Практикум по основам финансовой математики

Г.Н. Чусавитина 

Т.Н. Варфоломеева 

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ 

ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Сборник задач

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2022

УДК 330.4
ББК 65.26в631

Ч-94

Р е ц е нз е н ты :

руководитель аналитических работ в ИТ-проектах, «КОНСОМ Групп»

В.А. Ошурков;

кандидат технических наук,

начальник отдела разработки и сопровождения web-ресурсов УИТиАСУ,

ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова»

К.А. Рубан

Чусавитина Г.Н.

Ч-94   Практикум по основам финансовой математики: сборник задач / 

Г.Н. Чусавитина, Т.Н. Варфоломеева. –– Москва : ФЛИНТА, 2022. — 218 с.
— ISBN 978-5-9765-5157-2. — Текст : электронный.

В практикуме подробно разбираются различные задания требующие знания 

классических финансовых методов оценки инвестиционных проектов, тщательно 
подобраны упражнения для отработки навыков их решения. Практикум содержит 
контрольные вопросы, задания повышенной сложности и тесты по основным 
разделам программы курсов «Основы финансовой математики», «Финансовая 
математика», «Математическая экономика». 

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и 

заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся 
в области управления финансами.

Практикум 
по 
дисциплинам 
«Оценка 
эффективности 
IT-проектов», 

«Финансовая математика», «Математическая экономика»,
для направлений 

подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика»; 38.03.05 «Бизнес-информатика»; 
44.03.05 «Педагогическое образование (информатика и экономика)».

УДК 330.4
ББК 65.26в631

ISBN 978-5-9765-5157-2
© Чусавитина Г.Н., Варфоломеева Т.Н., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022

Содержание

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................. 6

Глава 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ.......................................................................................................... 8

1.1
Определение ставок и вычисление процентов ...................................................................... 8

Задачи и способы их решения......................................................................................................... 8

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 10

1.2
Простая процентная ставка................................................................................................ 13

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 13

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 19

1.3
Простая учетная ставка...................................................................................................... 24

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 24

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 27

1.4
Инфляция................................................................................................................................. 31

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 31

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 34

1.5
Замена и консолидация платежей ....................................................................................... 37

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 37

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 40

Задачи повышенной сложности...................................................................................................... 44

Тест по теме «Простые проценты».............................................................................................. 45

Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ...................................................................................................... 48

2.1 Сложная процентная ставка .................................................................................................... 48

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 48

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 52

2.2 Сложная учетная ставка........................................................................................................... 55

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 55

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 58

2.3 Непрерывная ставка................................................................................................................... 61

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 61

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 63

2.4 Эквивалентность ставок........................................................................................................... 66

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 66

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 69

2.5 Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов ................................................ 71

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 71

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 74

2.6 Замена платежей и сроков их выплат...................................................................................... 77

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 77

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 79

Задачи повышенной сложности...................................................................................................... 83

Тест по теме «Сложные проценты» ............................................................................................. 85

Глава 3. АННУИТЕТЫ......................................................................................................................... 87

3.1
Постоянные аннуитеты....................................................................................................... 87

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 87

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 91

3.2
Непрерывные и переменные аннуитеты ............................................................................. 94

Задачи и способы их решения....................................................................................................... 94

Задачи для самостоятельного решения...................................................................................... 98

3.3
Оценка аннуитета с периодом больше года..................................................................... 101

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 101

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 103

Задачи повышенной сложности.................................................................................................... 106

Тест по теме «Аннуитеты».......................................................................................................... 107

Глава 4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ. ФИНАНСОВЫЕ МЕТОДЫ 
ОЦЕНКИ.............................................................................................................................................. 109

4.1.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - чистая приведённая 

стоимость ....................................................................................................................................... 112

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 117

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 120

Использование финансовых функций в MS Excel для расчета чистой приведённой 
стоимости ................................................................................................................................... 126

Тест по теме «Чистая приведённая стоимость» ...................................................................... 131

4.2.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - индекс рентабельности 

инвестиций....................................................................................................................................... 133

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 135

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 140

Тест по теме «Индекс рентабельности инвестиций» ............................................................... 144

4.3.
Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - внутренняя норма 

доходности ...................................................................................................................................... 145

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 160

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 162

Тест по теме «Внутренняя норма доходности»......................................................................... 166

4.4. Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - срок окупаемости и 
дисконтированный срок окупаемости инвестиций..................................................................... 167

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 169

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 174

Тест по теме «Срок окупаемости и дисконтированный срок окупаемости инвестиций».... 178

4.5. Финансовые методы оценки инвестиционных проектов - коэффициент эффективности 
инвестиций....................................................................................................................................... 180

Задачи и способы их решения..................................................................................................... 181

Задачи для самостоятельного решения.................................................................................... 182

Тест по теме «Коэффициент эффективности инвестиций»................................................... 185

Глоссарий ......................................................................................................................................... 187

Список используемых источников................................................................................................. 196

Приложение А. Ответы на тестовые задания........................................................................... 199

Приложение Б. Кейсы..................................................................................................................... 200

Приложение В. Сводка основных формул .................................................................................... 203

Приложение Г. Порядковые номера дней в високосном и не високосном году......................... 214

ВВЕДЕНИЕ

Математическая экономика — наука, которая использует математический 

аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Объектом изучения математической экономики является экономика — как 

части широкой области человеческой жизнедеятельности.

Методологическая особенность математической экономики, заключается в 

том, что она изучает математические модели экономических объектов, явлений и 
процессов, целью которой является, получение объективной экономической 
информации
и выработка практических
рекомендаций, имеющих важное 

значение. Формально математическую экономику можно отнести как к 
экономической науке, в этом случае ее следует понимать как раздел экономики, 
который изучает
её
количественные и качественные категории, а также 

поведенческие аспекты экономических субъектов. Однако по своей природе 
экономика — самая близкая к математике социально-общественная наука, где 
рассматриваются математические понятия и терминология.

Действительно, экономика — это общественная наука об применении 

ограниченных 
ресурсов 
с 
целью 
наибольшего
удовлетворения 
полных

материальных потребностей человека. К основным задачам экономической науки, 
относят рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ресурсов, 
изучение механизмов управления, разработка методов экономических расчетов и 
т.д. Количественные и качественные методы и способы в математике являются 
оптимальным вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные 
вопросы экономики:

• что необходимо производить, т.е. какие товары и услуги и в каком 

количестве надо производить;

• как производить товары, т.е. кем, с помощью каких ресурсов и какой 

технологии;

• для кого предназначены эти товары, т.е. кем и как будут потребляться эти 

товары.

Перечислим задачи, математической экономикой:
• разработка математических моделей экономических объектов, систем и 

явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, 
предпосылках и на различных уровнях);

• изучение поведения участников экономики (условий существования 

оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях 
потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

• изучение описательных моделей экономики (модели планирования, 

«затраты – выпуск», расширяющейся экономики, экономики благосостояния и 
роста и др.);

• анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, 

средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и 

прогнозирование экономических факторов и показателей).

В пособии представлены примеры решения типовых задач, приведены 

вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут 
быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Основы финансовой 
математики», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый 
менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и 

заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся 
в области управления финансами.

Глава 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1.1
Определение ставок и вычисление процентов

Основные понятия

• Процентная 
ставка 
−
отношение 
процентных 
денег, 
уплаченных 

(полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного 
капитала.

• Учетная ставка − отношение процентных денег, уплаченных (полученных) 

за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) 
сумме денежных средств.

• Индекс роста − сумма за некоторый период времени, показывающий, во 

сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в 
конце предыдущего периода.

• Процессом наращения в финансовых операциях, называют такой процесс, в

котором заданы исходная сумма и ставка. Искомую
величину
называют

наращенной суммой, а ставку − ставкой наращения.

• Процессом дисконтирования в финансовых операциях, называют такой 

процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) 
сумма и ставка. Искомую величину называют приведенной суммой, а ставку −
ставкой дисконтирования.

• В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как 

процентная, так и учетная ставка.

Задачи и способы их решения

Пример 1.1.1. Организации выдали займ в размере 50 тыс. руб. с условием 

возврата 60 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконтфактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы займа?

Решение. Полагая в формуле (1) (см. приложение В) t = 1,5 года, PV =50 тыс. 

руб., FV = 60 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:

𝑟1,5 =

60−50

50
= 0,2 или, что равносильно, r1,5 = 20%.

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим со
ответственно по формулам (2), (4):

𝑑1,5 = 60 − 50

60
= 0,17 или 𝑑1,5 = 17%

𝑣1,5 = 50

60 = 0,83 или 𝑣1,5 = 83%

Заметим, что величины dl,5, v1,5 можно было найти, используя и другие 

соотношения. Например,