Медицинская и биологическая физика. Практикум
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Медикобиологические дисциплины
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 334
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-006664-6
ISBN-онлайн: 978-5-16-110504-7
Артикул: 440350.06.01
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти
Рассмотрены методы решения задач по основным разделам высшей математики, теории вероятностей и математической статистики. Описаны методика проведения физических измерений, правила работы с измерительными приборами, методы расчета ошибок прямых и косвенных измерений. Приведены краткие теоретические основы физических явлений, используемых в лабораторных работах, и порядок проведения всех лабораторных работ, предусмотренных программой дисциплины «Медицинская и биологическая физика». Представлены также контрольные вопросы и задания к семинарским занятиям.
Для студентов всех факультетов медицинских вузов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- Среднее профессиональное образование
- 31.02.01: Лечебное дело
- ВО - Бакалавриат
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 06.03.01: Биология
- 34.03.01: Сестринское дело
- ВО - Магистратура
- 03.04.01: Прикладные математика и физика
- 04.04.01: Химия
- 06.04.01: Биология
- ВО - Специалитет
- 31.05.01: Лечебное дело
- 31.05.02: Педиатрия
- 31.05.03: Стоматология
- 32.05.01: Медико-профилактическое дело
- 33.05.01: Фармация
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Медицинская и биологическая физика ПрактикуМ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по медицинским специальностям Под редакцией В.Г. Лещенко 2021 Москва «ИНФРАМ» Учебное пособие
УДК [61:53+577.3](076.5) ББК 28.071я73 М42 Медицинская и биологическая физика. Практикум : учеб. пособие / В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич, Н.И. Инсарова [и др.] ; под ред. В.Г. Лещенко. — Москва :ИНФРА-М,2021 334 с. : ил. — (Высшее образование:<FR< Бакалавриат). ISBN 978-5-16-006664-6 (ИНФРА-М, print). ISBN 978-5-16-103953-3 (ИНФРА-М, online). Рассмотрены методы решения задач по основным разделам выс шей математики, теории вероятностей и математической статистики. Описаны методика проведения физических измерений, правила работы с измерительными приборами, методы расчета ошибок прямых и косвенных измерений. Приведены краткие теоретические основы физических явлений, используемых в лабораторных работах, и порядок проведения всех лабораторных работ, предусмотренных программой дисциплины «Медицинская и биологическая физика». Представлены также контрольные вопросы и задания к семинарским занятиям. Для студентов всех факультетов медицинских вузов. УДК [61:53+577.3](076.5) ББК 28.071я73 М42 © ООО «Новое знание», 2013 ISBN 978-5-16-006664-6 (ИНФРА-М, print) ISBN 978-5-16-103953-3 (ИНФРА-М, online) А в т о р ы: В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич, Н.И. Инсарова, А.А. Иванов, М.В. Гольцев, Л.В. Кухаренко, В.В. Лукъяница, М.А. Дудковская, З.В. Межевич, А.М. Капитонов, В.А. Мансуров, Т.И. Суслина Р е ц е н з е н т ы: кафедра медицинской и биологической физики Витебского государствен ного медицинского университета (зав. кафедрой — кандидат биологических наук, доцент А.П. Баранов); зав. кафедрой медицинской и биологической физики Гомельского госу дарственного медицинского университета, кандидат биологических наук, доцент В.А. Игнатенко ФЗ № 436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 —
Оглавление Предисловие......................................................................................................................................9 Раздел I. ЭлеМеНТЫ ВЫСШеЙ МаТеМаТИКИ И МаТеМаТИЧеСКОЙ СТаТИСТИКИ 1. Основы дифференциального исчисления.................................................................... 11 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 11 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 13 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 14 2. Нахождение экстремумов функции............................................................................... 17 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 17 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 18 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 19 3. дифференциал функции. Частные производные и полный дифференциал............................................................................................................................... 20 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 20 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 21 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 23 4. Основы интегрального исчисления................................................................................. 24 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 24 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 27 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 28 5. дифференциальные уравнения........................................................................................ 31 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 31 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 32 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 33 6. Элементы теории вероятностей........................................................................................ 35 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 35 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 36 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 37 7. Распределение случайной величины.............................................................................. 40 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 40 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 41 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 43 8. Основы математической статистики............................................................................... 45 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 45 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 48 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 51 9. Основы корреляционного анализа.................................................................................. 54 Основные.определения.и.формулы....................................................................................... 54 Примеры.решения.задач............................................................................................................ 56 Задания.для.самостоятельной.работы.................................................................................. 57
Оглавление 4 Ответы к заданиям по высшей математике...................................................................... 58 1..Основы.дифференциального.исчисления....................................................................... 58 2..Нахождение.экстремумов.функции.................................................................................. 59 3..Дифференциал.функции..Частные.производные.и.полный.дифференциал..... 60 4..Основы.интегрального.исчисления.................................................................................. 61 5..Дифференциальные.уравнения.......................................................................................... 62 6..Элементы.теории.вероятностей.......................................................................................... 63 7..Распределение.случайной.величины................................................................................ 63 9..Основы.корреляционного.анализа.................................................................................... 63 Раздел II. лаБОРаТОРНЫЙ ПРаКТИКУМ 10. Введение в физический практикум............................................................................... 64 11. лабораторная работа 1. Изучение измерительных приборов.......................... 75 Теоретические.основы................................................................................................................. 75 Описание.некоторых.измерительных.приборов.и.устройств...................................... 78 Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 82 Контрольные вопросы и задания............................................................................................. 84 Литература.................................................................................................................................... 84 12. лабораторная работа 2. Твердость стоматологических материалов и методы ее измерения.............................................................................................................. 85 Теоретические.основы................................................................................................................. 85 Определение твердости материала по методу Бринелля..................................... 91 Описание.лабораторной.установки....................................................................................... 91 Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 92 Определение твердости материала по методу Виккерса..................................... 95 Описание.лабораторной.установки....................................................................................... 95 Порядок.выполнения.работы................................................................................................... 95 Контрольные вопросы и задания............................................................................................. 95 Задачи................................................................................................................................................ 96 Литература.................................................................................................................................... 96 13. лабораторная работа 3. Определение термического коэффициента линейного расширения.............................................................................................................. 97 Теоретические.основы................................................................................................................. 97 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................103 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................103 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................105 Задачи..............................................................................................................................................105 Литература..................................................................................................................................106 14. лабораторная работа 4. Определение модуля упругости кости по изгибу........................................................................................................................................107 Теоретические.основы...............................................................................................................107 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................110 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................111 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................112 Задачи..............................................................................................................................................113 Литература..................................................................................................................................113
Оглавление 5 15. Лабораторная работа 5. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом Ребиндера......................................................................114 Теоретические.основы...............................................................................................................114 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................118 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................120 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................121 Задачи..............................................................................................................................................122 Литература..................................................................................................................................122 16. Лабораторная работа 6. Определение вязкости жидкости вискозиметром Оствальда......................................................................................................123 Теоретические.основы...............................................................................................................123 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................126 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................127 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................129 Задачи..............................................................................................................................................129 Литература..................................................................................................................................130 17. Лабораторная работа 7. Снятие спектральной характеристики уха на пороге слышимости.............................................................................................................131 Теоретические.основы...............................................................................................................131 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................134 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................134 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................135 Задачи..............................................................................................................................................136 Литература..................................................................................................................................136 18. Лабораторная работа 8. Электрические датчики температуры.....................137 Теоретические.основы...............................................................................................................137 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................142 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................143 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................145 Задачи..............................................................................................................................................146 Литература..................................................................................................................................146 19. Лабораторная работа 9. Определение зависимости импеданса биологической ткани от частоты тока..............................................................................147 Теоретические.основы...............................................................................................................147 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................151 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................152 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................154 Задачи..............................................................................................................................................154 Литература..................................................................................................................................155 20. Лабораторная работа 10. Изучение основ электростимуляции.....................156 Теоретические.основы...............................................................................................................156 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................161 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................162 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................163 Задачи..............................................................................................................................................164 Литература..................................................................................................................................164
