Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры решения

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ

ТЕОРИЯ, 

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ,  
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

Москва 
РИОР

ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

С.Г. СИДОРИН
Ф.С. ХАЙРУЛЛИН

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по техническим направлениям подготовки

Второе издание

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73
 
С34

Сидорин С.Г., Хайруллин Ф.С.

Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры ре-

шения : учебное пособие / С.Г. Сидорин, Ф.С. Хайруллин. — 2-е изд. — 
Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2023. — 191 с. — (Высшее образова-
ние). — DOI: https://doi.org/10.29039/01916-0

ISBN 978-5-369-01916-0 (РИОР)
ISBN 978-5-16-018056-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-111068-3 (ИНФРА-М, online)
Кратко излагаются основные теоретические положения, необходимые сту-

денту для актуализации знаний, а также для самостоятельного изучения дис-
циплины «Сопротивление материалов». Разбираются решения типовых те-
стовых заданий. Приводятся тестовые задания для самостоятельного решения 
при подготовке к контрольным работам, экзаменам, а также к контролю 
остаточных знаний.

Содержание пособия соответствует Государственным образовательным 

стандартам и программам учебной дисциплины «Сопротивление материа-
лов». Книга также может быть использована при изучении дисциплин «При-
кладная механика», «Техническая механика», при проведении практических 
занятий и для самостоятельной работы студентов всех форм обучения.

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73

С34

ISBN 978-5-369-01916-0 (РИОР) 
ISBN 978-5-16-018056-4 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-111068-3 (ИНФРА-М, online)

А в т о р ы :
Сидорин С.Г. — канд. техн. наук, доцент кафедры теоретической механики 

и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский 
технологический университет. Автор более 90 печатных работ, в том числе двух 
учебников и более 10 учебных пособий по прикладной механике и сопротивле-
нию материалов;

Хайруллин Ф.С. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической 

механики и сопротивления материалов, Казанский национальный исследова-
тельский технологический университет. Автор более 100 печатных работ, в том 
числе одной монографии, 8 учебных пособий по сопротивлению материалов

Р е ц е н з е н т ы :
Лашков В.А. — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Машино-

ведение» Казанского национального исследовательского технологического уни-
верситета;

Мингалеев Н.З. — д-р техн. наук, профессор кафедры «Общеинженерные дис-

циплины» Казанского государственного аграрного университета

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

©  Сидорин С.Г., 

Хайруллин Ф.С.

Предисловие

Введение новых методов обучения, в частности онлайн-обуче- 

ния, цифровых методов обучения, требует совершенствования ме-
тодов оценки знаний студентов. Для этих методов использование 
традиционных способов оценивания знаний студентов не всегда 
рацио нально, а иногда и невозможно.

В настоящее время получил широкое применение способ тесто-

вого контроля знаний студентов, который можно использовать как 
при контактном способе работы со студентами, так и при дистанци-
онном. Опыт его использования показал высокую эффективность 
и объективность в оценке знаний в системе высшего образования.

В пособии излагаются основные разделы учебной дисциплины 

«Сопротивление материалов». Разбираются решения типичных те-
стовых заданий. Приводятся тестовые задания для самостоятель-
ного решения.

Пособие предназначено для студентов для изучения теоретиче-

ского материала, при подготовке к выполнению контрольных работ 
и расчетно-графических работ, а также при подготовке к сдаче экзаменов.

Раздел 1.  

ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ

1. Основные понятия

Сопротивление материалов — это наука об инженерных методах 

расчета элемен тов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость 
при обеспечении необходимой долговечности и экономичности.


Прочность — это способность конструкции сопротивляться разрушению 
при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость — способность конструкции сопротивляться деформации.


Устойчивость — свойство системы сохранять свое начальное 

равновесное положение при внешних воздействиях.

Долговечность — способность элемента конструкции сохранять 

необходимые эксплуатационные свойства в течение определенного 
срока.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Материалы считаются:
1) однородными: свойства материала одинаковы во всех точках 

тела;

2) сплошными: свойства материала не зависят от размеров тела 

и не имеют трещин и пустот;

3) изотропными: механические свойства материала одинаковы 

во всех направлениях. Анизотропными называются материалы, 
свойства которых в разных направлениях различны (например, 
древесина);

4) деформируемыми: тела изменяют свои первоначальные размеры 
и форму под действием сил. Деформации прямо пропорциональны 
усилию, то есть подчиняются закону Гука. Деформации 
считаются малыми, если они малы по сравнению с соответствующими 
размерами деформируемого тела;

5) упругими: тела восстанавливают свои первоначальные форму 

и размеры после снятия нагрузки. Тела предполагаются абсолютно 
упругими.

