Теория вероятностей и математическая статистика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ

серия основана в 1 996 г.



Министерство образования Российской Федерации
Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова





                ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА





УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


2-е издание, исправленное и дополненное


Под редакцией профессора В.И. Матвеева




Рекомендовано
          Учебно-методическим объединением по образованию в области экономики и экономической теории в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.05 «Бизнес-информатика»




znanium.com

Москва ИНФРА-М 2021

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73
Т11

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

      Авторы:
         Бирюкова Любовь Гавриловна, кандидат философских наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
         Бобрик Галина Ивановна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
         Сагитов Риф Вагизович, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
         Швед Евгений Вадимович, кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова;
         Матвеев Владимир Иванович (14.03.1932—04.12.2015)


      Рецензенты:
        Исхаков Б.И., доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой статистики Московского банковского института;
        Бродецкий Г.Л., доктор технических наук, профессор



Т11 Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / Л.Г. Бирюкова, Г.И. Бобрик, Р.В. Сагитов [и др.] ; под ред. В.И. Матвеева. — 2-е изд, испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 289 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/18865.

          ISBN 978-5-16-011793-5 (print)
          ISBN 978-5-16-101044-0 (online)
          В книге излагаются основные сведения по теории вероятностей и математической статистике, необходимые студентам и аспирантам экономических вузов в учебном процессе и научной работе.
          Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
          Издание будет также полезно экономистам различных направлений в их практической деятельности.

                                                          УДК 311(075.8) ББК 60.6я73


ISBN 978-5-16-011793-5 (print)
ISBN 978-5-16-101044-0 (online)

© Коллектив авторов, 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Основной задачей экономической науки является выявление закономерностей, которые в наибольшей степени описывали бы общие законы экономического развития общества. Методы, которыми эта задача может быть решена, условно можно разбить на два больших класса — теоретические и эмпирические.
   Теоретические методы, основанные на наблюдениях тенденций в развитии общественной жизни, формулируют некоторые гипотезы и путем логических построений выдвигают соответствующие экономические теории, которые в общем случае требуют экспериментального подтверждения и согласования с реальными показателями состояния экономического устройства.
   Эмпирические методы основаны на наблюдениях или на данных, полученных в ходе проведения планируемых экспериментов. В настоящее время растет признание того факта, что понимание и владение методами эмпирических исследований являются необходимой базой компетентности экономиста. Данные экспериментов и наблюдений требуют навыков использования математических методов обработки полученных опытных результатов. Экономические, финансовые и маркетинговые исследования рыночных отношений, а также исследования в области менеджмента имеют дело с процессами, зависящими от большого числа факторов. Проследить все связи и учесть при исследовании все факторы, обеспечить их стабильность и регулируемость в ходе эксперимента не всегда представляется возможным, потому что определяемые ими явления проявляются случайным образом. Эти обстоятельства обусловливают сложности, связанные с выявлением закономерностей и структурных взаимосвязей этих факторов.
   Наблюдения и измерения в экономической практике разнообразных показателей: прожиточного минимума, среднего числа детей в семье, поведения биржевых и рыночных цен, результатов различного рода опросов граждан, природных и экологических наблюдений, производственных проблем качества продукции, таблиц продолжительности жизни, страхования и пр. — содержат большой по объему и разнородный по структуре материал, а также элементы неполноты информации и случайный характер этой информации.
   Необходимость принятия решений в подобных ситуациях вызывает потребность использования математического аппарата теории вероятностей и математической статистики, ибо вероятностно-статистические методы позволяют обоснованно выбрать стратегию принятия экономических, маркетинговых и управленческих решений в условиях ограниченного статистического материала, содержащего случайную составляющую.
   Первые исследования закономерностей случайных событий и разработка методов их количественных оценок появились в результате интереса