Оглавление 6 21. Лабораторная работа 11. Физические принципы высокочастотной электротерапии.......................................................................................165 Теоретические.основы...............................................................................................................165 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................176 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................177 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................179 Задачи..............................................................................................................................................181 Литература..................................................................................................................................181 22. Лабораторная работа 12. Изучение свойств усилителя электрических сигналов..........................................................................................................182 Теоретические.основы...............................................................................................................182 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................187 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................187 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................189 Задачи..............................................................................................................................................189 Литература..................................................................................................................................190 23. Лабораторная работа 13. Физические основы электрографии органов и тканей.........................................................................................................................191 Теоретические.основы...............................................................................................................191 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................198 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................199 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................202 Задачи..............................................................................................................................................202 Литература..................................................................................................................................203 24. Лабораторная работа 14. Определение показателя преломления жидкости рефрактометром....................................................................................................204 Теоретические.основы...............................................................................................................204 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................208 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................209 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................211 Задачи..............................................................................................................................................211 Литература..................................................................................................................................212 25. Лабораторная работа 15. Определение концентрации оптически активных веществ поляриметром.................................................................213 Теоретические.основы...............................................................................................................213 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................216 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................217 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................219 Задачи..............................................................................................................................................219 Литература..................................................................................................................................220 26. Лабораторная работа 16. Поглощение и рассеяние света. Основы колориметрического анализа..............................................................................221 Теоретические.основы...............................................................................................................221 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................225 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................226 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................228
Оглавление 7 Задачи..............................................................................................................................................228 Литература..................................................................................................................................229 27. Лабораторная работа 17. Основы спектрального анализа...............................230 Теоретические.основы...............................................................................................................230 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................237 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................238 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................241 Задачи..............................................................................................................................................241 Литература..................................................................................................................................242 28. Лабораторная работа 18. Измерение малых объектов с помощью микроскопа...........................................................................................................243 Теоретические.основы...............................................................................................................243 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................248 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................249 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................251 Задачи..............................................................................................................................................251 Литература..................................................................................................................................251 29. Лабораторная работа 19. Принцип действия лазеров, их свойства и применение......................................................................................................252 Теоретические.основы...............................................................................................................252 Описание.лабораторной.установки.....................................................................................256 Порядок.выполнения.работы.................................................................................................257 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................259 Задачи..............................................................................................................................................260 Литература..................................................................................................................................260 РаздеЛ III. ВОПРОСЫ И задаНИЯ К СеМИНаРСКИМ заНЯТИЯМ 30. Механические колебания и волны. акустика........................................................261 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................261 Примеры.решения.задач..........................................................................................................266 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................268 Задачи..............................................................................................................................................270 Литература..................................................................................................................................271 31. Основы биомеханики........................................................................................................272 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................272 Примеры.решения.задач..........................................................................................................276 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................278 Задачи..............................................................................................................................................279 Литература..................................................................................................................................282 32. Основы гидро- и гемодинамики...................................................................................283 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................283 Примеры.решения.задач..........................................................................................................284 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................286 Задачи..............................................................................................................................................287 Литература..................................................................................................................................287