Расчетные принципы:
1) принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). 

Результат совместного воздействия нескольких сил равен сумме результатов 
воздействия каждой из них в отдельности и любом порядке;

2) принцип Сен-Венана (принцип локальности). На достаточном 

удалении от места приложения нагрузки деформация тела мало зависит 
от конкретного способа осуществления этой нагрузки;

3) гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные 

сечения бруса плоские и нормальные к оси бруса до приложения 
к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси 
при действии нагрузки.

Элемен ты конструкций в зависимости от их размеров и формы 

следующие.

Брус — тело, у которого один геометрический размер намного 

больше двух других. Брус, на который действует растягивающая 
или сжимающая сила, называют стержнем. Если брус подверга-
ется действию изгибающей нагрузки, то его называют балкой, если 
скручивающей, то — валом.

Оболочка — тело, ограниченное двумя криволинейными повер-

хностями, расстояние между которыми мало по сравнению с дру-
гими размерами.

Пластина — тело, ограниченное двумя плоскими поверхно-

стями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими 
размерами.

Массив — тело, все размеры которого сравнимы по величине.
Силы по отношению к телу могут быть внешними или внутрен-

ними.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия тела 

с другими телами.

Внутренние силы — это силы взаимодействия между частицами 

тела, возникающие в результате действия внешних сил.

МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Для определения внутренних сил (внутренних силовых фак-

торов) необходимо сделать следующее.

1. Рассечь тело поперечным сечением в том месте, где опреде-

ляются внутренние силы (рис. 1).

2. Отбросить какую-либо из полученных частей тела.

F1 

F2 

F3

Fn  

 

 

 

 

 

x 
Mx 

Qx 

N 
o 
Т 

y 

Qy 

My 
F3 

Fn 
z 

Рис. 1

3. Заменить действие отброшенной части внутренними сило-

выми факторами (внутренними усилиями):

N — продольная сила;
Qx, Qy — поперечные силы;
T — крутящий момент;
Mx, My — изгибающие момен ты.
4. Уравновесить систему сил, действующую на рассматри-

ваемую часть тела, записав уравнения равновесия:

 
∑
=
∑
=
0,0,ix
ix
F
m
 

 
∑
=
∑
=
0,0,iy
iy
F
m
 

 
∑
=
∑
=
0,0.iz
iz
F
m
 

Из этих уравнений находим внутренние силовые факторы.
Метод сечений также иногда называют методом РОЗУ (по на-

чальным буквам основных действий метода).

Для наглядного представления и распределения внутренних си-

ловых факторов по длине стержня строят графики, которые назы-
вают также эпюрами.

Внутренние силы (усилия) являются равнодействующими вну-

тренних напряжений, возникающих в материале.

Напряжение — это интенсивность внутренних сил, т.е. это вну-

тренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела.

 

∆ →
∆
=
∆
0
lim
,
A
R
p
A  

где ∆А — элемент площади поперечного сечения стержня; ∆R — рав-
нодействующая внутренних сил, действующих на площадке ∆А 
(рис. 2).

y

p
R

z 

z 
∆A 

x 

τ

α
σ

zy 

τz 

τzx 

∆
 

Рис. 2

Интенсивность нормальных к сечению внутренних сил называ-

ется нормальным напряжением σ, интенсивность внутренних сил, 
лежащих в плоскости сечения, называется касательным напряже-
нием τ. Нормальное и касательное напряжения являются составля-
ющими полного напряжения p, т.е. 
=
σ + τ
2
2.
p
 На рис. 2 показаны 

напряжения в соответствии с принятой системой обозначения:
σ—z
нормальное напряжение действует вдоль оси z, τz — в плос-

кости перпендикулярной оси z.

Касательное напряжение τz обыч но раскладывают на состав-

ляющие τzx и τzy, направленные по координатным осям.

2. Центральные растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид на-

гружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует 
только один внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Для определения продольной силы стержень, показанный 

на рис. 3, разбивается на два участка. Для каждого участка методом 
сечения определяется продольная сила и строится эпюра про-
дольной силы N.

Участок 1: ≤
≤
1
0
.
z
a

∑
=
−
=
1
0 :2
0,
zF
N
F

=
1
2 ;
N
F

Участок 2: ≤
≤
2
2 .
a
z
a

∑
=
−
+
=
2
0 :2
3
0,
zF
N
F
F

=
−
= −
2
2
3
.
N
F
F
F

2F 
3F

а  
а  

F 

 

N1  
2F  

N2
3F  

2F  

z1 

 

z 

z 

z 

 
 

 
 

2F

 

 
 

 

 

 

z2
 

 

 
ЭN

 

Рис. 3

Нормальное напряжение при растяжении определяется по фор-

муле: 

 
σ =
,
N
A

где N — продольная сила, измеряется в ньютонах [Н]; A — площадь 
поперечного сечения стержня [м 2]; σ — нормальное напряжение, 

измеряется в паскалях [Па]. 1Па = 1Н/м 2, 1 · 106 Па = 1МПа = 
= 1 Н/мм 2).

Относительная продольная деформация при растяжении опре-

деляется по формуле:

 
∆
ε =
,l
l

где ∆l — удлинение стержня [м] (абсолютная продольная дефор-
мация); l — длина стержня [м].

Закон Гука при растяжении: относительная продольная дефор-

мация прямо пропорцио нальна нормальному напряжению

 
σ =
ε
,
E

где Е — модуль упругости материала (модуль упругости 1-го рода 
или модуль Юнга) [МПа].

Удлинение стержня, вычисленное по закону Гука, равно:

 
∆ =
,
Nl
l
EA  

где EА называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).

Если продольная сила или поперечное сечение стержня непосто-

янны по длине стержня, то удлинение стержня находится по фор-
муле:

 
( )
( )

∆ = ∫0
.

l N z
l
dz
EA z
 

ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Для определения механических характеристик материала проводятся 
лабораторные испытания образцов из этих материалов 
на различные виды деформации (растяжение, сжатие, кручение 
и другие). В результате испытания на растяжение получается 
график зависимости величины растягивающей силы F от удлинения 
образца ∆l, который называется машинная диаграмма растяжения (
рис. 4). По машинной диаграмме строится условная диаграмма 
растяжения, связывающая деформацию ε и напряжение σ.

Механические характеристики материала делятся на три 

группы: характеристики прочности, характеристики пластичности 
и характеристики упругости материала.

Характеристики прочности — это напряжения, показывающие 

способность материала сопротивляться разрушению:

 
• предел пропорцио нальности σ =
п
п

0

F
A  — максимальное напряжение, 
при котором деформации образца прямо пропорциональны 
действующей нагрузке;

 
• предел упругости σ =
у
у

0
—F

A
 максимальное напряжение, при котором 
в образце возникают только упругие деформации;

 
• предел текучести σ =
т
т

0

F
A  — напряжение, при котором деформация 
образца происходит без заметного увеличения нагрузки;

 
• предел прочности (временное сопротивление) σ =
в
в

0
F
A  — макси-

мальное напряжение на диаграмме растяжения;

 
• истинное сопротивление разрыву σ =
р
р

ш

F

A  — напряжение, при ко-

тором происходит разрушение образца,

где 
0A  — начальная площадь поперечного сечения образца; 
ш
A  — 

площадь поперечного сечения шейки.

Опасным напряжением для пластичных материалов считается 

предел текучести, для хрупких материалов — предел прочности.

На рис. 5 приводятся диаграммы растяжения и сжатия пластич-

ного материала — малоуглеродистой стали, на рис. 6 — диаграммы 
растяжения и сжатия хрупкого материала.

Пластичные материалы имеют равные пределы текучести 

при растяжении и сжатии, по это му σ = σ
= σ
o
тр
тс  (рис. 5). Хрупкие 

материалы, например чугун, лучше сопротивляются сжатию, чем 
растяжению σ
> σ
вс
вр (рис. 6), по это му опасные напряжения 

на растяжение и сжатие у них разные.

Характеристики пластичности — это величины, описывающие 

способность материала получать остаточные деформации после 
разрушения:

 
• относительное остаточное удлинение:

 
∆
δ =
0
100%,
рl

l
 

где 0
l  — начальная длина образца; ∆
p
l — удлинение образца после 

разрыва.

 
• относительное остаточное поперечное сужение: