Численные методы и программирование

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 

И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В.Д. Колдаев

Под редакцией профессора Л.Г. Гагариной

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации

в качестве учебного пособия для студентов учреждений среднего

профессионального образования, обучающихся по группе

специальностей 09.00.00 «Информатика и вычислительная техника»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва 

ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М

2023

УДК 519.6(075.32) 
ББК 32.973-018я723 
 
К60

Колдаев В.Д.

К60  
Численные методы и программирование : учебное пособие / 

В.Д. Колдаев ; под ред. проф. Л.Г. Гагариной. — Москва : ИД  «ФОРУМ» : 
ИНФРА-М, 2023. — 336 с. — (Среднее профессиональное образование).


ISBN 978-5-8199-0779-5 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013823-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101025-9 (ИНФРА-М, online)

Предложен широкий круг алгоритмов, сгруппированных по темам, для 

решения типичных задач, встречающихся в инженерных расчетах численными 
методами. Прикладная направленность отличает пособие от большинства 
учебников по численным методам, в которых, как правило, изложение 
ограничивается только теорией. Описание методов ориентировано 
на конкретную реализацию соответствующих алгоритмов на ПЭВМ. Пособие 
содержит большое количество заданий для самостоятельного решения. 
Даны рекомендации методологического плана по изучению тем 
в рамках курса математического моделирования.

Для студентов, обучающихся по направлению и специальностям программного 
обеспечения вычислительной техники и автоматизированных 
систем, прикладной математики и обработки информации, будет полезно 
широкому кругу специалистов по компьютерному моделированию.

УДК  519.6(075.32) 

ББК  32.973-018я723

Р е ц е н з е н т ы:

доктор технических наук, профессор кафедры информатики и программного 
обеспечения вычислительных систем НИУ «Московский институт 
электронной техники» О.И. Лисов;

кандидат технических наук, начальник отдела ООО «Кедах Элек-

троникс Инжиниринг» С.А. Костина

ISBN 978-5-8199-0779-5 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013823-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101025-9 (ИНФРА-М, online)

© Колдаев В.Д., 2016
© ИД «ФОРУМ», 2016

Ââåäåíèå

Ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü îáó÷åíèÿ îñíîâàì ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ,
êîòîðàÿ âñå îò÷åòëèâåå ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîñëåäíèå ãîäû, ñâÿçàíà ñ
èíòåíñèôèêàöèåé ïðîöåññîâ èñïîëüçîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ñïåöèà-
ëèçèðîâàííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïàêåòîâ è ñèñòåì ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ êàê èíñòðóìåíòà ðåøåíèÿ ïðè-
êëàäíûõ çàäà÷. Øèðîêîå âíåäðåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â
ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå ñôåðû ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè ÷å-
ëîâåêà òðåáóåò ñîçäàíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ èíñòðóìåíòà ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷. Ñî-
âðåìåííûå ÷èñëåííûå ìåòîäû â ñîâîêóïíîñòè ñ âîçìîæíîñòüþ
èõ àâòîìàòèçàöèè ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòå-
ðîâ è ïðåâðàùàþòñÿ â òàêîé ðàáî÷èé èíñòðóìåíò äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷ íàó÷íîãî, òåõíè÷åñêîãî, ýêîíîìè÷åñêîãî õàðàêòåðà è äð.
Ðàçâèòèå àëãîðèòìîâ è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ èõ ðåàëèçàöèè ñòà-
âèò çàäà÷ó îáó÷åíèÿ ýôôåêòèâíûì íàâûêàì èñïîëüçîâàíèÿ ÷èñ-
ëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ èññëåäîâàíèé.
Âñå èçâåñòíûå èçäàíèÿ ïîñâÿùåíû ëèáî èçëîæåíèþ òåîðåòè-
÷åñêèõ àñïåêòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçäåëîâ âû÷èñëèòåëüíîé ìà-
òåìàòèêè, ò. å. â íèõ îòñóòñòâóþò óêàçàíèÿ íà êîíêðåòíûå ïðè-
ëîæåíèÿ è ïðàêòè÷åñêè íå âêëþ÷åíû ïðèìåðû êîíêðåòíûõ àëãî-
ðèòìîâ è òåêñòîâ ïðîãðàìì, ëèáî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñáîðíèêè
÷èñòî àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì áåç êàêîãî áû òî íè áûëî ââåäå-
íèÿ â òåîðèþ èñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèé. Âñå ýòî ñîçäà-
åò èñêóññòâåííûé áàðüåð ìåæäó ñïåöèàëèñòàìè â îáëàñòè âû÷èñ-
ëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ïîëüçîâàòåëÿìè-íåìàòåìàòèêàìè, êîòî-
ðûì
ïî
ðîäó
ñâîåé
äåÿòåëüíîñòè
â
òîé
èëè
èíîé
ñôåðå
(åñòåñòâåííûå è ýêîíîìè÷åñêèå íàóêè, òåõíèêà, ñèñòåìà îáðàçî-
âàíèÿ è ò. ï.) ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèé.
Ê ñîæàëåíèþ, â ëèòåðàòóðå ÷àñòî íå óäåëÿåòñÿ âíèìàíèå óæå
ðàçðàáîòàííûì è ïðèçíàííûì âåñüìà ýôôåêòèâíûìè àëãîðèò-
ìàì, êîòîðûå øèðîêî èñïîëüçîâàëèñü äëÿ ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ
çàäà÷ íà ïåðñîíàëüíûõ ýëåêòðîííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ
(ÏÝÂÌ).

Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå óñòðàíÿåò îòìå÷åííûå íåäîñòàòêè
ïóòåì ñèñòåìàòèçèðîâàííîãî èçëîæåíèÿ àëãîðèòìîâ ñ êðàòêèìè
ïðåäâàðèòåëüíûìè ñâåäåíèÿìè ïî òåîðèè èñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ
ïî âñåì âêëþ÷åííûì â èçäàíèå ðàçäåëàì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòå-
ìàòèêè.
Íàðÿäó ñ íàèáîëåå ýôôåêòèâíûìè àëãîðèòìàìè, ðàçðàáîòàí-
íûìè â ïîñëåäíåå âðåìÿ, êíèãà ñîäåðæèò îðèãèíàëüíûå ðåçóëü-
òàòû, êîòîðûå òùàòåëüíî îòáèðàëèñü ñ ó÷åòîì èõ ýôôåêòèâíîñòè
è îïòèìàëüíîñòè.
Ìàòåðèàë ðàçáèò íà òåìàòè÷åñêèå ÷àñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå
òðàäèöèîííî âûäåëÿåìûì îáëàñòÿì. Êàæäàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò
êðàòêîå ââåäåíèå â òåîðèþ ñ ïîñòóëèðîâàíèåì îñíîâíûõ ïîëîæå-
íèé è ñåðèþ àëãîðèòìîâ ñ èõ ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèåé íà ÿçû-
êàõ Turbo Pascal è Ñ.
Êíèãà ïîñòðîåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëüçîâàòåëü, ðàáî-
òàþùèé â êîíêðåòíîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè è íå ÿâëÿþùèéñÿ
ñïåöèàëèñòîì íåïîñðåäñòâåííî â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå,
ìîã áåç îñîáîãî òðóäà âûáðàòü íàèáîëåå ýôôåêòèâíûé ìåòîä
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ìåòîäèêà ïîäáîðà è èçëîæåíèÿ ìà-
òåðèàëà ïîçâîëèò èñïîëüçîâàòü ýòî èçäàíèå â êà÷åñòâå íàñòîëü-
íîé êíèãè-ñïðàâî÷íèêà ïî ýôôåêòèâíûì àëãîðèòìàì è ïðî-
ãðàììàì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.
 ïîñîáèè íå ñòàâèòñÿ çàäà÷à ôóíäàìåíòàëüíîé ïîäãîòîâêè â
îáëàñòè ïðîôåññèîíàëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òàê êàê â áîëü-
øèíñòâå ñëó÷àåâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòà è
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ óæå ñóùåñòâóþò ãî-
òîâûå ïðîãðàììíûå êîìïëåêñû. Îäíàêî ñòóäåíòû äîëæíû èìåòü
ÿñíîå ïðåäñòàâëåíèå îá îñíîâíûõ ìåòîäàõ ïðèáëèæåííûõ âû-
÷èñëåíèé è ãðàíèöàõ èõ ïðèìåíèìîñòè. Ýòî ïîçâîëèò, âî-ïåð-
âûõ, âûáèðàòü ïîäõîäÿùóþ äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è
ïðîãðàììó, à âî-âòîðûõ, ïðàâèëüíî èíòåðïðåòèðîâàòü ïîëó÷àå-
ìûå ðåçóëüòàòû.
Öåëüþ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ îçíàêîìëåíèå ñòóäåíòîâ ñ
ìàòåìàòè÷åñêèìè îñíîâàìè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ è
ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêî-
ãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåì è ïðîöåññîâ.
Ðåêîìåíäóåòñÿ ó÷àùèìñÿ ëèöååâ, ãèìíàçèé è øêîë, êîëëåä-
æåé è òåõíèêóìîâ, ñòóäåíòàì ìëàäøèõ êóðñîâ èíñòèòóòîâ è óíè-
âåðñèòåòîâ, âñåì èçó÷àþùèì è ïðåïîäàþùèì ïðîãðàììèðîâà-
íèå.

4
Ââåäåíèå

Ãëàâà 1
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
ÏÎ ÈÍÔÎÐÌÀÒÈÊÅ

1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà — ðàçäåë ìàòåìàòèêè, âêëþ÷àþ-
ùèé êðóã âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëåêòðîííûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí.  áîëåå óçêîì ïîíèìàíèè âû÷èñëè-
òåëüíàÿ ìàòåìàòèêà — òåîðèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ
ðåøåíèÿ òèïîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷.
Ê çàäà÷àì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè îòíîñÿò:
ðåøåíèå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé;
íàõîæäåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è âåêòîðîâ ìàòðèöû;
ðåøåíèå íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé;
ðåøåíèå ñèñòåì íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé;
ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé;
ðåøåíèå ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé;
ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé;
çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè, èíòåðïîëÿöèè, ýêñòðàïîëÿöèè.
 âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå
ðàçäåëû:
àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ñâÿçàííûé ñ ïðèìåíåíèåì
ÏÝÂÌ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàó÷íîé è ïðàêòè÷åñêîé äåÿ-
òåëüíîñòè;
ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ òèïîâûõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè èññëåäîâàíèÿõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé;
òåîðèÿ è ïðàêòèêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ çàäà÷ äëÿ ÏÝÂÌ.
Àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âêëþ÷àåò â ñåáÿ èçó÷åíèå
ïîñòàíîâêè çàäà÷è, âûáîð ìîäåëè, àíàëèç è îáðàáîòêó âõîäíîé
èíôîðìàöèè, ÷èñëåííîå ðåøåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷, âîçíè-
êàþùèõ â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì ìîäåëè, àíàëèç ðåçóëüòàòîâ âû-

÷èñëåíèé, è, íàêîíåö, âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ðåàëèçàöèåé ïîëó-
÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.  òàáë. 1.1 ïîêàçàíà êëàññèôèêàöèÿ ìàòåìà-
òè÷åñêèõ ìîäåëåé ïî ðàçëè÷íûì ïðèçíàêàì.

Òàáëèöà 1.1. Êëàññèôèêàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé

Ïðèçíàêè êëàññèôèêàöèè
Âèäû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé

Ïðèíàäëåæíîñòü ê èåðàðõè÷åñêîìó óðîâíþ
Ìîäåëè ìèêðîóðîâíÿ
Ìîäåëè ìàêðîóðîâíÿ
Ìîäåëè ìåòàóðîâíÿ

Õàðàêòåð îòîáðàæàåìûõ ñâîéñòâ îáúåêòà
Ñòðóêòóðíûå
Ôóíêöèîíàëüíûå

Ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñâîéñòâ îáúåêòà
Àíàëèòè÷åñêèå
Àëãîðèòìè÷åñêèå
Èìèòàöèîííûå

Ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ìîäåëè
Òåîðåòè÷åñêèå
Ýìïèðè÷åñêèå

Îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ îáúåêòà
Äåòåðìèíèðîâàííûå
Âåðîÿòíîñòíûå

Ðàññìàòðèâàÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ÿâëåíèÿ êàê ñâîåãî
ðîäà òåîðåòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, èç îáùèõ è äîñòàòî÷íî åñòåñò-
âåííûõ ñîîáðàæåíèé ïðîöåññ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
ðàçáèâàåòñÿ íà íåñêîëüêî ýòàïîâ.
1. Ôîðìóëèðîâêà ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ÿâëåíèÿ. Ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ ìîäåëü ëþáîãî èçó÷àåìîãî ÿâëåíèÿ ïî ïðè÷èíå åãî ÷ðåç-
âû÷àéíîé ñëîæíîñòè äîëæíà îõâàòûâàòü âàæíåéøèå äëÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñòîðîíû ïðîöåññà, åãî ñóùåñòâåííûå õà-
ðàêòåðèñòèêè è ôîðìàëèçîâàííûå ñâÿçè, ïîäëåæàùèå ó÷åòó. Êàê
ïðàâèëî, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èçó÷àåìîãî ôèçè÷åñêîãî ÿâëå-
íèÿ ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
Íà ýòîé ñòàäèè àíàëèçà — ýòî ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûå, ìíîãî-
ìåðíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèå áîëüøîå ÷èñëî íåèç-
âåñòíûõ è ïàðàìåòðîâ.
2. Ïðîâåäåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïîëó÷åííîé ìî-
äåëè è ïîëó÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ. Íà ýòîì ýòàïå ìî-
äåëèðîâàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñëîæíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ìî-
äåëè ïðèìåíÿþò ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê åå èññëåäîâàíèþ è ðàç-
ëè÷íûé ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â ïîíÿòèå ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ñêàæåì,
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè â îïðåäå-
ëåííîì ñìûñëå ðåøàåò çàäà÷ó, îäíàêî, ÿâëÿÿñü çà÷àñòóþ íåêîí-

6
Ãëàâà 1. Òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî èíôîðìàòèêå

ñòðóêòèâíûì, îíî íå ïîçâîëÿåò ðåøèòü ïðîáëåìó èçó÷åíèÿ ýòà-
ïîâ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ è îöåíêè åãî êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòå-
ðèñòèê.
Äëÿ íàèáîëåå ãðóáûõ è íåñëîæíûõ ìîäåëåé óäàåòñÿ ïîëó÷èòü
èõ àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå. Ñëåäóåò îãîâîðèòüñÿ — èñïîëüçîâà-
íèå ñðåäñòâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé íà ÏÝÂÌ, òàêèõ êàê
REDUCE, MAXIMA, MAPLE è «èíòåëëåêòóàëüíûõ êàëüêóëÿòî-
ðîâ» MATHEMATICA, MATHCAD, MATLAB, ñóùåñòâåííî ðå-
âîëþöèîíèçèðîâàëî ýòî ïîëå äåÿòåëüíîñòè.
Äëÿ íàèáîëåå òî÷íûõ è ñëîæíûõ ìîäåëåé îñíîâíûìè ìåòî-
äàìè ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû, òðåáóþùèå ïðîâåäå-
íèÿ áîëüøîãî îáúåìà íåîáõîäèìûõ âû÷èñëåíèé íà ÏÝÂÌ. Ýòè
ìåòîäû ïîçâîëÿþò äîáèòüñÿ õîðîøåãî êîëè÷åñòâåííîãî è äàæå
êà÷åñòâåííîãî ðåçóëüòàòà â îïèñàíèè ìîäåëè.
Ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 1.1 ñõåìà ÷àñòè÷íî îòðàæàåò âçàèìîñâÿ-
çè ýòàïîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Êàæäûé èç ýòàïîâ
ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ìîäåëè ñâÿçàí ñ èñïîëüçîâàíèåì
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ è ïîëó÷åíèåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.

1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè
7

Ðèñ. 1.1. Âçàèìîñâÿçè ýòàïîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ

3. Àíàëèç ñîñòîÿòåëüíîñòè ïðåäëîæåííîé ìîäåëè, ò. å. îñìûñ-
ëåíèå ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ, ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ
ñ èìåþùèìèñÿ äàííûìè ôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Íà ýòîì
ýòàïå ðåøàåòñÿ âîïðîñ î ñîñòîÿòåëüíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäå-
ëè è ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ. Õîðîøåå ñîãëàñîâàíèå ñ ýêñïå-
ðèìåíòîì îáû÷íî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðàâèëüíîñòè âûáîðà ìîäå-
ëè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå óòî÷íåíèÿ,
èçìåíåíèÿ è ïîâòîðåíèå ïðåäûäóùèõ ýòàïîâ èññëåäîâàíèÿ.
Èñïîëüçîâàíèå ÏÝÂÌ â ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäî-
âàíèÿ ìîäåëè òðåáóåò ñïåöèôè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ò. å.
òàêîé èíòåðïðåòàöèè ìàòåìàòè÷åñêîé (äèñêðåòíîé èëè âû÷èñëè-
òåëüíîé) ìîäåëè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà íà ÏÝÂÌ.
Ïîñêîëüêó ÏÝÂÌ âûïîëíÿåò òîëüêî àðèôìåòè÷åñêèå è ëîãè÷å-
ñêèå îïåðàöèè, òî äëÿ ðåàëèçàöèè âû÷èñëèòåëüíîé ìîäåëè òðåáó-
åòñÿ ðàçðàáîòêà ñîîòâåòñòâóþùåãî âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà.

1.2. Ìîäåëè îáúåêòîâ è ïðîöåññîâ

×åëîâåê èçäàâíà èñïîëüçóåò ìîäåëèðîâàíèå äëÿ èññëåäîâà-
íèÿ îáúåêòîâ, ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ. Ìîäå-
ëèðîâàíèå ïîìîãàåò ïðèíèìàòü îáîñíîâàííûå è ïðîäóìàííûå
ðåøåíèÿ, ïðåäâèäåòü ïîñëåäñòâèÿ ñâîåé äåÿòåëüíîñòè.
 1870 ã. àíãëèéñêîå Àäìèðàëòåéñòâî ñïóñòèëî íà âîäó íî-
âûé áðîíåíîñåö «Êýïòåí». Êîðàáëü âûøåë â ìîðå è ïåðåâåðíóë-
ñÿ, à âìåñòå ñ íèì ïîãèáëè 523 ÷åëîâåêà. Ýòî áûëî ñîâåðøåííî
íåîæèäàííî äëÿ âñåõ, êðîìå êîðàáëåñòðîèòåëÿ Â. Ðèäà, êîòîðûé
ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåë èññëåäîâàíèÿ íà ìîäåëè áðîíåíîñöà è
óñòàíîâèë, ÷òî êîðàáëü îïðîêèíåòñÿ äàæå ïðè íåáîëüøîì âîëíå-
íèè. Íî ó÷åíîìó, ïðîäåëûâàþùåìó êàêèå-òî íåñåðüåçíûå îïû-
òû, íå ïîâåðèëè ëîðäû èç Àäìèðàëòåéñòâà è ñëó÷èëîñü íåïîïðà-
âèìîå.
Ìîäåëè è ìîäåëèðîâàíèå èñïîëüçóþòñÿ ÷åëîâå÷åñòâîì äàâíî.
Ñ ïîìîùüþ ìîäåëåé è ìîäåëüíûõ îòíîøåíèé ðàçâèëèñü ðàçãî-
âîðíûå ÿçûêè, ïèñüìåííîñòü, ãðàôèêà. Íàñêàëüíûå èçîáðàæåíèÿ
íàøèõ ïðåäêîâ, çàòåì êàðòèíû è êíèãè — ýòî ìîäåëüíûå, èí-
ôîðìàöèîííûå ôîðìû ïåðåäà÷è çíàíèé îá îêðóæàþùåì ìèðå.
Òåõíîëîãèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òðåáóåò îò èññëåäîâàòåëÿ óìåíèÿ
ñòàâèòü êîððåêòíî ïðîáëåìû è çàäà÷è, ïðîãíîçèðîâàòü ðåçóëüòà-
òû èññëåäîâàíèÿ, ïðîâîäèòü ðàçóìíûå îöåíêè, âûäåëÿòü ãëàâíûå

8
Ãëàâà 1. Òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî èíôîðìàòèêå

è âòîðîñòåïåííûå ôàêòîðû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé, âûáèðàòü
àíàëîãèè è ìàòåìàòè÷åñêèå ôîðìóëèðîâêè, ðåøàòü çàäà÷è ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, ïðîâîäèòü àíàëèç êîìïüþ-
òåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Äëÿ óñïåøíîé ðàáîòû èññëåäîâàòåëþ íå-
îáõîäèìî ïðîÿâëÿòü àêòèâíûé òâîð÷åñêèé ïîèñê, ëþáîçíàòåëü-
íîñòü è îáëàäàòü ìàêñèìóìîì òåðïåíèÿ è òðóäîëþáèÿ.
Íàâûêè ìîäåëèðîâàíèÿ î÷åíü âàæíû ÷åëîâåêó â æèçíè. Îíè
ïîìîãóò ðàçóìíî ïëàíèðîâàòü ñâîé ðàñïîðÿäîê äíÿ, ó÷åáó, òðóä,
âûáèðàòü îïòèìàëüíûå âàðèàíòû ïðè íàëè÷èè âûáîðà, óäà÷íî
ðàçðåøàòü æèçíåííûå ñèòóàöèè.
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû, ïîÿñíÿþùèå ïîíÿòèå ìîäåëè.
1. Àðõèòåêòîð ãîòîâèòñÿ ïîñòðîèòü çäàíèå. Íî ïðåæäå ÷åì
âîçäâèãíóòü åãî, îí ñîîðóæàåò ýòî çäàíèå èç êóáèêîâ íà ñòîëå,
÷òîáû ïîñìîòðåòü, êàê îíî áóäåò âûãëÿäåòü. Êîíå÷íî, àðõèòåê-
òîð ìîã áû ïîñòðîèòü çäàíèå áåç ïðåäâàðèòåëüíûõ ýêñïåðèìåí-
òîâ ñ êóáèêàìè, íî îí äîëæåí áûòü óâåðåí, ÷òî çäàíèå áóäåò âû-
ãëÿäåòü äîñòàòî÷íî õîðîøî.
2. Äëÿ
îáúÿñíåíèÿ
âîïðîñîâ
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
ñèñòåìû
êðîâîîáðàùåíèÿ
ëåêòîð
äåìîíñòðèðóåò
ïëàêàò,
íà
êîòîðîì
ñòðåëêàìè èçîáðàæåíû íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ êðîâè. Êîíå÷íî,
ëåêòîð ìîã áû äëÿ äåìîíñòðàöèè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäðîáíûì
àíàòîìè÷åñêèì àòëàñîì, íî â äàííîì ñëó÷àå åìó ýòî ñîâåðøåííî
íå íóæíî.
3. Ïåðåä òåì êàê çàïóñòèòü â ïðîèçâîäñòâî íîâûé ñàìîëåò,
åãî ïîìåùàþò â àýðîäèíàìè÷åñêóþ òðóáó è ñ ïîìîùüþ ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ äàò÷èêîâ îïðåäåëÿþò âåëè÷èíû íàïðÿæåíèé, âîçíè-
êàþùèõ â ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ êîíñòðóêöèè. Êîíå÷íî, ìîæíî çà-
ïóñòèòü ñàìîëåò â ïðîèçâîäñòâî è íå çíàÿ, êàêèå íàïðÿæåíèÿ
âîçíèêàþò, ñêàæåì, â êðûëüÿõ. Íî ýòè íàïðÿæåíèÿ, åñëè îíè
îêàæóòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè, ìîãóò ïðèâåñòè ê ðàçðóøåíèþ
ñàìîëåòà.
Ìîäåëü — óïðîùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëüíîì îáúåêòå,
ïðîöåññå èëè ÿâëåíèè. Ìîäåëü — ýòî òàêîé ìàòåðèàëüíûé èëè
ìûñëåííî ïðåäñòàâëÿåìûé îáúåêò, êîòîðûé â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ
çàìåùàåò îáúåêò-îðèãèíàë, ñîõðàíÿÿ íåêîòîðûå âàæíûå äëÿ äàí-
íîãî èññëåäîâàíèÿ òèïè÷íûå åãî ÷åðòû.
Ìîäåëèðîâàíèå — ïîñòðîåíèå ìîäåëåé äëÿ èññëåäîâàíèÿ è
èçó÷åíèÿ îáúåêòîâ, ïðîöåññîâ èëè ÿâëåíèé.
Äëÿ ÷åãî ñîçäàâàòü ìîäåëü, à íå èññëåäîâàòü ñàì îðèãèíàë?
Âî-ïåðâûõ, ìîæíî ìîäåëèðîâàòü îðèãèíàë (ïðîòîòèï), êîòî-
ðîãî óæå íå ñóùåñòâóåò èëè åãî íåò â äåéñòâèòåëüíîñòè.

1.2. Ìîäåëè îáúåêòîâ è ïðîöåññîâ
9

Âî-âòîðûõ, îðèãèíàë ìîæåò èìåòü ìíîãî ñâîéñòâ è âçàèìî-
ñâÿçåé. Äëÿ èçó÷åíèÿ êàêîãî-ëèáî ñâîéñòâà èíîãäà ïîëåçíî îò-
êàçàòüñÿ îò ìåíåå ñóùåñòâåííûõ, âîâñå íå ó÷èòûâàÿ èõ.

1.3. Òèïû ìîäåëåé

Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ïðèçíàêè, ïî êîòî-
ðûì êëàññèôèöèðóþò ìîäåëè:
îáëàñòü èñïîëüçîâàíèÿ;
ó÷åò â ìîäåëè âðåìåííîãî ôàêòîðà (äèíàìèêè);
îòðàñëü çíàíèé;
ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëåé.

Êëàññèôèêàöèÿ ïî îáëàñòè èñïîëüçîâàíèÿ
Ïî îáëàñòè èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ó÷åáíûå ìîäåëè — íàãëÿäíûå ïîñîáèÿ, ðàçëè÷íûå òðåíàæå-
ðû, îáó÷àþùèå ïðîãðàììû;
íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ìîäåëè; ñîçäàþò äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðî-
öåññîâ è ÿâëåíèé;
èãðîâûå ìîäåëè — ýòî âîåííûå, ýêîíîìè÷åñêèå, ñïîðòèâ-
íûå, äåëîâûå èãðû;
èìèòàöèîííûå ìîäåëè íå ïðîñòî îòðàæàþò ðåàëüíîñòü, à
èìèòèðóþò åå. Ýêñïåðèìåíò ëèáî ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿåò-
ñÿ, ëèáî ïðîâîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñî ìíîãèìè äðóãèìè
ïîõîæèìè îáúåêòàìè, íî ïîñòàâëåííûìè â ðàçíûå óñëîâèÿ.

Êëàññèôèêàöèÿ ñ ó÷åòîì ôàêòîðà âðåìåíè
Ìîäåëè ìîæíî ðàçäåëèòü íà ñòàòè÷åñêèå (ýòî êàê áû îäíî-
ìîìåíòíûé ñðåç èíôîðìàöèè ïî îáúåêòó) è äèíàìè÷åñêèå. Äè-
íàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò óâèäåòü èçìåíåíèÿ îáúåêòà âî
âðåìåíè.

1.3.1. Êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé

Ðàññìîòðèì ñõåìó êëàññèôèêàöèè ìîäåëåé ïî ñïîñîáó ïðåä-
ñòàâëåíèÿ (ðèñ. 1.2).
Ìîäåëè äåëÿò íà äâå áîëüøèå ãðóïïû: ìàòåðèàëüíûå è èí-
ôîðìàöèîííûå.

10
Ãëàâà 1. Òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî èíôîðìàòèêå