенный на рис.1.2.
Еще одной важной задачей является задача сжатия данных
9

50
40
30
20
10
0
−10
−20
−30
−40
0  
0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50
Рис. 1.2: сигнал без шума
для передачи сигнала с наименьшими затратами. Для этого
сигнал f также раскладывают в тригонометрический ряд, а
потом пересылаются только те коэффициенты ak и bk, которые больше, чем некоторое определенное значение. Коэффициенты, меньшие этого значения, не сильно влияют на величину сигнала и поэтому могут быть отброшены, причем число
больших коэффициентов всегда конечно, так как в силу леммы
Римана-Лебега ak и bk стремятся к нулю при k →∞.
Изучение методов Фурье-анализа начнем с понятия ряда
Фурье.
1.1.
Ряды Фурье
Пусть задано евклидово пространство, элементами которого
являются квадратично интегрируемые функции на отрезке
[a, b]. Скалярное произведение на нем задается в соответствии
со следующим определением.
Определение. Скалярным произведением ⟨f, g⟩L2 функ10