3

к азартным играм. Так, в ходе переписки (1654 г.) по решению задачи кавалера де Мере о справедливом распределении ставок между игроками в прерванной игре Б. Паскаль и П. Ферма установили, что «вероятность» есть некоторая величина, доступная измерению, а Х. Гюйгенс (1657 г.) в книге «О расчетах в азартных играх» обобщил полученные результаты.
   Важным обстоятельством для развития методов теории вероятностей и математической статистики явилось появление страховых компаний. В работах Э. Галлея (1693) и Де Муавра (1718) рассматриваются расчеты по определению страховых взносов при страховании жизни, вводя идеологию вероятностного подхода, опирающегося на идеи, впоследствии сформулированные в законе больших чисел и предельных теоремах. Одна из первых страховых компаний (образована в Лондоне в 1762 г.) на пост актуария (счетовода) компании в 1775 г. привлекла математика.
   Дальнейшее развитие теория вероятностей и математическая статистика получили в XVIII в. в работах Я. Бернулли, П. Лапласа, С. Пуассона и К. Гаусса, и достигли расцвета в XIX—XX вв. Методы, разработанные в работах знаменитого отечественного математика П. Чебышева, позволили по-новому рассмотреть ранее поставленные задачи, а ученики его школы А. Марков и А. Ляпунов получили результаты, имеющие важное значение для приложений.
   Работы современных математиков А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, Р. Фишера, Э. Пирсона, Н.В. Смирнова и др. позволили решить задачи, связанные с теорией прогнозирования и принятия решений, и легли в основание нового направления теории вероятностей и математической статистики — эконометрики, без использования методов которой в настоящее время невозможно обеспечить высокий уровень экономического образования.
   Целью нового издания учебного пособия является развитие умений и закрепление навыков математической деятельности у студентов, аспирантов и специалистов в области экономики, маркетинга, финансов, по использованию методов теории вероятностей и математической статистики в реальной деятельности по анализу поведения участников рынка, а также формирование фундаментальной базы для изучения серьезного курса эконометрики. Для этого расширены контекстные задачи, рассматривающие важнейшие методы и приемы обработки результатов наблюдений. Переработан материал седьмого раздела, дополнительно даны методические указания к использованию некоторых статистических таблиц. Обновлен библиографический список.
   В учебном пособии объединен опыт преподавания курса теории вероятностей и математической статистики преподавателями кафедры высшей математики Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова.
   В написании учебного материала приняли участие: проф. В.И. Матвеев (разд. 1—6, 8, 9, 11, 12, 16—18, п. 15.1), Р.В. Сагитов (предисловие, разд. 7, 13), Е.В. Швед (разд. 10); доценты Л.Г. Бирюкова (разд. 14), Г.И. Бобрик (п. 12.4, 15.2).
   Общее руководство и редактирование учебного пособия осуществлено проф. В.И. Матвеевым.

Часть I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ






1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

1.1. Случайные события

   Вероятностным событием будем называть некоторое явление, которое происходит в результате действия определенных закономерностей, имеющих объективную природу, но не всегда поддающихся полномасштабному описанию и всесторонним измерениям. Возникновение таких событий характеризуется совокупностью условий, при которых они могут произойти или не произойти. В силу этого они получили наименование случайных событий.
   В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые практически невозможно учесть. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.
   Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие. Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта, или эксперимента.
   Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.
   Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

5

      Пример. Выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.
   Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события. Это понятие предполагает, что рассматриваемое событие может проявляться в массовых явлениях и служит общей, устойчивой характеристикой данного события. Случайность события состоит в том, что в конкретном опыте оно может и не произойти, но при исследовании всей совокупности опытов определение общих закономерностей, связанных со случайными событиями, оказывается очень важным. Знание обобщенных характеристик случайных событий позволяет находить обоснованные решения в различных, в том числе и экономических, задачах.


1.2. Алгебра событий

   События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.
   Суммой событий А₁, А₂, ... , Ап называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий:
                                      п
А₁ + А₂ +... + Ап = \ А.
                                     i=i
   В качестве примера суммы событий А₁ + А₂ можно назвать появление в магазине хотя бы одного из двух товаров, где А₁ — появление в магазине одного товара, А₂ — появление в магазине другого товара.
   Произведением событий А₁, А₂, ..., Ап называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий:
АГА ... Ап =Г!А,                                    i=1
   Событие, состоящее в появлении в магазине двух товаров одновременно, является произведением событий А₁ ■ А₂, где А₁ — появление одного товара, А₂ — появление другого товара.

6

   События В₁, В₂, ..., Bₖ образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.
      Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: В₁ — отсутствие судов у причалов, В₂ — присутствие одного судна у одного из причалов, В₃ — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.
   Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.
   Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить А, то противоположное событие обычно обозначают А.
   Сумма событий А₁, А₂, ..., Ап называется также объединением событий. Для суммы, или объединения, событий кроме введенного выше обозначения используется символ U. В этом случае сумма событий записывается в виде
                                      п
А и А2 и ... и Ап = и 4.
                                      i=1

   Произведение событий А₁, А₂, ..., Ап называется еще пересечением событий. Для произведения, или пересечения, вводится символ А. Поэтому произведение, или пересечение, событий записывают также в виде
                                      п
АА А2 а ... А Ап = А А.
                                      i=1
   Кроме понятий суммы и произведения событий используется еще понятие разности событий.
   Разностью событий А₁ и А₂ называется такое событие А₁ - А₂, которое состоит в том, что событие А₁ произошло, а событие А₂ не произошло. Это означает, что из события А₁ исключаются те случаи, когда происходит одновременное появление событий А₁ и А₂, т.е. произведение этих событий.


1.3. Элементы комбинаторики

   При непосредственном вычислении вероятности используется комплекс различных исходов, получаемых путем комбинирования подмножеств некоторого конечного множества.

7

   Рассмотрим примеры.
      Пример 1. Трудовой коллектив из 30 человек должен выбрать руководителя и его заместителя. Сколько существует способов их выбора, если каждый член коллектива может быть либо руководителем, либо его заместителем?
      Очевидно, что имеется 30 способов выбора руководителя, так как в коллективе 30 человек. Но тогда каждый из оставшихся 29 человек может быть выбран заместителем. Значит, любой из 30 способов выбора руководителя может осуществляться с 29 способами выбора его заместителя. Поэтому существует 30 ■ 29 = = 870 способов выбора руководителя и заместителя.
      Пример 2. Для проведения устного экзамена по математике создается комиссия из двух человек. Сколько различных комиссий можно организовать, если имеется пять преподавателей?
      Обозначим преподавателей буквами А, В, С, D, F и выпишем возможные варианты состава комиссии:

           АВ, АС, AD, AF,

ВС,

BD, CD,

BF
CF

— всего 10 вариантов.

>

DF


      Пример 3. К условиям предыдущего примера добавим требование, состоящее в том, что один из преподавателей должен быть назначен старшим. Сколько в таком случае будет вариантов комиссии?
      Будем ставить старшего преподавателя на первое место. Тогда сформируются следующие множества:

АВ, АС, AD,  AF
ВА, ВС, BD,  BF
СА, СВ, CD,  CF
ЛА, DB, /)С. DF
М,  FB, FQ   FD

— всего 20 вариантов.

   Пусть имеется множество, состоящее из п элементов.
   Размещением из п элементов по т называется каждое подмножество множества А, состоящее из т элементов, которое отличается от других подмножеств либо самими элементами, либо порядком расположения элементов.

8

   В примере 3 каждая пара элементов является размещением из пяти элементов по два.
   Чтобы определить общее число размещений из п элементов по т, можно воспользоваться следующей схемой формирования подмножеств по т элементам.
   Первый элемент подмножества может быть выбран п способами, так как общее число элементов п. Тогда для выбора второго элемента подмножества остаются п - 1 элемент. Значит, всего способов выбора будет п(п - 1). Для выбора третьего элемента останется уже п - 2 элемента. А всего будет п(п - 1)(п - 2) способов формирования трех элементов.
   Для т элементов будет п(п -1)(п-2)... (п-т+1) способов формирования т элементов. Таким образом, общее число размещений из п элементов по т определится по формуле

Апт = п(п - 1)(п - 2) ... (п - т + 1).  (1.1)


   Умножим и разделим выражение (1.1)на(п - т)!, где (п - т)! = = 1 • 2 • 3 ... (п — т). Тогда получим

^т _ п(п- 1)(п-2)... Т _ п! п (п - т)!            (п - т)!


зт ^п

п!
(п - т)!


(1.2)

   Формула (1.2) определяет число размещений из п элементов по т.
   Перестановками из п элементов называют их комбинации, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов.
   На основании формулы (1.1) при т = п получается число перестановок из п элементов:

Рп = п!.                     (1.3)

      Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
      Чтобы число, составленное из данных цифр, делилось на 5, необходимо, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Осталь

9

   ные пять цифр могут стоять в любом порядке, и их комбинации — это перестановки из пяти цифр:
Р₅ = 5!=1 ■ 2 ■ 3 ■ 4 ■ 5 = 120.
   Всевозможные комбинации из данных п элементов по т в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями из п элементов по т (см. пример 2).
   Обозначим число сочетаний из п элементов по т через С'т. Из каждого подмножества перестановками его элементов можно получить упорядоченные подмножества. Число их будет т!. Тогда число размещений из п элементов по т найдется в виде


                           С _ т !С„т, откуда
Дт     П!
Ст _ дп _____п •__
п  т! т !(п - т)!

Подсчитаем, например, с3₀ :

(1.4)

С³ С10 _

10!
3!7!

8■9■10
1 ■ 2 ■ 3

_ 120.

   В некоторых случаях оказывается необходимым определение таких комбинаций, в которых элементы могут повторяться.
   Если в размещениях из п элементов по два первый элемент может быть выбран п способами, то и второй элемент тоже может выбираться п способами, так как на втором месте может оказаться любой элемент. Поэтому число размещений из п элементов по два будет ДЗ = п². Если взять комбинации, состоящие из трех элементов, и предположить, что все элементы могут повторяться, то получается формула Д^ = п³ и т.д.
   В результате число размещений из п элементов по т с повторениями любого элемента до т раз будет равно


*
< _ пт.

(1.5)

   Если теперь рассмотреть сочетания из п элементов по т и пред

положить, что в комбинации возможны повторения, т.е. выбор элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из п элементов, но и еще до (т - 1) раза одного из этих элементов, то общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до (п + т - 1) элементов.

10