Теория вероятностей : случайные события

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: 

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 

Учебно-методическое пособие 
для СПО и бакалавриата 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Москва 
Берлин 
2020 

УДК 519.2(075) 
ББК 22.171я723 
Т33 

Составители: 
О. В. Авдеева — доцент, А. Ю. Белянина — доцент, 
О. И. Микрюкова — доцент, Л. Ю. Чекулаева — старший преподаватель 

Рецензенты: 
Карякин Ю. Е. — канд. техн. наук, доцент кафедры информационных систем 
Тюменского государственного университета; 
Плотникова Ю. А. — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики 
и механики Вологодской ГМХА 

 
Теория 
вероятностей : 
случайные 
события : 
учебно-методическое пособие для СПО и бакалавриата / 
сост. О. В. Авдеева и др. — Москва ; Берлин : 
Директ-Медиа, 2020. — 86 с. 

ISBN 978-5-4499-0745-5 

В пособии изложен теоретический материал дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» касающийся раздела теории 
вероятностей 
«Случайные 
события». 
Изложение 
сопровождается 
много-численными примерами, а также иллюстрациями. 
Представлены задания для самостоятельной работы студентов, которые 
сопровождаются подробными примерами их решения. 
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГУ. 
Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 519.2(075) 
ББК 22.171я723 

ISBN 978-5-4499-0745-5
© Коллектив  авторов, сост., 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020

Т33

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ...................................................................................................... 1 

Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей ............................... 6 

1.1. Предмет изучения теории вероятностей ...................................... 6 

1.2. Виды случайных событий.............................................................. 7 

1.3. Действия с событиями .................................................................... 8 

1.4. Способы непосредственного вычисления вероятностей ......... 10 

1.4.1. Классическая формула вычисления вероятности ............. 10 

1.4.2. Геометрический способ вычисления вероятности ............ 11 

1.4.3. Статистический способ нахождения вероятности ............ 12 

1.5. Примеры решения задач на непосредственное вычисление 
вероятности событий ........................................................................... 13 

Раздел 2. (Дополнение к разделу 1) Элементы комбинаторики ........ 18 

2.1. Основные правила комбинаторики ............................................ 18 

2.2. Формула размещений без повторений ....................................... 18 

2.3. Формула размещений с повторениями ...................................... 19 

2.4. Формула перестановок ................................................................. 20 

2.5. Формула перестановок с повторениями .................................... 21 

2.6. Формула сочетаний без повторений .......................................... 22 

2.7. Формула сочетаний с повторениями .......................................... 24 

2.8. Схема решения комбинаторных задач ....................................... 25 

2.9. Примеры решения задач .............................................................. 26 

2.10. Задачи для самостоятельного решения .................................... 31 

Раздел 3. Действия с вероятностями...................................................... 33 

3.1. Вероятность суммы несовместных событий ............................. 33 

3.2. Вероятность суммы совместных событий ................................. 34 

3.3. Вероятность произведения независимых событий .................. 37 

3.4. Вероятность произведения зависимых событий ...................... 38 

3.5. Формула полной вероятности ..................................................... 39 

3.6. Вероятности гипотез. Формула Байеса ..................................... 42 

3.7. Примеры решения задач на действия с вероятностями .......... 43 

3.8. Примеры задач на действия с вероятностями .......................... 46 

Раздел 4. Повторение независимых испытаний .................................. 49 

4.1. Формула Бернулли ....................................................................... 49 

4.2. Кумулятивная вероятность ......................................................... 51 

4.3. Наивероятнейшее число наступлений события ....................... 52 

4.4. Общая теорема о повторении опытов. 
Производящая функция ...................................................................... 54 

4.5. Условия применимости формулы Бернулли 
при проведении выборок .................................................................... 55 

Раздел 5. Приближения формулы Бернулли ........................................ 57 

5.1. Приближение формулы Бернулли при больших m и n ........... 57 

5.2. Приближение формулы Бернулли при больших n 
и малых m и p ....................................................................................... 60 

5.3. Простейший поток событий ........................................................ 61 

Раздел 6. Индивидуальные домашние задания 
по теме «Случайные события» .............................................................. 64 

