Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры решения

СОПРОТИВЛЕНИЕ 

МАТЕРИАЛОВ

ТЕОРИЯ, 

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ,  
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

Москва 
РИОР

ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

С.Г. СИДОРИН
Ф.С. ХАЙРУЛЛИН

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по техническим направлениям подготовки

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73
 
С34

Сидорин С.Г., Хайруллин Ф.С.

Сопротивление материалов: теория, тестовые задания, примеры ре
шения : учебное пособие / С.Г. Сидорин, Ф.С. Хайруллин. — Москва : 
РИОР : ИНФРА-М, 2020. — 184 с. — (Высшее образование). — DOI: 
https://doi.org/10.12737/1694-7

ISBN 978-5-369-01694-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-013008-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105344-7 (ИНФРА-М, online)
Кратко излагаются основные теоретические положения, необходимые сту
денту для актуализации знаний, а также для самостоятельного изучения дисциплины «Сопротивление материалов». Разбираются решения типовых тестовых заданий. Приводятся тестовые задания для самостоятельного решения 
при подготовке к контрольным работам, экзаменам, а также к контролю 
остаточных знаний.

Содержание пособия соответствует Государственным образовательным 

стандартам и программам учебной дисциплины «Сопротивление материалов». Книга также может быть использована при изучении дисциплин «Прикладная механика», «Техническая механика», при проведении практических 
занятий и для самостоятельной работы студентов всех форм обучения.

УДК 539.3/8(075.8)
ББК 30.121я73

С34

ISBN 978-5-369-01694-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-013008-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105344-7 (ИНФРА-М, online)

А в т о р ы :
Сидорин С.Г. — канд. техн. наук, доцент кафедры теоретической механики 

и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский 
технологический университет. Автор более 90 печатных работ, в том числе двух 
учебников и более 10 учебных пособий по прикладной механике и сопротивлению материалов;

Хайруллин Ф.С. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической 

механики и сопротивления материалов, Казанский национальный исследовательский технологический университет. Автор более 100 печатных работ, в том 
числе одной монографии, 8 учебных пособий по сопротивлению материалов

Р е ц е н з е н т ы :
Лашков В.А. — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Машино
ведение» Казанского национального исследовательского технологического университета;

Мингалеев Н.З. — д-р техн. наук, профессор кафедры «Общеинженерные дис
циплины» Казанского государственного аграрного университета

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

©  Сидорин С.Г., 

Хайруллин Ф.С.

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Одной из важных задач образовательного процесса является совершенствование методов оценки достижений студентов в освоении 
знаний. Характерной чертой современного образования является значительное увеличение объема информации, который должен быть 
усвоен за время обучение. 
Традиционный способ оценивания знаний преподавателем имеет 
субъективный характер и ведется по весьма ограниченному перечню 
вопросов, поэтому развиваются различные новые способы оценивания 
знаний. 
Способ тестового контроля в настоящее время получил широкое 
признание. Опыт использования этого способа в зарубежных странах 
показал его высокую объективность и применимость в различных областях знаний, как точных, так и гуманитарных.  
В системе среднего и высшего образования метод тестирования 
принят как один из применяемых для оценки уровня остаточных знаний студентов. Поэтому внедрение формы тестового контроля в учебный процесс является актуальным и насущным. 
 
 

ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ 
И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ 

1. 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Сопротивление материалов – это наука об инженерных методах 
расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при обеспечении необходимой долговечности и экономичности. 
Прочность – это способность конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок). 
Жесткость – способность конструкции сопротивляться деформации. 
Устойчивость – свойство системы сохранять свое начальное равновесное положение при внешних воздействиях. 
Долговечность – способность элемента конструкции сохранять необходимые эксплуатационные свойства в течение определенного срока. 

