Введение в теорию игр

ВВЕДЕНИЕ 

В ТЕОРИЮ ИГР

Д.А. ВЛАСОВ

 

 

 

Москва
ИНФРА-М

2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

 Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим 

направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 6 от 08.06.2022)

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
 
В58

Власов Д.А.
В58  
Введение в теорию игр : учебное пособие / Д.А. Власов. — Москва : 
ИНФРА-М, 2023. — 222 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/1513124.

ISBN 978-5-16-017014-5 (print)
ISBN 978-5-16-109306-1 (online)
В учебном пособии в простой и доступной форме рассмотрены базовые 
понятия классической теории игр и представлены ее приложения в практике принятия решений. Особое внимание уделяется логике теоретикоигрового анализа экономических ситуаций, требующих количественного 
обоснования принимаемых решений. Рассмотренные игровые модели 
и методы их исследования, включающие логический и математический 
аппарат, имеют отчетливые и доступные для восприятия студентами бакалавриата экономические приложения.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Адресовано студентам бакалавриата экономических и управленческих 
направлений, нуждающимся в знакомстве с основными концепциями теории игр, однако может быть полезно студентам других направлений подготовки, а также всем, кто испытывает дефицит компетенций в области 
приемов и методов принятия решений.

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73

Р е ц е н з е н т ы:
Тихомиров Н.П., доктор экономических наук, профессор, профессор 
кафедры математических методов в экономике Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова;
Смирнов Е.И., доктор педагогических наук, профессор, заведующий 
кафедрой математического анализа, теории и методики обучения математике Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского

ISBN 978-5-16-017014-5 (print)
ISBN 978-5-16-109306-1 (online)
© Власов Д.А., 2022

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

Предисловие

Теоретико-игровые методы и модели читаются автором сту
дентам экономических и управленческих направлений подготовки 
в Российском экономическом университете им. Г.В. Плеханова как 
компоненты учебных дисциплин «Теория игр», «Теория риска», 
«Теория принятия решений», «Инструментальные методы экономики», студентам экономических направлений подготовки в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации как компоненты учебных дисциплин «Практикум по количественным методам», «Математическое обеспечение финансовых 
решений» и др.

Игровое моделирование очень тесно связано с жизнью, зада
чами принятия решений, возникающих на различных уровнях 
и в различных областях. Это не просто один из видов математического моделирования, в некотором смысле это мировоззрение, 
востребованное в экономике и менеджменте, инвестициях и страховании, политике и социальной сфере. Игровые взаимодействия, 
возникающие повсеместно — везде, где не совпадают интересы его 
участников (игроков), требуют применения новых методов, сглаживающих недостатки классических методов оптимизации в новой 
социально-экономической реальности.

Благодаря строгому дозированию теоретического материала, 

последовательному усложнению используемого математического 
аппарата, большому числу разобранных содержательных примеров 
и максимально подробному неформальному изложению игровой 
теории в данном учебном пособии предпринята попытка адаптации 
университетского курса «Теория игр» к возможностям и потребностям будущих бакалавров экономики и менеджмента.

Учебное пособие состоит из девяти глав, последовательно рас
крывающих все базовые вопросы теории игр, демонстрирующих 
исследовательские и прогностические возможности теории игр. 
Каждая глава завершается вопросами и заданиями для самостоятельной и групповой работы студентов. В результате изучения данного учебного пособия студент будет:

знать

 
• основные виды игр и особенности игровых концепций;

 
• терминологический аппарат теории игр;

 
• особенности формализации экономических ситуаций в виде иг
ровых моделей;

 
• основные виды равновесий;

 
• понятие седловой точки матрицы (функции) полезностей;

 
• области и особенности применения игрового моделирования;

 
• основную теорему теории игр;

уметь

 
• конструировать собственные игровые модели, описывающие 

взаимодействия экономических агентов;

 
• обосновывать выбор метода исследования построенной игровой 

модели;

 
• приводить анализируемые экономические ситуации к типовым 

игровым моделям;

 
• применять различные методы исследования игровой модели;

 
• давать содержательную интерпретацию результатам игрового 

моделирования в терминах анализируемой экономической ситуации;
владеть

 
• приемами редукции игры;

 
• навыками применения аппарата чистых стратегий;

 
• навыками применения аппарата смешанных стратегий;

 
• навыками выработки управленческих решений на основе игро
вого моделирования.

Глава 1. 

КЛАССИФИКАЦИЯ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Основные понятия, формируемые в рамках главы 1:

 
• «бесконечная игра»;

 
• «игровая модель конфликтной ситуации»;

 
• «игровая стратегия»;

 
• «конечная игра»;

 
• «кооперативная игра»;

 
• «личный ход»;

 
• «математическая экономика»;

 
• «метаигра»;

 
• «многошаговая игра»;

 
• «модель аукционов»;

 
• «модель олигополий»;

 
• «некооперативная игра»;

 
• «одношаговая игра»;

 
• «оптимальная стратегия»;

 
• «повторяющаяся игра»;

 
• «полезность»;

 
• «популяционная игра»;

 
• «принцип крайней рациональности игрока»;

 
• «проблема асимметрии информации»;

 
• «проблема равновесия»;

 
• «прогнозирование стратегий»;

 
• «процесс принятия решений»;

 
• «рациональность»;

 
• «случайный ход»;

 
• «совершенный рынок»;

 
• «средний выигрыш (проигрыш)»;

 
• «стратегическое взаимодействие»;

 
• «стратегическое мышление»;

 
• «стратегия»;

 
• «теория оптимальных механизмов»;

 
• «условие оптимальности»;

 
• «условие устойчивости»;

 
• «экономическая кибернетика».

На протяжении всей жизни мы постоянно реально или вирту
ально взаимодействуем с другими людьми и сталкиваемся с не

обходимостью принимать решения — иногда правильные, иногда 
нет, часто спонтанные, а в ряде случаев и тщательно выверенные, 
научно обоснованные. Дети, стремясь получить понравившуюся 
в магазине игрушку, прибегают к шантажу своих родителей. Принимая решение кричать, плакать или молчать, ребенок идет на риск, 
поскольку ему неизвестна реакция родителей на выбранную стратегию: они могут как купить новую игрушку, так и отобрать уже 
купленные. После окончания школы мы принимаем решение о том, 
в какой университет подавать документы для поступления. Выбор 
неоптимального варианта грозит будущему студенту отчислением за академическую неуспеваемость или дипломом с отличием 
учебного заведения, невостребованного на рынке труда. Участвуя 
в студенческой лыжне, студент выбирает стратегию, позволяющую, 
на его взгляд, уму финишировать первым: либо сразу использовать 
все силы по максимуму, либо копить силы, чтобы использовать их 
на финише. При этом студент анализирует ситуацию вокруг: как 
ведут себя сегодня его конкуренты, которые, в свою очередь, обращают внимание на то, что происходит вокруг, т.е. участвуют в стратегическом взаимодействии.
Планируя покупку одежды на защиту выпускной квалификационной работы в университете, студент принимает решение: купить 
ее в фирменном магазине, заказать на интернет-сайте зарубежного 
магазина, предлагающего скидку студентам по международному 
студенческому билету, или вообще воздержаться от покупки, отложив денежные средства на будущее путешествие. Завершив 
обучение в бакалавриате, выпускники принимают решение о продолжении обучения в магистратуре, поиске места работы. Перед 
вступительным экзаменом в магистратуру и собеседованием с работодателем они просят поделиться опытом студентов старших 
курсов — корректируют информационную среду принятия решения. 
Они изучают публикации в сети Интернет о том, как следует вести 
себя на собеседовании — пытаются выбрать для себя наилучшую 
стратегию, исходя из собственных возможностей и ресурсов, учитывая положительный и негативный опыт предшественников.
Описанные ситуации объединяет то, что принимаемые решения 
оказывают влияние на полезность не только тех, кто их принимает, но и других людей. Такие взаимодействия принято называть 
стратегическими. Именно такие взаимодействия изу  чает теория 
игр — современный раздел математических методов в экономике, 
позволяющий по-новому подойти к количественному обоснованию принимаемых решений в различных областях хозяйственно-экономической деятельности. «Примерами антагонистических 

конфликтов могут служить отношения налоговых служб и недобросовестных налогоплательщиков, конкурирующих фирм в антагонистических условиях и т.д.»1

Для того чтобы научиться принимать решения как в случае про
стейших бытовых ситуаций, так и в будущей профессиональной 
деятельности, требуется развитие модельных представлений об игровом (стратегическом) взаимодействии, критериях и механизмах 
выбора оптимальных стратегий. Так, в рамках данного учебного 
пособия обучающийся ознакомится с приемами формализации 
экономических ситуаций в виде игровых моделей и методами последующего исследования игровых моделей. Содержание пособия 
максимально раскрывает игровые модели базового уровня, в нем 
приведены различные приемы и методы их исследований, реализованные на различных формальных и содержательных примерах.

В настоящее время установлена связь между методами и моде
лями теории игр с развитием стратегического мышления. Они позволяют предпринимателю, управленцу, экономисту предугадывать 
действия противника-конкурента, прогнозировать развитие анализируемой экономической ситуации, в которой участвуют несколько 
игроков (экономических агентов) с несовпадающими интересами.

Однако, приступая к изучению методов и моделей теории игр, 

следует отметить, что часть теоретико-игровой теории может находиться в противоречии со сложившейся практикой принятия 
решений, житейской мудростью и традиционными правилами поведения. Эта особенность позволяет формировать новые взгляды 
на природу социально-экономических проблем и ситуаций, 
устройство мира и взаимодействия в рамках хозяйственно-экономической деятельности. «Теория игр — это раздел общественных 
наук, который изучает принятие стратегических решений. Теория 
игр охватывает самые разные игры — от шахмат до воспитания 
детей, от тенниса до поглощения компаний, от рекламы до контроля 
над вооружениями»2. Нельзя не согласиться, что значение приемов 
и методов теоретико-игрового анализа способствует успеху в жизни 
и профессиональной деятельности.

Остановимся далее на классификации игровых моделей, уделяя 

особое внимание тем игровым моделям, которые представлены 
в данном пособии. Более подробно о классификации игровых моделей можно прочитать в публикациях [5, 18, 22].

1 
Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой 
и бизнесом: учеб. пособие. М.: Дело, 2001.

2 
Нейлбафф Б. Дж., Диксит А. Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2020.

Рассматривая классические игры, к которым относятся кар
точные игры, шашки, шахматы, можно заметить, что каждый игрок 
в игровом взаимодействии ограничен конечным числом стратегий 
(например, имея на руках шесть карт, можно использовать одну 
из них). Такая же особенность характерна и для большинства экономических ситуаций, требующих применения методов теории игр. 
Так, стратегии инвестора ограничены конечным набором инвестиционных инструментов, стратегии руководителя — имеющимися 
ресурсами, которые тоже не бесконечны. Заметим, что множество 
стратегий игрока может быть довольно обширным, включать в себя 
огромное число стратегий. Например, на Московской бирже торгуется более 200 компаний, из которых инвестор может составлять 
разнообразные портфели. Однако в этом и в большинстве других 
случаев множества стратегий являются конечными. Такие игры 
принято называть конечными.

Однако анализируемая ситуация не всегда может приводить 

к конечной игре. В силу этого существуют бесконечные игры, 
в которых игроки владеют бесчисленным количеством стратегий. 
Примером бесконечной игры может выступать игра на выбор натуральных чисел. Будем считать, что по правилам игры каждый 
игрок должен выбрать натуральное число. Выигрывает тот игрок, 
кто выберет большее число. Как известно, натуральный ряд бесконечен, поэтому каждый игрок в данном игровом взаимодействии 
имеет бесконечное множество стратегий. Множество стратегий 
экономического агента вследствие наличия ограничений может 
представлять собой непрерывную область (область допустимых 
стратегий), каждая точка которой соответствует конкретной стратегии. Как известно, непрерывная область содержит бесконечное 
множество точек, следовательно, имеет место непрерывная игра. 
Более абстрактные и более сложные бесконечные игры позволяют 
рассматривать экономические ситуации с неограниченным числом 
стратегий экономических агентов, выявить ранее неизвестные тенденции развития экономических ситуаций.

Большинство задач принятия решений представляют собой 

задачи на выбор оптимального решения из конечного множества 
альтернатив. В таких условиях наиболее востребованным является 
аппарат конечных игр, который раскрыт в данном пособии. Однако 
обобщение конечных игр с привлечением бесконечного множества 
стратегий может существенно расширить прогностический потенциал теоретико-игровых моделей.

По критерию согласованности действий участников игрового 

взаимодействия игры принято разделять на кооперативные и не

кооперативные. В кооперативных играх игрокам предоставляется 
возможность до начала игры образовать коалиции или отказаться 
от их образования, а также уточнить степень согласованности 
реализуемых стратегий и выигрыш каждого участника коалиции 
в случае, если именно эта коалиция выигрывает. В некооперативных играх согласованность реализуемых игроками стратегий 
полностью отсутствует и игроки не могут образовать коалицию 
ни до начала игры, ни в ее процессе. Все игровые модели, рассмотренные в данном пособии, относятся к классу некооперативных игр.
Учитывая количество ходов игроков, игры делятся на одношаговые и многошаговые. Большинство игр, рассмотренных в данном 
пособии, являются одношаговыми. Для исследования многошаговых игр, таких как стохастические и дифференциальные, 
за исключением позиционных игр, применяется более сложный 
математический аппарат.
С учетом внешнего контекста игры выделяют уникальные игры, 
популяционные игры (в которых игроки используют знания о закончившихся ранее аналогичных игровых взаимодействиях) и повторяющиеся игры.
Особый исследовательский интерес в контексте принятия 
решений представляют метаигры. Построение и исследование 
метаигр позволяют сформулировать правила игрового взаимодействия игроков для другой игровой модели (в частности, являющейся эволюционным продолжением уже существующей игровой 
модели). Говоря о метаиграх, нельзя не отметить современный 
раздел теории игр, связанный с ними, — теорию оптимальных механизмов. В рамках этого раздела поставлена важная обратная задача: 
определение правил игры с тем, чтобы игроки поступали особым 
образом. Например, каким должно быть законодательство, чтобы 
на рынке сбыта продукции существовала здоровая конкуренция 
и развивался рынок; какими должны быть условия труда, чтобы все 
сотрудники работали на благо фирмы и т.д. Заметим, что классической прямой задачей теории игр является определение лучшего поведения игроков в условиях, когда правила игры известны заранее 
и не могут быть изменены в течение игры.
Остановимся на основных понятиях теории игр, используемых 
далее. Ходом игрока является выбор и реализация одной из стратегий (действий) в соответствии с принятыми в игровом взаимодействии правилами. Ход принято назвать личным, если он представляет собой осознанный выбор игрока одной из имеющихся стратегий для реализации. Однако анализ практики принятия решений 
позволяет утверждать, что не все ходы игроков являются личными. 

Некоторые из них — результат случайно выбранного действия: например, случайный выбор карты из колоды, случайный выбор инвестиционного портфеля, случайный выбор студентом места прохождения преддипломной практики и т.д. Такие ходы называются 
случайными. Данное пособие содержит игровые модели, в которых 
игроки могут совершать как личные, так и случайные ходы.
Под игровой стратегией понимается совокупность правил, которые определяют выбор альтернатив на уровне каждого хода 
игры в зависимости от особенностей игрового взаимодействия. 
Исследование игровой модели предполагает обоснование и выбор 
множества лучших стратегий для каждого игрока. Эти лучшие 
стратегии соответствуют условию оптимальности, т.е. признаются 
оптимальными. Заметим, что методы определения оптимальных 
стратегий игроков различны и зависят от критерия оптимальности 
и особенностей игровой модели. Предположим, что один из игроков 
ставит цель максимизировать число потребителей производимой 
продукции (выигрыш), в то время как второй игрок реализует 
выбранную им стратегию. В описанных условиях второму игроку 
выгодно получить минимально возможное падение числа потребителей продукции (проигрыш) при условии, что конкурент будет 
придерживаться выбранной стратегии. В простейших игровых моделях стратегии, удовлетворяющие описанному принципу, принято 
называть оптимальными.
Часто процесс принятия решений характеризуется тем, что 
принимаются различные решения: вчера — одно, сегодня — второе 
(например, если первое решение показалось лицу, принимающему 
решения (ЛПР), неоптимальным или является неоптимальным 
на самом деле), завтра — третье, иногда даже в том случае, если 
предыдущие решения устраивали ЛПР. На этот процесс влияет 
склонность ЛПР к риску и другие факторы. Однако в классических 
моделях теории игр оптимальные стратегии игроков обладают свойством устойчивости. Выполнение этого свойства подразумевает, 
что любому из экономических агентов выгодно придерживаться 
оптимальной стратегии. Другими словами, отклонение от оптимальной стратегии принесет игроку уменьшение выигрыша.
Как правило, игровая ситуация развивается (игроки приобретают игровой опыт, получают дополнительную информацию, 
меняется социально-экономическая среда и др.) и требует повышенного внимания со стороны исследователя, особенно при условии, 
что игровое взаимодействие повторяется многократно. В этом 
случае участники игры скорее будут заинтересованы не в максимизации выигрыша и минимизации проигрыша в каждом конкретном