Оглавление 8 33. Физические процессы в биологических мембранах...........................................288 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................288 Примеры.решения.задач..........................................................................................................291 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................292 Задачи..............................................................................................................................................293 Литература..................................................................................................................................294 34. Биофизика зрения..............................................................................................................295 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................295 Примеры.решения.задач..........................................................................................................297 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................299 Задачи..............................................................................................................................................300 Литература..................................................................................................................................300 35. Основы электронной и атомно‑силовой микроскопии.......................................301 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................301 Примеры.решения.задач..........................................................................................................302 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................303 Задачи..............................................................................................................................................304 Литература..................................................................................................................................304 36. Тепловое излучение тел...................................................................................................305 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................305 Примеры.решения.задач..........................................................................................................306 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................308 Задачи..............................................................................................................................................308 Литература..................................................................................................................................309 37. Рентгеновское излучение, его характеристики, методы применения в медицине..........................................................................................310 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................310 Примеры.решения.задач..........................................................................................................312 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................313 Задачи..............................................................................................................................................314 Литература..................................................................................................................................315 38. Радиоактивный распад, взаимодействие ионизирующих частиц с веществом..................................................................................................................................316 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................316 Примеры.решения.задач..........................................................................................................317 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................318 Задачи..............................................................................................................................................319 Литература..................................................................................................................................321 39. Дозиметрия ионизирующих излучений....................................................................322 Основные.определения.и.формулы.....................................................................................322 Примеры.решения.задач..........................................................................................................324 Контрольные вопросы и задания...........................................................................................325 Задачи..............................................................................................................................................326 Литература..................................................................................................................................327 Приложения..................................................................................................................................328
Предисловие Современная.медицина.широко.использует.достижения.физики. и.биофизики..Клиники.оснащаются.сложнейшей.физической.аппаратурой,.применяемой.при.проведении.диагностики.и.лечебного.воздействия..Для.грамотного.и.рационального.использования. этой.сложной.медицинской.техники.врач.должен.не.только.располагать.необходимыми.теоретическими.знаниями,.знать.принципы. действия.и.возможности.используемых.приборов.и.аппаратов,.но. и.иметь.элементарные.навыки.работы.с.физическими.приборами.. Именно.данную.задачу.в.определенной.мере.решает.лабораторный. практикум.по.медицинской.и.биологической.физике. Первый раздел.практикума.включает.задания.по.высшей.математике,.теории.вероятностей.и.математической.статистике.с.примерами.решения.задач.и.заданиями.для.самостоятельного.подготовки.. Во втором разделе. описываются. методики. проведения. лабораторных.работ,.предусмотренных.учебными.программами,. даются.краткие.сведения.о.теоретических.основах.физических.явлений,. используемых. в. лабораторных. работах,. рассматриваются. методы.пользования.измерительными.приборами,.способы.представления.результатов.измерений,.методы.расчета.ошибок.измерений..В.треть ем разделе.приведены.краткие.теоретические.сведения,. формулы,. контрольные. вопросы. и. задачи,. необходимые. для.подготовки.и.проведения.семинарских.занятий. Настоящий.практикум.разработан.под.общей.редакцией.заведующего. кафедрой. В.Г.. Лещенко. коллективом. авторов. кафедры. медицинской.и.биологической.физики.БГМУ.доцентами.Г.К..Ильичем.(1,.3–5,.19,.30,.32,.37–39),.В.Г..Лещенко.(2,.8–11,.15,.22,.23,.33,.34,. 36),.Н.И..Инсаровой.(6,.7,.31),.А.А..Ивановым.(12–14),.М.В..Гольцевым.(17,.21),.Л.В..Кухаренко.(16,.35),.В.В..Лукъяницей.(18,.29),. З.В..Межевич.(20),.В.А..Мансуровым.(25),.старшими.преподавателями.М.А..Дудковской.(24,.28),.А.М..Капитоновым.(27).и.Т.И..Суслиной.(26).в.соот.ветствии.с.учебной.программой.по.дисциплине. «Меди.цин.ская.и.биологическая.физика».и.пред.на.значен.для.студентов.всех.факультетов.медицинских.вузов..В.по.собии.использованы.отдельные.примеры.и.задачи.из.«Сборника.задач.по.медицинской.и.биологической.физике».(Ремизов,.А.Н..Сборник.задач. по.медицинской.и.биологической.физике./.А.Н..Ремизов,.Н.Х..Исакова,.А.Г..Максина..М.:.Высшая.школа,.1987).
Предисловие 10 В.приложениях.приведены.значения..универсальных.физических.констант,..названия.и.обозначения.приставок.СИ.для.кратных.единиц,.таблицы.механических,.электрических,.оптических.и. других..физических.характеристик.отдельных.сред,.а.также.таблица.коэффициентов..Стьюдента..для.расчета.погрешностей..измеряемых.величин. Авторы.выражают.глубокую.признательность.рецензентам.за. большой.труд.по.работе.над.рукописью,.критические.замечания,. советы.и.предложения.которых.несомненно.улучшили.ее.содержание.