Основные гипотезы сопротивления материалов 
Материалы считаются: 

1. Однородными. Однородный материал имеет одинаковые свойства во всех точках тела. 
2. Сплошными. Сплошные материалы не имеют трещин и пустот. 
Для них можно применить анализ бесконечно малых величин.  
3. Изотропными. Материал считается изотропным, если его механические свойства одинаковы во всех направлениях. Анизотропными 
называются материалы, свойства которых в разных направлениях различны (например, древесина). 
4. Деформируемыми. В сопротивлении материалов учитывается 
способность тела под действием сил изменять свои начальные размеры и форму, т.е. деформироваться. Деформации считаются малыми, 
если они малы по сравнению с соответствующими размерами деформируемого тела. 
5. Упругими. Упругостью называется свойство тел восстанавливать 
свои первоначальные форму и размеры после снятия нагрузки. Тела 
предполагаются абсолютно упругими.  

Расчетные принципы: 

1. Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). 
Результат совместного воздействия нескольких сил равен сумме результатов воздействия каждой из них в отдельности и любом порядке. 
2. Принцип Сен-Венана (принцип локальности). На достаточном 
удалении от места приложения нагрузки конкретный способ осуществления этой нагрузки можно не учитывать. 
3. Гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений). Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса, до приложения к 
нему нагрузки остаются плоскими и нормальными к его оси при действии нагрузки. 

Элементы конструкций в зависимости от их размеров и формы 
бывают такие: 

Брус – тело, у которого один геометрический размер значительно 
больше двух других. Брус, на который действует растягивающая или 
сжимающая сила, принято называть стержнем. Если брус подвергается действию изгибающей нагрузки, то его называют балкой, если 
скручивающей, то – валом. 
Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими 
размерами. 
Пластина – тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, 
расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. 
Массив – тело, все размеры которого сравнимы по величине. 

Силы по отношению к телу могут быть внешними или внутренними. 
Внешние силы возникают в результате взаимодействия тела с другими телами. 
Внутренние силы – это силы, возникающие между частицами тела 
в результате его деформации под действием внешних сил. 

Метод сечений 
Для определения внутренних сил (внутренних силовых факторов) 
следует: 

1. Рассечь тело поперечным сечением в том месте, где определяются внутренние силы (рис. 1). 

2. Отбросить какую-либо из полученных частей тела. 

3. Заменить действие отброшенной части  внутренними силовыми 
факторами (внутренними усилиями): 

N – продольная сила;  

Qx, Qy – поперечные силы;  

T – крутящий момент;  

Mx, My – изгибающие моменты. 

4. Уравновесить систему сил, действующую на рассматриваемую 
часть тела, записав уравнения равновесия: 

 

= 0, = 0, 

 

= 0, = 0, 

 

= 0, = 0.   

 

Из этих уравнений находим внутренние силовые 
факторы. 
Метод сечений также 
иногда называют методом 
РОЗУ (по начальным буквам основных действий метода). 
Для наглядного представления о распределении внутренних силовых факторов по длине стержня строят графики внутренних сил, которые называют эпюрами внутренних сил. 
Внутренние силы (усилия) являются равнодействующими внутренних напряжений, возникающих в материале. 
Напряжение – это интенсивность внутренних сил, т.е. это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела: 

F1 

F2 

F3 

Fn 

Рис. 1 

x
Mx

Qx 

N 
o
Т 

y 

Qy

My 
F3 

Fn

z 

= lim
∆→∆∆. 

 

Интенсивность нормальных к сечению внутренних сил называется нормальным напряжением σ; интенсивность внутренних сил, лежащих в 
плоскости сечения, называется касательным напряжением τ. Нормальное 
и касательное напряжения являются 
составляющими полного напряжения
p , т.е.  = √σ+ τ.  На рис. 2 показаны напряжения в соответствии с 
принятой системой обозначений: σ–
нормальное напряжение действует 
вдоль оси z; τ– в плоскости, перпендикулярной оси z. 

Касательное напряжение τобычно раскладывают на составляющие  τи  τ, направленные по координатным осям. 

2. 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид 
нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует 
только один внутренний силовой фактор – продольная сила N. 
Для определения продольной силы стержень, показанный на рис. 3, 
разбит на два участка. Для каждого участка методом сечения определяется продольная сила и по результатам построен график (эпюра) 
продольной силы N. 
 
Участок 1:  0 ≤ ≤ . 
 

= 0: − 2= 0, 

= 2; 
 

 
Участок  2: ≤ ≤ 2. 
 

= 0: − 2+ 3= 0, 

= 2− 3= −. 
 

Рис. 2 

y 

z 

σz 
ΔA 

x 

τzy 

τz

τzx 

∆α 

Нормальное напряжение 
при растяжении определяется 
по формуле: 

 

= , 

 

где N – продольная сила, измеряется в ньютонах [Н]; 
A  –  площадь поперечного 
сечения [м2]; 
  –  нормальное напряжение, измеряется в паскалях 
[Па].  
1 Па = 1 Н/м2, 1·106Па = 1 МПа = 
= 1 Н/мм2). 

 

Относительная продольная деформация при растяжении 

 

ε = ∆, 

 

где Δl – удлинение стержня [м] (абсолютная продольная деформация); 
 
l – длина стержня [м]. 

Закон Гука при растяжении: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению: 

 

σ = ε, 

 
где Е – модуль упругости материала (модуль упругости 1-го рода, или 
модуль Юнга) [МПа].  

Абсолютная деформация стержня, вычисленная по закону Гука: 

2F
3F

а 
а

Рис. 3

F

2F

N1 
2F

N2 
3F

2F

z1 

z2 

z 

z

z 
Эn.

∆= , 

 

где EА называется жесткостью стержня при растяжении (сжатии).  

Если продольная сила или поперечное сечение стержня непостоянны по длине стержня, то удлинение стержня находится по формуле 

 

∆= ()
()

. 

 

Испытание материалов на растяжение и сжатие 
Для определения механических характеристик материала проводятся 
испытания образцов из этих материалов на растяжение и сжатие, а также, 
при необходимости, и на другие виды деформации. В результате испытания получается график зависимости величины растягивающей силы F от 
удлинения образца Δl, которая называется машинной диаграммой растяжения (рис. 4). По машинной диаграмме строится  условная диаграмма растяжения, связывающая деформацию ε и напряжение σ. 
Механические характеристики материала делятся на три группы: 
характеристики прочности, характеристики пластичности, характеристики упругости. 
Характеристики прочности – это напряжения, описывающие  способность материала сопротивляться разрушению: 
• 
предел пропорциональности  σп =
п
–  максимальное напряже
ние, при котором деформации образца прямо пропорциональны 
действующей нагрузке; 
• 
предел упругости  σу =
у
–  максимальное напряжение, при 

котором в образце возникают только упругие деформации;  
• 
предел текучести  σт =
т
–  напряжение, при котором дефор
мация образца происходит без заметного увеличения силы; 

• 
предел прочности (временное сопротивление)  σв =
в
–  мак-

симальное напряжение на диаграмме растяжения; 
• 
истинное сопротивление разрыву  σр =
р
–  напряжение, при 

котором происходит разрушение образца. 
Опасным напряжением для пластичных материалов считается 
предел текучести, для хрупких материалов – предел прочности. 
На рис. 5 приводятся диаграммы растяжения и сжатия пластичной 
стали, на рис. 6 – диаграммы растяжения и сжатия хрупкого материала. 
Пластичные материалы имеют равные пределы текучести при 
растяжении и сжатии, поэтому  σ= σт,р = σт,с  (см. рис. 5). Хрупкие 
материалы, например чугун, лучше сопротивляются сжатию, чем рас
F 

Δl

Fп 
Fв 
Fт 
Fу
Fр 

Рис. 4

Δlр 

Рис. 5

δ

раст.

сжат. 
σ 

ε

А
σт 

σ

ε

раст.

сжат.

σв,р

σв,с 

Рис. 6

δ