Введение в теорию игр

ВВЕДЕНИЕ 

В ТЕОРИЮ ИГР

Д.А. ВЛАСОВ

 

 

 

Москва
ИНФРА-М

2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

 Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим 

направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 6 от 08.06.2022)

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73
 
В58

Власов Д.А.
В58  
Введение в теорию игр : учебное пособие / Д.А. Власов. — Москва : 
ИНФРА-М, 2023. — 222 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/1513124.

ISBN 978-5-16-017014-5 (print)
ISBN 978-5-16-109306-1 (online)
В учебном пособии в простой и доступной форме рассмотрены базовые 
понятия классической теории игр и представлены ее приложения в прак-
тике принятия решений. Особое внимание уделяется логике теоретико-
игрового анализа экономических ситуаций, требующих количественного 
обоснования принимаемых решений. Рассмотренные игровые модели 
и методы их исследования, включающие логический и математический 
аппарат, имеют отчетливые и доступные для восприятия студентами бака-
лавриата экономические приложения.
Соответствует требованиям федеральных государственных образова-
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.
Адресовано студентам бакалавриата экономических и управленческих 
направлений, нуждающимся в знакомстве с основными концепциями тео-
рии игр, однако может быть полезно студентам других направлений под-
готовки, а также всем, кто испытывает дефицит компетенций в области 
приемов и методов принятия решений.

УДК 519.83(075.8)
ББК 22.18я73

Р е ц е н з е н т ы:
Тихомиров Н.П., доктор экономических наук, профессор, профессор 
кафедры математических методов в экономике Российского экономи-
ческого университета имени Г.В. Плеханова;
Смирнов Е.И., доктор педагогических наук, профессор, заведующий 
кафедрой математического анализа, теории и методики обучения ма-
тематике Ярославского государственного педагогического универси-
тета им. К.Д. Ушинского

ISBN 978-5-16-017014-5 (print)
ISBN 978-5-16-109306-1 (online)
© Власов Д.А., 2022

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

Предисловие

Теоретико-игровые методы и модели читаются автором сту-

дентам экономических и управленческих направлений подготовки 
в Российском экономическом университете им. Г.В. Плеханова как 
компоненты учебных дисциплин «Теория игр», «Теория риска», 
«Теория принятия решений», «Инструментальные методы эконо-
мики», студентам экономических направлений подготовки в Фи-
нансовом университете при Правительстве Российской Феде-
рации как компоненты учебных дисциплин «Практикум по коли-
чественным методам», «Математическое обеспечение финансовых 
решений» и др.

Игровое моделирование очень тесно связано с жизнью, зада-

чами принятия решений, возникающих на различных уровнях 
и в различных областях. Это не просто один из видов математи-
ческого моделирования, в некотором смысле это мировоззрение, 
востребованное в экономике и менеджменте, инвестициях и стра-
ховании, политике и социальной сфере. Игровые взаимодействия, 
возникающие повсеместно — везде, где не совпадают интересы его 
участников (игроков), требуют применения новых методов, сгла-
живающих недостатки классических методов оптимизации в новой 
социально-экономической реальности.

Благодаря строгому дозированию теоретического материала, 

последовательному усложнению используемого математического 
аппарата, большому числу разобранных содержательных примеров 
и максимально подробному неформальному изложению игровой 
теории в данном учебном пособии предпринята попытка адаптации 
университетского курса «Теория игр» к возможностям и потреб-
ностям будущих бакалавров экономики и менеджмента.

Учебное пособие состоит из девяти глав, последовательно рас-

крывающих все базовые вопросы теории игр, демонстрирующих 
исследовательские и прогностические возможности теории игр. 
Каждая глава завершается вопросами и заданиями для самостоя-
тельной и групповой работы студентов. В результате изучения дан-
ного учебного пособия студент будет:

знать

 
• основные виды игр и особенности игровых концепций;

 
• терминологический аппарат теории игр;

 
• особенности формализации экономических ситуаций в виде иг-

ровых моделей;

 
• основные виды равновесий;

 
• понятие седловой точки матрицы (функции) полезностей;

 
• области и особенности применения игрового моделирования;

 
• основную теорему теории игр;

уметь

 
• конструировать собственные игровые модели, описывающие 

взаимодействия экономических агентов;

 
• обосновывать выбор метода исследования построенной игровой 

модели;

 
• приводить анализируемые экономические ситуации к типовым 

игровым моделям;

 
• применять различные методы исследования игровой модели;

 
• давать содержательную интерпретацию результатам игрового 

моделирования в терминах анализируемой экономической си-
туации;
владеть

 
• приемами редукции игры;

 
• навыками применения аппарата чистых стратегий;

 
• навыками применения аппарата смешанных стратегий;

 
• навыками выработки управленческих решений на основе игро-

вого моделирования.

Глава 1. 

КЛАССИФИКАЦИЯ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Основные понятия, формируемые в рамках главы 1:

 
• «бесконечная игра»;

 
• «игровая модель конфликтной ситуации»;

 
• «игровая стратегия»;

 
• «конечная игра»;

 
• «кооперативная игра»;

 
• «личный ход»;

 
• «математическая экономика»;

 
• «метаигра»;

 
• «многошаговая игра»;

 
• «модель аукционов»;

 
• «модель олигополий»;

 
• «некооперативная игра»;

 
• «одношаговая игра»;

 
• «оптимальная стратегия»;

 
• «повторяющаяся игра»;

 
• «полезность»;

 
• «популяционная игра»;

 
• «принцип крайней рациональности игрока»;

 
• «проблема асимметрии информации»;

 
• «проблема равновесия»;

 
• «прогнозирование стратегий»;

 
• «процесс принятия решений»;

 
• «рациональность»;

 
• «случайный ход»;

 
• «совершенный рынок»;

 
• «средний выигрыш (проигрыш)»;

 
• «стратегическое взаимодействие»;

 
• «стратегическое мышление»;

 
• «стратегия»;

 
• «теория оптимальных механизмов»;

 
• «условие оптимальности»;

 
• «условие устойчивости»;

 
• «экономическая кибернетика».

На протяжении всей жизни мы постоянно реально или виртуально 
взаимодействуем с другими людьми и сталкиваемся с не-

обходимостью принимать решения — иногда правильные, иногда 
нет, часто спонтанные, а в ряде случаев и тщательно выверенные, 
научно обоснованные. Дети, стремясь получить понравившуюся 
в магазине игрушку, прибегают к шантажу своих родителей. Принимая 
решение кричать, плакать или молчать, ребенок идет на риск, 
поскольку ему неизвестна реакция родителей на выбранную стратегию: 
они могут как купить новую игрушку, так и отобрать уже 
купленные. После окончания школы мы принимаем решение о том, 
в какой университет подавать документы для поступления. Выбор 
неоптимального варианта грозит будущему студенту отчислением 
за академическую неуспеваемость или дипломом с отличием 
учебного заведения, невостребованного на рынке труда. Участвуя 
в студенческой лыжне, студент выбирает стратегию, позволяющую, 
на его взгляд, уму финишировать первым: либо сразу использовать 
все силы по максимуму, либо копить силы, чтобы использовать их 
на финише. При этом студент анализирует ситуацию вокруг: как 
ведут себя сегодня его конкуренты, которые, в свою очередь, обращают 
внимание на то, что происходит вокруг, т.е. участвуют в стратегическом 
взаимодействии.
Планируя покупку одежды на защиту выпускной квалификационной 
работы в университете, студент принимает решение: купить 
ее в фирменном магазине, заказать на интернет-сайте зарубежного 
магазина, предлагающего скидку студентам по международному 
студенческому билету, или вообще воздержаться от покупки, отложив 
денежные средства на будущее путешествие. Завершив 
обучение в бакалавриате, выпускники принимают решение о продолжении 
обучения в магистратуре, поиске места работы. Перед 
вступительным экзаменом в магистратуру и собеседованием с ра-
ботодателем они просят поделиться опытом студентов старших 
курсов — корректируют информационную среду принятия решения. 
Они изучают публикации в сети Интернет о том, как следует вести 
себя на собеседовании — пытаются выбрать для себя наилучшую 
стратегию, исходя из собственных возможностей и ресурсов, учи-
тывая положительный и негативный опыт предшественников.
Описанные ситуации объединяет то, что принимаемые решения 
оказывают влияние на полезность не только тех, кто их прини-
мает, но и других людей. Такие взаимодействия принято называть 
стратегическими. Именно такие взаимодействия изу  чает теория 
игр — современный раздел математических методов в экономике, 
позволяющий по-новому подойти к количественному обосно-
ванию принимаемых решений в различных областях хозяйствен-
но-экономической деятельности. «Примерами антагонистических 

конфликтов могут служить отношения налоговых служб и недоб-
росовестных налогоплательщиков, конкурирующих фирм в антаго-
нистических условиях и т.д.»1

Для того чтобы научиться принимать решения как в случае про-

стейших бытовых ситуаций, так и в будущей профессиональной 
деятельности, требуется развитие модельных представлений об иг-
ровом (стратегическом) взаимодействии, критериях и механизмах 
выбора оптимальных стратегий. Так, в рамках данного учебного 
пособия обучающийся ознакомится с приемами формализации 
экономических ситуаций в виде игровых моделей и методами по-
следующего исследования игровых моделей. Содержание пособия 
максимально раскрывает игровые модели базового уровня, в нем 
приведены различные приемы и методы их исследований, реали-
зованные на различных формальных и содержательных примерах.

В настоящее время установлена связь между методами и моде-

лями теории игр с развитием стратегического мышления. Они по-
зволяют предпринимателю, управленцу, экономисту предугадывать 
действия противника-конкурента, прогнозировать развитие анали-
зируемой экономической ситуации, в которой участвуют несколько 
игроков (экономических агентов) с несовпадающими интересами.

Однако, приступая к изучению методов и моделей теории игр, 

следует отметить, что часть теоретико-игровой теории может на-
ходиться в противоречии со сложившейся практикой принятия 
решений, житейской мудростью и традиционными правилами по-
ведения. Эта особенность позволяет формировать новые взгляды 
на природу социально-экономических проблем и ситуаций, 
устройство мира и взаимодействия в рамках хозяйственно-эконо-
мической деятельности. «Теория игр — это раздел общественных 
наук, который изучает принятие стратегических решений. Теория 
игр охватывает самые разные игры — от шахмат до воспитания 
детей, от тенниса до поглощения компаний, от рекламы до контроля 
над вооружениями»2. Нельзя не согласиться, что значение приемов 
и методов теоретико-игрового анализа способствует успеху в жизни 
и профессиональной деятельности.

Остановимся далее на классификации игровых моделей, уделяя 

особое внимание тем игровым моделям, которые представлены 
в данном пособии. Более подробно о классификации игровых мо-
делей можно прочитать в публикациях [5, 18, 22].

1 
Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой 
и бизнесом: учеб. пособие. М.: Дело, 2001.

2 
Нейлбафф Б. Дж., Диксит А. Теория игр. Искусство стратегического мыш-
ления в бизнесе и жизни. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2020.

Рассматривая классические игры, к которым относятся кар-

точные игры, шашки, шахматы, можно заметить, что каждый игрок 
в игровом взаимодействии ограничен конечным числом стратегий 
(например, имея на руках шесть карт, можно использовать одну 
из них). Такая же особенность характерна и для большинства эко-
номических ситуаций, требующих применения методов теории игр. 
Так, стратегии инвестора ограничены конечным набором инвести-
ционных инструментов, стратегии руководителя — имеющимися 
ресурсами, которые тоже не бесконечны. Заметим, что множество 
стратегий игрока может быть довольно обширным, включать в себя 
огромное число стратегий. Например, на Московской бирже торгу-
ется более 200 компаний, из которых инвестор может составлять 
разнообразные портфели. Однако в этом и в большинстве других 
случаев множества стратегий являются конечными. Такие игры 
принято называть конечными.

Однако анализируемая ситуация не всегда может приводить 

к конечной игре. В силу этого существуют бесконечные игры, 
в которых игроки владеют бесчисленным количеством стратегий. 
Примером бесконечной игры может выступать игра на выбор на-
туральных чисел. Будем считать, что по правилам игры каждый 
игрок должен выбрать натуральное число. Выигрывает тот игрок, 
кто выберет большее число. Как известно, натуральный ряд беско-
нечен, поэтому каждый игрок в данном игровом взаимодействии 
имеет бесконечное множество стратегий. Множество стратегий 
экономического агента вследствие наличия ограничений может 
представлять собой непрерывную область (область допустимых 
стратегий), каждая точка которой соответствует конкретной стра-
тегии. Как известно, непрерывная область содержит бесконечное 
множество точек, следовательно, имеет место непрерывная игра. 
Более абстрактные и более сложные бесконечные игры позволяют 
рассматривать экономические ситуации с неограниченным числом 
стратегий экономических агентов, выявить ранее неизвестные тен-
денции развития экономических ситуаций.

Большинство задач принятия решений представляют собой 

задачи на выбор оптимального решения из конечного множества 
альтернатив. В таких условиях наиболее востребованным является 
аппарат конечных игр, который раскрыт в данном пособии. Однако 
обобщение конечных игр с привлечением бесконечного множества 
стратегий может существенно расширить прогностический потенциал 
теоретико-игровых моделей.

По критерию согласованности действий участников игрового 

взаимодействия игры принято разделять на кооперативные и не-

кооперативные. В кооперативных играх игрокам предоставляется 
возможность до начала игры образовать коалиции или отказаться 
от их образования, а также уточнить степень согласованности 
реализуемых стратегий и выигрыш каждого участника коалиции 
в случае, если именно эта коалиция выигрывает. В некооперативных 
играх согласованность реализуемых игроками стратегий 
полностью отсутствует и игроки не могут образовать коалицию 
ни до начала игры, ни в ее процессе. Все игровые модели, рассмотренные 
в данном пособии, относятся к классу некооперативных игр.
Учитывая количество ходов игроков, игры делятся на одноша-
говые и многошаговые. Большинство игр, рассмотренных в данном 
пособии, являются одношаговыми. Для исследования много-
шаговых игр, таких как стохастические и дифференциальные, 
за исключением позиционных игр, применяется более сложный 
математический аппарат.
С учетом внешнего контекста игры выделяют уникальные игры, 
популяционные игры (в которых игроки используют знания о за-
кончившихся ранее аналогичных игровых взаимодействиях) и по-
вторяющиеся игры.
Особый исследовательский интерес в контексте принятия 
решений представляют метаигры. Построение и исследование 
метаигр позволяют сформулировать правила игрового взаимо-
действия игроков для другой игровой модели (в частности, явля-
ющейся эволюционным продолжением уже существующей игровой 
модели). Говоря о метаиграх, нельзя не отметить современный 
раздел теории игр, связанный с ними, — теорию оптимальных меха-
низмов. В рамках этого раздела поставлена важная обратная задача: 
определение правил игры с тем, чтобы игроки поступали особым 
образом. Например, каким должно быть законодательство, чтобы 
на рынке сбыта продукции существовала здоровая конкуренция 
и развивался рынок; какими должны быть условия труда, чтобы все 
сотрудники работали на благо фирмы и т.д. Заметим, что классиче-
ской прямой задачей теории игр является определение лучшего по-
ведения игроков в условиях, когда правила игры известны заранее 
и не могут быть изменены в течение игры.
Остановимся на основных понятиях теории игр, используемых 
далее. Ходом игрока является выбор и реализация одной из стра-
тегий (действий) в соответствии с принятыми в игровом взаимодей-
ствии правилами. Ход принято назвать личным, если он представ-
ляет собой осознанный выбор игрока одной из имеющихся стра-
тегий для реализации. Однако анализ практики принятия решений 
позволяет утверждать, что не все ходы игроков являются личными. 

Некоторые из них — результат случайно выбранного действия: на-
пример, случайный выбор карты из колоды, случайный выбор ин-
вестиционного портфеля, случайный выбор студентом места про-
хождения преддипломной практики и т.д. Такие ходы называются 
случайными. Данное пособие содержит игровые модели, в которых 
игроки могут совершать как личные, так и случайные ходы.
Под игровой стратегией понимается совокупность правил, ко-
торые определяют выбор альтернатив на уровне каждого хода 
игры в зависимости от особенностей игрового взаимодействия. 
Исследование игровой модели предполагает обоснование и выбор 
множества лучших стратегий для каждого игрока. Эти лучшие 
стратегии соответствуют условию оптимальности, т.е. признаются 
оптимальными. Заметим, что методы определения оптимальных 
стратегий игроков различны и зависят от критерия оптимальности 
и особенностей игровой модели. Предположим, что один из игроков 
ставит цель максимизировать число потребителей производимой 
продукции (выигрыш), в то время как второй игрок реализует 
выбранную им стратегию. В описанных условиях второму игроку 
выгодно получить минимально возможное падение числа потре-
бителей продукции (проигрыш) при условии, что конкурент будет 
придерживаться выбранной стратегии. В простейших игровых мо-
делях стратегии, удовлетворяющие описанному принципу, принято 
называть оптимальными.
Часто процесс принятия решений характеризуется тем, что 
принимаются различные решения: вчера — одно, сегодня — второе 
(например, если первое решение показалось лицу, принимающему 
решения (ЛПР), неоптимальным или является неоптимальным 
на самом деле), завтра — третье, иногда даже в том случае, если 
предыдущие решения устраивали ЛПР. На этот процесс влияет 
склонность ЛПР к риску и другие факторы. Однако в классических 
моделях теории игр оптимальные стратегии игроков обладают свой-
ством устойчивости. Выполнение этого свойства подразумевает, 
что любому из экономических агентов выгодно придерживаться 
оптимальной стратегии. Другими словами, отклонение от опти-
мальной стратегии принесет игроку уменьшение выигрыша.
Как правило, игровая ситуация развивается (игроки при-
обретают игровой опыт, получают дополнительную информацию, 
меняется социально-экономическая среда и др.) и требует повышен-
ного внимания со стороны исследователя, особенно при условии, 
что игровое взаимодействие повторяется многократно. В этом 
случае участники игры скорее будут заинтересованы не в максими-
зации выигрыша и минимизации проигрыша в каждом конкретном