Раздел I Элементы высшей математики и математической статистики 1. Основы дифференциального исчисления Основные определения и формулы Производной функции y = f(x).называют.предел,.к.которому. стремится.отношение.приращения.функции.Δу.к.приращению.аргумента.Δх,.когда.последнее.стремится.к.нулю: . ′ = → y y x xlim ∆ ∆ ∆ 0 . Производная.y′ (часто.используют.также.обозначение.dy dx ).показывает скорость.изменения.функции.у.по.аргументу.х.. Если.аргументом.функции.у.является.время.t,.то.производная. dy dt .определяет.скорость.изменения.функции.y(t).во.времени,.т.е.. определяет.скорость.этого.процесса..Например,.если.зависимость. пути,.проходимого.телом,.от.времени.дается.функцией.x(t),.то.ее. производная.определяет.скорость.движения.тела:.v(t) = x′(t). Если. же. аргументом. функции. у. является. пространственная. координата.x.(z.или.h.и.т.д.),.то.производная. dy dx .называется.гра диентом. функции. у. и. определяет. скорость ее изменения в пространстве.вдоль.этой.координаты. Производная.функции.y(x) —.это.некоторая.функция.х: y′ = ϕ(x), поэтому.от.нее.можно.взять.еще.раз.производную,.которую.называют.второй.производной.от.у.по.х: . ′′ = ′ ′ = y y d y dx ( ) 2 2 . Аналогично.последовательно.находят.третью,.четвертую.и.другие.производные высших.порядков,.из.которых.наглядный.физиче
Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики 12 ский.смысл.имеет.только.вторая.производная.от.пути.x.(или.координаты).по.времени,.которая.определяет.ускорение.a тела:.х′′(t).= = v′(t).= a(t). Геометрический смысл производной:.производная.функции. y = f(x) в.точке х0 численно.равна.тангенсу.угла.наклона.α.касательной,. проведенной. к. графику. функции. в. этой. точке. (точке. с.абсциссой.х0):.y′(x0).=.tg.α. Производные некоторых элементарных функций 1).С.=.const,.(С)′.=.0.. 5).(sin ) cos x x ′ = . 2).(xn)′.=.n.·.xn.-.1.. 6).(cos ) sin x x ′ = − . 3).(ax)′ = ax · ln.a.. 7).(tg ) cos x x ′ = 1 2 . 3а).(ex)′ = ex.. 8).(ctg ) sin x x ′ = − 1 2 . 4).(log ) ln a x x a ′ = ⋅ 1 .. 9).(arcsin ) x x ′ = − 1 1 2 . 4а).(ln ) x x ′ = 1 .. 10).(arccos ) x x ′ = − − 1 1 2 . . 11).(arctg ) x x ′ = + 1 1 2 . Правила дифференцирования Пусть.u(x) и v(x).—.произвольные.функции.аргумента.x;.C.—. постоянная. Тогда: 1..(Cu)′ = C(u)′. 2..(u.+.v)′ = u′.+.v′. 3..(uv)′ = u′v + uv′. 4.. u v u v v u v ′ = ′ ′ – 2 . 5..Производная.сложной.функции.y.=.f(u),.где.u.=.ϕ(x)′: ′ = ′ ⋅ ′ y y u x u x.
1. Основы дифференциального исчисления Примеры нахождения производных 1..( ) x x 5 4 5 ′ = . 2..( ) ( ) x x x x 2 3 2 3 1 3 3 2 3 2 3 ′ = ′ = = − . 3..( cos ) sin 2 6 1 2 3 2 x x x x x x + + ′ = + − . 4..( sin ) sin cos x x x x x x 2 2 2 ′ = + . 5.. sin cos sin x x x x x x ′ = − 2 . 6..( ) ( ) ( ) e e x xe x x x x x − − − ′ = ′ ⋅ − ′ = − 2 2 2 2 2 . 7.. ln sin sin (sin ) cos sin ctg x x x x x x x ′ = ′ = = 1 . 8..(sin ) sin (sin ) sin cos 3 2 2 3 3 x x x x x ′ = ′ = . Примеры решения задач задача 1. Зависимость.пути.S.(в.метрах),.проходимого.телом,. от.времени.t.(в.секундах).определяется.законом.S =.2.+.t3.-.3t2.+.2t.. Найдите.скорость.v.и.ускорение.а.через.2.с.после.начала.движения.тела. Решение.. Скорость. тела. представляет. собой. производную. от. пути.по.времени:. v = (S)′ =.(2.+.t3.-.3t2.+.2t)′.=.3t2.-.6t +.2. Через.2.секунды.v (t = 2).=.3.·.22.-.6.·.2.+.2.=.2.м/с. Ускорение.—.это.скорость.изменения.скорости.движения,.т.е.. ускорение.определяется.первой.производной.от.скорости.или.второй.производной.от.пути.по.времени: . a(t) = v(t)′.=.S(t)′′ = (3t2.-.6t +.2)′.= 6t - 6. Через.2.секунды.a (t = 2) = 6.·.2.- 6.=.6 м/с2. задача 2. Атмосферное. давление. P. с. увеличением. высоты. h. над.поверхностью.Земли.изменяется.по.закону.P = P0e-kh,.где.P0.—.
Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики 14 давление.на.поверхности.Земли;.k — коэффициент,.который.можно.считать.постоянным.для.данной.температуры..Определите.градиент.давления. Решение. Упрощенно.градиент.некоторой.величины,.зависящей. от.расстояния,.представляет.собой.производную.от.этой.величины. по.пространственной.координате.h: . grad P.=.(P).′h..=.-kP0.e-kh. Знак. «минус». в. полученном. результате. указывает. на. то,. что. давление.убывает.с.увеличением.высоты.над.поверхностью.Земли. задача 3..График.функции.имеет.вид.треугольника.(рис..1.1).. Постройте.график.производной.этой.функции. Решение. По.геометрическому.смыслу.производная.линейной. функции. численно. равна. тангенсу. наклона. графика. этой. функции.к.оси.ОХ..Поэтому.на.первом.участке.(0.<.x.<.4) ′ = = y 6 4 1 5 , , а.на.втором.(4.<.x.<.10). ′ = − = − y 6 6 1. Поэтому.график.производной.будет.иметь.вид,.представленный.на.рис..1.2. Задания для самостоятельной работы 1..Найдите.производные.следующих.функций: 1..у.=.2ах3.. 3..y e x = − 3 . 5..y x x = 2 4 – . 2..y x = 3 . 4..y.=.x3.+.2x2.+.8. 6..y.=.x4.-.ln.x.+.3x. Рис. 1.1. График. функции.y(x) x y 6 0 2 4 6 8 10 x y0 –1 2 4 6 8 10 1 Рис. 1.2. График. производной.y′(x)
1. Основы дифференциального исчисления 7. y a x x = . 15..y x x = 3 ln . 23. y x x = 3 3 ln . 8. y a x x = 4 3 . 16..y e x x x = + ( )ln . 24. y x = ln( ). tg 9..у.=.х5ln.x. 17..у.=.sin23x. 25..у.=.(sin2x.+.8x)11. 10..y x x = + + 2 3 4 2 3 . 18. y x = + tg( ). 3 1 26..y.=.ecos.xsin.x. 11..y.=.logax.+.ax.+.8.19..y.=.sin(ln.x).. 27. y x = ln . 12..y x x = sin . 20. y x x = + 1 2 2 tg ln(cos ). 28..y x = sin ( ). 3 5 13..y x x = 3 1 4 – . 21..y x x = + cos2 2 5 sin( ) . 29..y x = + ln ( ). 3 2 1 14..y x x = − 12 1 cos sin . 22..y.=.ln3(x2). 30..y x x = ⋅ cos ln . 2 2. Решите.задачи: 2.1..График. функции. y(x) имеет. вид. трапеции. (рис.. 1.3).. Постройте. график.производной.этой.функции. 2.2..Зависимость. координаты. х. дви.жущегося.тела.от.времени.t представлена.на.рис..1.4..Постройте.график.зависимости.скорости.этого.тела. от.времени.v(t). 2.3..Количество. электричества. Q. (в. кулонах),. протекшего. через. проводник.за.время.t.(в.секундах),.определяется. формулой. Q. =. 2t2. +. 3t +. 1.. Найдите.силу.тока.в.конце.пятой.секунды. 2.4..Укорочение.х длины.мышечного.волокна.во.времени.t в.ответ.на. одиночный. электрический. импульс. происходит.по.закону.х = atе-t,.где a.—. x y 4 0 2 4 6 8 10 Рис. 1.3. К.задаче.2.1 x 20 10 0 1 2 3 4 5 t Рис. 1.4. К.задаче.2.2
Раздел I. Элементы высшей математики и математической статистики 16 константа. Найдите. зависимость. скорости. смещения. волокна. от. времени. 2.5..Концентрация.С.некоторого.вещества.убывает.с.глубиной.х. проникновения.его.в.биоткань.по.закону . C x C x k ( ) = − 0 2 1 , где.С0 —.константа,.определяющая.концентрацию.на.поверхности. биоткани;.k — постоянная..Определите.градиент.концентрации.
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти