Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры решения

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ

ТЕОРИЯ, 

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ,  
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

Москва 
РИОР

ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

С.Г. СИДОРИН
Ф.С. ХАЙРУЛЛИН

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по техническим направлениям подготовки

Второе издание

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73
 
С34

Сидорин С.Г., Хайруллин Ф.С.

Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры ре
шения : учебное пособие / С.Г. Сидорин, Ф.С. Хайруллин. — 2-е изд. — 
Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2023. — 191 с. — (Высшее образование). — DOI: https://doi.org/10.29039/01916-0

ISBN 978-5-369-01916-0 (РИОР)
ISBN 978-5-16-018056-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-111068-3 (ИНФРА-М, online)
Кратко излагаются основные теоретические положения, необходимые сту
денту для актуализации знаний, а также для самостоятельного изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Разбираются решения типовых тестовых заданий. Приводятся тестовые задания для самостоятельного решения 
при подготовке к контрольным работам, экзаменам, а также к контролю 
остаточных знаний.

Содержание пособия соответствует Государственным образовательным 

стандартам и программам учебной дисциплины «Сопротивление материалов». Книга также может быть использована при изучении дисциплин «Прикладная механика», «Техническая механика», при проведении практических 
занятий и для самостоятельной работы студентов всех форм обучения.

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73

С34

ISBN 978-5-369-01916-0 (РИОР) 
ISBN 978-5-16-018056-4 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-111068-3 (ИНФРА-М, online)

А в т о р ы :
Сидорин С.Г. — канд. техн. наук, доцент кафедры теоретической механики 

и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский 
технологический университет. Автор более 90 печатных работ, в том числе двух 
учебников и более 10 учебных пособий по прикладной механике и сопротивлению материалов;

Хайруллин Ф.С. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической 

механики и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский технологический университет. Автор более 100 печатных работ, в том 
числе одной монографии, 8 учебных пособий по сопротивлению материалов

Р е ц е н з е н т ы :
Лашков В.А. — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Машино
ведение» Казанского национального исследовательского технологического университета;

Мингалеев Н.З. — д-р техн. наук, профессор кафедры «Общеинженерные дис
циплины» Казанского государственного аграрного университета

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

©  Сидорин С.Г., 

Хайруллин Ф.С.

Предисловие

Введение новых методов обучения, в частности онлайн-обуче- 

ния, цифровых методов обучения, требует совершенствования методов оценки знаний студентов. Для этих методов использование 
традиционных способов оценивания знаний студентов не всегда 
рацио нально, а иногда и невозможно.

В настоящее время получил широкое применение способ тесто
вого контроля знаний студентов, который можно использовать как 
при контактном способе работы со студентами, так и при дистанционном. Опыт его использования показал высокую эффективность 
и объективность в оценке знаний в системе высшего образования.

В пособии излагаются основные разделы учебной дисциплины 

«Сопротивление материалов». Разбираются решения типичных тестовых заданий. Приводятся тестовые задания для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов для изучения теоретиче
ского материала, при подготовке к выполнению контрольных работ 
и расчетно-графических работ, а также при подготовке к сдаче экзаменов.

Раздел 1.  

ОСНОВЫ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ

1. Основные понятия

Сопротивление материалов — это наука об инженерных методах 

расчета элемен тов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при обеспечении необходимой долговечности и экономичности.

Прочность — это способность конструкции сопротивляться раз
рушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость — способность конструкции сопротивляться дефор
мации.

Устойчивость — свойство системы сохранять свое начальное 

равновесное положение при внешних воздействиях.

Долговечность — способность элемента конструкции сохранять 

необходимые эксплуатационные свойства в течение определенного 
срока.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Материалы считаются:
1) однородными: свойства материала одинаковы во всех точках 

тела;

2) сплошными: свойства материала не зависят от размеров тела 

и не имеют трещин и пустот;

3) изотропными: механические свойства материала одинаковы 

во всех направлениях. Анизотропными называются материалы, 
свойства которых в разных направлениях различны (например, 
древесина);

4) деформируемыми: тела изменяют свои первоначальные раз
меры и форму под действием сил. Деформации прямо пропорциональны усилию, то есть подчиняются закону Гука. Деформации 
считаются малыми, если они малы по сравнению с соответствующими размерами деформируемого тела;

5) упругими: тела восстанавливают свои первоначальные форму 

и размеры после снятия нагрузки. Тела предполагаются абсолютно 
упругими.

Расчетные принципы:
1) принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). 

Результат совместного воздействия нескольких сил равен сумме результатов воздействия каждой из них в отдельности и любом порядке;

2) принцип Сен-Венана (принцип локальности). На достаточном 

удалении от места приложения нагрузки деформация тела мало зависит от конкретного способа осуществления этой нагрузки;

3) гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные 

сечения бруса плоские и нормальные к оси бруса до приложения 
к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси 
при действии нагрузки.

Элемен ты конструкций в зависимости от их размеров и формы 

следующие.

Брус — тело, у которого один геометрический размер намного 

больше двух других. Брус, на который действует растягивающая 
или сжимающая сила, называют стержнем. Если брус подвергается действию изгибающей нагрузки, то его называют балкой, если 
скручивающей, то — валом.

Оболочка — тело, ограниченное двумя криволинейными повер
хностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами.

Пластина — тело, ограниченное двумя плоскими поверхно
стями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими 
размерами.

Массив — тело, все размеры которого сравнимы по величине.
Силы по отношению к телу могут быть внешними или внутрен
ними.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия тела 

с другими телами.

Внутренние силы — это силы взаимодействия между частицами 

тела, возникающие в результате действия внешних сил.

МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Для определения внутренних сил (внутренних силовых фак
торов) необходимо сделать следующее.

1. Рассечь тело поперечным сечением в том месте, где опреде
ляются внутренние силы (рис. 1).

2. Отбросить какую-либо из полученных частей тела.

F1 

F2 

F3

Fn  

 

 

 

 

 

x 
Mx 

Qx 

N 
o 
Т 

y 

Qy 

My 
F3 

Fn 
z 

Рис. 1

3. Заменить действие отброшенной части внутренними сило
выми факторами (внутренними усилиями):

N — продольная сила;
Qx, Qy — поперечные силы;
T — крутящий момент;
Mx, My — изгибающие момен ты.
4. Уравновесить систему сил, действующую на рассматри
ваемую часть тела, записав уравнения равновесия:

 
∑
=
∑
=
0,0,ix
ix
F
m
 

 
∑
=
∑
=
0,0,iy
iy
F
m
 

 
∑
=
∑
=
0,0.iz
iz
F
m
 

Из этих уравнений находим внутренние силовые факторы.
Метод сечений также иногда называют методом РОЗУ (по на
чальным буквам основных действий метода).

Для наглядного представления и распределения внутренних си
ловых факторов по длине стержня строят графики, которые называют также эпюрами.

Внутренние силы (усилия) являются равнодействующими вну
тренних напряжений, возникающих в материале.

Напряжение — это интенсивность внутренних сил, т.е. это вну
тренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела.

 

∆ →
∆
=
∆
0
lim
,
A
R
p
A  

где ∆А — элемент площади поперечного сечения стержня; ∆R — равнодействующая внутренних сил, действующих на площадке ∆А 
(рис. 2).

y

p
R

z 

z 
∆A 

x 

τ

α
σ

zy 

τz 

τzx 

∆
 

Рис. 2

Интенсивность нормальных к сечению внутренних сил называ
ется нормальным напряжением σ, интенсивность внутренних сил, 
лежащих в плоскости сечения, называется касательным напряжением τ. Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения p, т.е. 
=
σ + τ
2
2.
p
 На рис. 2 показаны 

напряжения в соответствии с принятой системой обозначения:
σ—z
нормальное напряжение действует вдоль оси z, τz — в плос
кости перпендикулярной оси z.

Касательное напряжение τz обыч но раскладывают на состав
ляющие τzx и τzy, направленные по координатным осям.

2. Центральные растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид на
гружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует 
только один внутренний силовой фактор — продольная сила N.

Для определения продольной силы стержень, показанный 

на рис. 3, разбивается на два участка. Для каждого участка методом 
сечения определяется продольная сила и строится эпюра продольной силы N.

Участок 1: ≤
≤
1
0
.
z
a

∑
=
−
=
1
0 :2
0,
zF
N
F

=
1
2 ;
N
F

Участок 2: ≤
≤
2
2 .
a
z
a

∑
=
−
+
=
2
0 :2
3
0,
zF
N
F
F

=
−
= −
2
2
3
.
N
F
F
F

2F 
3F

а  
а  

F 

 

N1  
2F  

N2
3F  

2F  

z1 

 

z 

z 

z 

 
 

 
 

2F

 

 
 

 

 

 

z2
 

 

 
ЭN

 

Рис. 3

Нормальное напряжение при растяжении определяется по фор
муле: 

 
σ =
,
N
A

где N — продольная сила, измеряется в ньютонах [Н]; A — площадь 
поперечного сечения стержня [м 2]; σ — нормальное напряжение, 

измеряется в паскалях [Па]. 1Па = 1Н/м 2, 1 · 106 Па = 1МПа = 
= 1 Н/мм 2).

Относительная продольная деформация при растяжении опре
деляется по формуле:

 
∆
ε =
,l
l

где ∆l — удлинение стержня [м] (абсолютная продольная деформация); l — длина стержня [м].

Закон Гука при растяжении: относительная продольная дефор
мация прямо пропорцио нальна нормальному напряжению

 
σ =
ε
,
E

где Е — модуль упругости материала (модуль упругости 1-го рода 
или модуль Юнга) [МПа].

Удлинение стержня, вычисленное по закону Гука, равно:

 
∆ =
,
Nl
l
EA  

где EА называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).

Если продольная сила или поперечное сечение стержня непосто
янны по длине стержня, то удлинение стержня находится по формуле:

 
( )
( )

∆ = ∫0
.

l N z
l
dz
EA z
 

ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Для определения механических характеристик материала про
водятся лабораторные испытания образцов из этих материалов 
на различные виды деформации (растяжение, сжатие, кручение 
и другие). В результате испытания на растяжение получается 
график зависимости величины растягивающей силы F от удлинения образца ∆l, который называется машинная диаграмма растяжения (рис. 4). По машинной диаграмме строится условная диаграмма растяжения, связывающая деформацию ε и напряжение σ.

Механические характеристики материала делятся на три 

группы: характеристики прочности, характеристики пластичности 
и характеристики упругости материала.

Характеристики прочности — это напряжения, показывающие 

способность материала сопротивляться разрушению:

 
• предел пропорцио нальности σ =
п
п

0

F
A  — максимальное напря
жение, при котором деформации образца прямо пропорциональны действующей нагрузке;

 
• предел упругости σ =
у
у

0
—F

A
 максимальное напряжение, при ко
тором в образце возникают только упругие деформации;

 
• предел текучести σ =
т
т

0

F
A  — напряжение, при котором дефор
мация образца происходит без заметного увеличения нагрузки;

 
• предел прочности (временное сопротивление) σ =
в
в

0
F
A  — макси
мальное напряжение на диаграмме растяжения;

 
• истинное сопротивление разрыву σ =
р
р

ш

F

A  — напряжение, при ко
тором происходит разрушение образца,

где 
0A  — начальная площадь поперечного сечения образца; 
ш
A  — 

площадь поперечного сечения шейки.

Опасным напряжением для пластичных материалов считается 

предел текучести, для хрупких материалов — предел прочности.

На рис. 5 приводятся диаграммы растяжения и сжатия пластич
ного материала — малоуглеродистой стали, на рис. 6 — диаграммы 
растяжения и сжатия хрупкого материала.

Пластичные материалы имеют равные пределы текучести 

при растяжении и сжатии, по это му σ = σ
= σ
o
тр
тс  (рис. 5). Хрупкие 

материалы, например чугун, лучше сопротивляются сжатию, чем 
растяжению σ
> σ
вс
вр (рис. 6), по это му опасные напряжения 

на растяжение и сжатие у них разные.

Характеристики пластичности — это величины, описывающие 

способность материала получать остаточные деформации после 
разрушения:

 
• относительное остаточное удлинение:

 
∆
δ =
0
100%,
рl

l
 

где 0
l  — начальная длина образца; ∆
p
l — удлинение образца после 

разрыва.

 
• относительное остаточное поперечное сужение: