Численные методы и программирование

-¬¡ ©¡¡
«¬ª°¡--¤ª©œ§¸©ª¡
ª¬œ£ªžœ©¤¡
-ÁÌÄÛ
ÊÍÉʾ¼É¼
¾

¿ÊÀÏ
В.Д. Колдаев
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Под редакцией профессора Л.Г. Гагариной
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов учреждений среднего
профессионального образования, обучающихся по группе
специальностей 09.00.00 «Информатика и вычислительная техника»
Москва 
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М
2022

УДК 519.6(075.32) 
ББК 32.973-018я723 
 
К60
Р е ц е н з е н т ы:
доктор технических наук, профессор кафедры информатики и программного обеспечения вычислительных систем НИУ «Московский институт электронной техники» О.И. Лисов;
кандидат технических наук, начальник отдела ООО «Кедах Электроникс Инжиниринг» С.А. Костина
Колдаев В.Д.
К60  
Численные методы и программирование : учебное пособие / 
В.Д. Колдаев ; под ред. проф. Л.Г. Гагариной. — Москва : ИД  
«ФОРУМ» : 
ИНФРА-М, 2022. — 336 с. — (Среднее профессиональное образование).
ISBN 978-5-8199-0779-5 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013823-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101025-9 (ИНФРА-М, online)
Предложен широкий круг алгоритмов, сгруппированных по темам, для 
решения типичных задач, встречающихся в инженерных расчетах численными методами. Прикладная направленность отличает пособие от большинства учебников по численным методам, в которых, как правило, изложение ограничивается только теорией. Описание методов ориентировано 
на конкретную реализацию соответствующих алгоритмов на ПЭВМ. Пособие содержит большое количество заданий для самостоятельного решения. Даны рекомендации методологического плана по изучению тем 
в рамках курса математического моделирования.
Для студентов, обучающихся по направлению и специальностям программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных 
систем, прикладной математики и обработки информации, будет полезно 
широкому кругу специалистов по компьютерному моделированию.
УДК  519.6(075.32) 
ББК  32.973-018я723
ISBN 978-5-8199-0779-5 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013823-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101025-9 (ИНФРА-М, online)
© Колдаев В.Д., 2016
© ИД «ФОРУМ», 2016

Введение
Главная особенность обучения основам численных методов,
которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с
интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. Широкое внедрение математических методов в
самые разнообразные сферы профессиональной деятельности человека требует создания и использования инструмента математического моделирования для решения вычислительных задач. Современные численные методы в совокупности с возможностью
их автоматизации при использовании персональных компьютеров и превращаются в такой рабочий инструмент для решения
задач научного, технического, экономического характера и др.
Развитие алгоритмов и программных средств их реализации ставит задачу обучения эффективным навыкам использования численных методов для решения практических задач исследований.
Все известные издания посвящены либо изложению теоретических аспектов соответствующих разделов вычислительной математики, т. е. в них отсутствуют указания на конкретные приложения и практически не включены примеры конкретных алгоритмов и текстов программ, либо представляют собой сборники
чисто алгоритмов и программ без какого бы то ни было введения в теорию используемых методов вычислений. Все это создает искусственный барьер между специалистами в области вычислительной математики и пользователями-нематематиками, которым
по
роду
своей
деятельности
в
той
или
иной
сфере
(естественные и экономические науки, техника, система образования и т. п.) приходится решать задачи с помощью соответствующих методов вычислений.
К сожалению, в литературе часто не уделяется внимание уже
разработанным и признанным весьма эффективными алгоритмам, которые широко использовались для решения прикладных
задач на персональных электронных вычислительных машинах
(ПЭВМ).

Введение
Данное учебное пособие устраняет отмеченные недостатки
путем систематизированного изложения алгоритмов с краткими
предварительными сведениями по теории используемых методов
по всем включенным в издание разделам вычислительной математики.
Наряду с наиболее эффективными алгоритмами, разработанными в последнее время, книга содержит оригинальные результаты, которые тщательно отбирались с учетом их эффективности
и оптимальности.
Материал разбит на тематические части, соответствующие
традиционно выделяемым областям. Каждая часть содержит
краткое введение в теорию с постулированием основных положений и серию алгоритмов с их программной реализацией на языках Turbo Pascal и С

.
Книга построена таким образом, чтобы пользователь, работающий в конкретной предметной области и не являющийся
специалистом непосредственно в вычислительной математике,
мог без особого труда выбрать наиболее эффективный метод
численного решения задачи. Методика подбора и изложения материала позволит использовать это издание в качестве настольной книги-справочника по эффективным алгоритмам и программам вычислительной математики.
В пособии не ставится задача фундаментальной подготовки в
области профессионального программирования, так как в большинстве случаев для решения задач обработки эксперимента и
математического моделирования процессов уже существуют готовые программные комплексы. Однако студенты должны иметь
ясное представление об основных методах приближенных вычислений и границах их применимости. Это позволит, во-первых, выбирать подходящую для решения конкретной задачи
программу, а во-вторых, правильно интерпретировать получаемые результаты.
Целью учебного пособия является ознакомление студентов с
математическими основами численных методов решения задач и
применение этих методов для решения проблем математического моделирования систем и процессов.
Рекомендуется учащимся лицеев, гимназий и школ, колледжей и техникумов, студентам младших курсов институтов и университетов, всем изучающим и преподающим программирование.

Глава 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ИНФОРМАТИКЕ
1.1. Основные понятия вычислительной математики
Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронных
вычислительных машин. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов и алгоритмов
решения типовых математических задач.
К задачам вычислительной математики относят:
 решение линейных уравнений;
 нахождение собственных значений и векторов матрицы;
 решение нелинейных алгебраических уравнений;
 решение систем нелинейных алгебраических уравнений;
 решение дифференциальных уравнений;
 решение систем дифференциальных уравнений;
 решение интегральных уравнений;
 задачи аппроксимации, интерполяции, экстраполяции.
В вычислительной математике можно выделить следующие
разделы:
 анализ математических моделей, связанный с применением
ПЭВМ в различных областях научной и практической деятельности;
 разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей;
 теория и практика программирования задач для ПЭВМ.
Анализ математических моделей включает в себя изучение
постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной
информации, численное решение математических задач, возникающих в связи с исследованием модели, анализ результатов вы

Глава 1. Теоретические сведения по информатике
числений, и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов. В табл. 1.1 показана классификация математических моделей по различным признакам.
Таблица 1.1. Классификация математических моделей
Признаки классификации
Виды математических моделей
Принадлежность к иерархическому уровню
Модели микроуровня
Модели макроуровня
Модели метауровня
Характер отображаемых свойств объекта
Структурные
Функциональные
Способ представления свойств объекта
Аналитические
Алгоритмические
Имитационные
Способ получения модели
Теоретические
Эмпирические
Особенности поведения объекта
Детерминированные
Вероятностные
Рассматривая математический анализ явления как своего
рода теоретический эксперимент, из общих и достаточно естественных соображений процесс математического моделирования
разбивается на несколько этапов.
1. Формулировка математической модели явления. Математическая модель любого изучаемого явления по причине его чрезвычайной сложности должна охватывать важнейшие для рассматриваемой задачи стороны процесса, его существенные характеристики и формализованные связи, подлежащие учету. Как
правило, математическая модель изучаемого физического явления формулируется в виде уравнений математической физики.
На этой стадии анализа — это существенно нелинейные, многомерные системы уравнений, содержащие большое число неизвестных и параметров.
2. Проведение математического исследования полученной модели и получение соответствующего решения. На этом этапе моделирования в зависимости от сложности рассматриваемой модели применяют различные подходы к ее исследованию и различный смысл вкладывается в понятие решения задачи. Скажем,
доказательство теорем существования и единственности в определенном смысле решает задачу, однако, являясь зачастую некон

1.1. Основные понятия вычислительной математики
7
структивным, оно не позволяет решить проблему изучения этапов получения решения и оценки его количественных характеристик.
Для наиболее грубых и несложных моделей удается получить
их аналитическое решение. Следует оговориться — использование средств символьных вычислений на ПЭВМ, таких как
REDUCE, MAXIMA, MAPLE и «интеллектуальных калькуляторов» MATHEMATICA, MATHCAD, MATLAB, существенно революционизировало это поле деятельности.
Для наиболее точных и сложных моделей основными методами решения являются численные методы, требующие проведения большого объема необходимых вычислений на ПЭВМ. Эти
методы позволяют добиться хорошего количественного и даже
качественного результата в описании модели.
Приведенная на рис. 1.1 схема частично отражает взаимосвязи этапов математического моделирования. Каждый из этапов
математического исследования модели связан с использованием
численных методов и получением численного решения.
Рис. 1.1. Взаимосвязи этапов математического моделирования