6.1. Пример выполнения индивидуального домашнего 
задания «Случайные события» .......................................................... 70 

Раздел 7. Приложения ............................................................................. 79 

Приложение 1. Таблица значений локальной 
функции Лапласа ................................................................................. 79 

Приложение 2. Таблица значений интегральной 
функции Лапласа ................................................................................. 81 

Приложение 3. Таблица значений вероятностей 
распределения Пуассона ..................................................................... 83 

Литература ................................................................................................ 85 

ВВЕДЕНИЕ 

Современная система обучения предполагает большое количество часов, выделяемых на самостоятельную работу студентов. Данное пособие предназначено для организации такой работы. Оно 
содержит подробный теоретический материал по разделу теории 
вероятностей «Случайные события», а также необходимые для этого 
раздела сведения по комбинаторике. Теоретический материал проиллюстрирован примерами применения. Даны задания для самостоятельной работы студентов с подробным примером решения 
заданий. 
 
 

РАЗДЕЛ 1 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

1.1. Предмет изучения теории вероятностей 

Наблюдая за окружающей действительностью и нашей собственной жизнью можно заметить следующее: имеется некоторый 
набор условий, реализация которых (опыт) приводит всякий раз к 
несколько различным результатам. Например, взяли монетку в руку, 
подбросили и ... то ли решка, то ли орёл, то ли ребром. Собрались, 
пошли в вуз, расстояние одно и то же, но время в пути каждый раз 
немного разное. Земля, вращаясь по орбите вокруг Солнца, заняла 
определённое положение, наступила весна, которая, тем не менее, 
всегда неповторима. 
Эти и ещё множество других явлений называются случайными, 
т. е. от случая к случаю протекающими несколько по-иному. 
Однако и в случайном есть свои закономерности. Например, в 
18 веке французский учёный Бюффон 4040 раз подряд подбросил 
монету, в 2048 случаях выпал герб, английский математик Пирсон в 
начале нашего века подбросил монету 24000 раз, из которых 
12012 раз появился герб. Повторение подобного опыта приводит к 
тому же результату: при большом числе подбрасываний практически 
в половине случаев выпадает цифра, в половине — герб. Время прихода в вуз также колеблется вокруг некоторой средней величины. 
В погоде также есть свои закономерности, которые отличают, скажем, погоду средних широт от экваториальной. 
Теорией вероятностей называется раздел математики, изучающий закономерности массовых (т. е. повторяющихся многократно) случайных явлений. 
При этом подразумевается, что закономерности проявляются, 
когда набор основных условий, определяющих исход опыта, остаётся постоянным. Например, на результаты артиллерийской стрельбы 
влияют калибр орудия, масса снаряда, заряд, угол наклона и т. д. 
Изменение хотя бы одного из этих условий приведёт к изменению 
всей картины результатов попаданий. 
Испытание — это некоторая воспроизводимая совокупность 
условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой вариант завершения испытания. Если результат 

испытания варьируется при его повторении, то говорят об испытании со случайным исходом. Каждый случайный исход называется 
элементарным исходом данного испытания. 
Изучение теории вероятностей начинается с определения некоторого основного понятия, такого, как число в арифметике, вектор в 
векторной алгебре, матрица в линейной алгебре. Таким понятием 
является случайное событие. 
Конкретное осуществление случайного явления, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, 
называется случайным событием. 
Например, бросание игральной кости — случайное явление (или, 
другими словами, испытание со случайным исходом). Оно может 
завершиться одним из шести исходов: появление на верхней грани 
единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки. 
Случайные события обозначаются обычно большими латинскими буквами A, B, C и т. д. 
Численная мера возможности осуществления случайного события называется его вероятностью и обозначается 
( ),
( ),
p A
p B
 

( )
p C  и т. д. 

1.2. Виды случайных событий 

Если появление одного из событий исключает наступление другого, то события называются несовместными. 
Например, выпадение одновременно и цифры и герба при бросании одной монеты. 
Если же события могут произойти одновременно, то эти события называются совместными. 
Например, при бросании двух монет могут одновременно выпасть и цифра и герб. 
Если вероятности событий одинаковы, то эти события называются равновозможными. 
Например, при бросании точно выполненной однородной игральной кости появление на верхней грани любой цифры от 1 до 6 
равно возможно. Также одинакова вероятность извлечь любую карту 
из хорошо перетасованной колоды. 
Если в результате опыта случайное событие обязательно произойдет, то оно называется достоверным и обозначается Ω . 
Например, достоверное событие — замерзание чистой воды при 
отрицательных температурах. 

Невозможным называется событие, которое в результате 
опыта никогда не наступает и обозначается ∅ . 
Например, появление цифры 7 при бросании игрального кубика. 
Если несовместные события 
1
2
,
,
,
n
A A
A

 таковы, что в результате опыта должно обязательно произойти одно из них, то 
говорят, что они образуют полную группу. 
Например, куплены два лотерейных билета. Для этого опыта 
следующие события образуют полную группу: 

A1 — выиграли оба билета; 
A2 — на первый билет выпал выигрыш, на второй — нет; 
A3 — выигрыш выпал на второй билет, на первый — нет; 
A4 — ни один билет не выиграл. 
Каждое событие из полной для данного опыта группы событий 
часто называют исходом опыта или элементарным событием. 
Если полную группу образуют два события, то они называются 

противоположными. Событие, противоположное А, обозначается A. 
Смысл события, противоположного А, состоит в не наступлении 
события А. 
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется при наступлении другого. 
Например, независимыми можно считать следующие события: 
попадание в мишень для одного из стрелков, когда два стрелка вместе стреляют по цели; присутствие отдельных студентов группы на 
лекции. 
Событие A называется зависимым от события H , если вероятность события A меняется при наступлении события H . 
Условной вероятностью 
( )
H
p
A  события A  относительно события H  называется вероятность события A , вычисленная в 
предположении, что событие H  наступило. 

1.3. Действия с событиями 

Суммой (объединением) событий А и В называют событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из этих событий: либо 
только события А, либо только события В, либо и события А и события В одновременно (обозначение А+В). 
Определение суммы можно распространить и на большее число 
событий. 

Если событие A состоит в осуществлении хотя бы одного из 
событий 
1
2
,
, ... ,
n
A
A
A , то говорят, что событие A  равно сумме 
событий 
1
2
,
, ... ,
n
A
A
A  и записывают 

1
2
...
n
A
A
A
A
=
+
+
+
. 

Можно сделать такое пояснение. Если при рассмотрении некоторого события А мы говорим, что оно наступит, если произойдёт 
или событие 
1А , или событие 
2
А , или и т. д., то речь идёт о сумме 
событий. 
Пример. Пусть событие А — появление чётной цифры при бросании игральной кости. Оно наступит или при выпадении двойки 
(событие 
1А ), или при выпадении четвёрки (событие 
2
А ), или при 
выпадении шестёрки (событие 
3
А ), т. е. 
1
2
3
A
A
A
A
=
+
+
. 
Произведением (пересечением) двух событий А и В называется 
событие, состоящее в совместном осуществлении события А и события В. (обозначение АВ). 
Определение произведения двух событий также можно расширить на большее число событий. 
Если событие A состоит в совместном осуществлении событий 

1
2
,
, ... ,
n
A
A
A , то говорят, что оно равно произведению событий 

1
2
,
, ... ,
n
A
A
A  и записывают 

1
2 ...
n
A
A
A
A
=
⋅
⋅ ⋅
. 
Это определение также можно пояснить. Если при рассмотрении 
некоторого события A мы говорим, для того чтобы оно произошло, 
должно произойти и событие 
1А , и событие 
2А , и т. д., то речь идёт 
о произведении событий. 

Пример. Пусть событие А — проведение аудиторного занятия. 
Чтобы оно произошло, должно произойти и событие 
1А  — пришёл 
преподаватель, и событие 
2
А  — пришли студенты, т. е. 
1
2
А
А
А
=
⋅
. 
При решении задач используются следующие свойства действий 
с событиями. 
1. Результат суммирования событий не зависит от порядка их 
написания: 

А
В
В
А
+
=
+
.