Глава 1. Теоретические сведения по информатике
3. Анализ состоятельности предложенной модели, т. е. осмысление результатов решения, сопоставление полученного решения
с имеющимися данными физического эксперимента. На этом
этапе решается вопрос о состоятельности математической модели и проведенного исследования. Хорошее согласование с экспериментом обычно свидетельствует о правильности выбора модели. В противном случае необходимы дополнительные уточнения,
изменения и повторение предыдущих этапов исследования.
Использование ПЭВМ в процессе математического исследования модели требует специфических численных методов, т. е.
такой интерпретации математической (дискретной или вычислительной) модели, которая может быть реализована на ПЭВМ.
Поскольку ПЭВМ выполняет только арифметические и логические операции, то для реализации вычислительной модели требуется разработка соответствующего вычислительного алгоритма.
1.2. Модели объектов и процессов
Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, явлений и процессов в различных областях. Моделирование помогает принимать обоснованные и продуманные
решения, предвидеть последствия своей деятельности.
В 1870 г. английское Адмиралтейство спустило на воду новый броненосец «Кэптен». Корабль вышел в море и перевернулся, а вместе с ним погибли 523 человека. Это было совершенно
неожиданно для всех, кроме кораблестроителя В. Рида, который
предварительно провел исследования на модели броненосца и
установил, что корабль опрокинется даже при небольшом волнении. Но ученому, проделывающему какие-то несерьезные опыты, не поверили лорды из Адмиралтейства и случилось непоправимое.
Модели и моделирование используются человечеством давно.
С помощью моделей и модельных отношений развились разговорные языки, письменность, графика. Наскальные изображения
наших предков, затем картины и книги — это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире.
Технология моделирования требует от исследователя умения
ставить корректно проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные

1.2. Модели объектов и процессов
9
и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать
аналогии и математические формулировки, решать задачи с использованием компьютерных систем, проводить анализ компьютерных экспериментов. Для успешной работы исследователю необходимо проявлять активный творческий поиск, любознательность и обладать максимумом терпения и трудолюбия.
Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они
помогут разумно планировать свой распорядок дня, учебу, труд,
выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, удачно
разрешать жизненные ситуации.
Рассмотрим примеры, поясняющие понятие модели.
1. Архитектор готовится построить здание. Но прежде чем
воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе,
чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками, но он должен быть уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо.
2. Для
объяснения
вопросов
функционирования
системы
кровообращения
лектор
демонстрирует
плакат,
на
котором
стрелками изображены направления движения крови. Конечно,
лектор мог бы для демонстрации воспользоваться подробным
анатомическим атласом, но в данном случае ему это совершенно
не нужно.
3. Перед тем как запустить в производство новый самолет,
его помещают в аэродинамическую трубу и с помощью соответствующих датчиков определяют величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. Конечно, можно запустить самолет в производство и не зная, какие напряжения
возникают, скажем, в крыльях. Но эти напряжения, если они
окажутся достаточно большими, могут привести к разрушению
самолета.
Модель — упрощенное представление о реальном объекте,
процессе или явлении. Модель — это такой материальный или
мысленно представляемый объект, который в процессе изучения
замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.
Моделирование — построение моделей для исследования и
изучения объектов, процессов или явлений.
Для чего создавать модель, а не исследовать сам оригинал?
Во-первых, можно моделировать оригинал (прототип), которого уже не существует или его нет в действительности.

Глава 1. Теоретические сведения по информатике
Во-вторых, оригинал может иметь много свойств и взаимосвязей. Для изучения какого-либо свойства иногда полезно отказаться от менее существенных, вовсе не учитывая их.
1.3. Типы моделей
Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируют модели:
 область использования;
 учет в модели временного фактора (динамики);
 отрасль знаний;
 способ представления моделей.
Классификация по области использования
По области использования модели можно классифицировать
следующим образом:
 учебные модели — наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы;
 научно-технические модели; создают для исследования процессов и явлений;
 игровые модели — это военные, экономические, спортивные, деловые игры;
 имитационные модели не просто отражают реальность, а
имитируют ее. Эксперимент либо многократно повторяется, либо проводится одновременно со многими другими
похожими объектами, но поставленными в разные условия.
Классификация с учетом фактора времени
Модели можно разделить на статические (это как бы одномоментный срез информации по объекту) и динамические. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во
времени.
1.3.1. Классификация моделей
Рассмотрим схему классификации моделей по способу представления (рис. 1.2).
Модели делят на две большие группы: материальные и информационные.