Теория вероятностей и математическая статистика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

серия основана в 1996 г.

Министерство образования Российской Федерации
Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под редакцией профессора В.И. Ермакова

Рекомендовано
         Учебно-методическим объединением по образованию в области экономики и экономической теории в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 080100 Экономика, 080200 Менеджмент, 080300 Бизнес-информатика


znanium.com

Москва ИНФРА-М 2004

Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту 3-го поколения

УДК 311(075.8)
ББК 60.6я73

     Т11


Авторы:
Л.Г. Бирюкова, Г.И. Бобрик, В.И. Ермаков, В.И. Матвеев, Р.В. Сагитов, Е.В. Швед


Рецензенты: зав. кафедрой статистики Московского банковского института, д-р экон. наук, проф. Б.И. Искаков, д-р техн. наук, проф. Г.Л. Бродецкий








         Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 287 с. — (Высшее образование).
         ISBN 978-5-16-004996-0
         В книге излагаются основные сведения по теории вероятностей и математической статистике, необходимые студентам и аспирантам экономических вузов в учебном процессе и научной работе, а также экономистам различных направлений в их практической деятельности.


УДК 311(075.8)
                                                      ББК60.6я73














ISBN 978-5-16-004996-0

© Коллектив авторов, 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

  Проведение экономических исследований, оценка хозяйственной деятельности предприятий, микро- и макроэкономических показателей, прогноз этих показателей на будущее невозможны без использования математического аппарата теории вероятностей и математической статистики. Этот аппарат позволяет получать наиболее вероятные количественные значения экономических показателей, устанавливать связь между различными случайными параметрами и принимать обоснованные решения в экономике.
  К настоящему времени разработано достаточное количество учебников и учебных пособий по теории вероятностей и математической статистике с глубоким обоснованием основных теоретических положений. Однако возникла необходимость в разработке более доступных и компактных учебников и пособий для подготовки студентов вузов и колледжей общеэкономического профиля, а также для использования в практической работе экономистами. Этой задаче в основном соответствовали подготовленные и выпущенные преподавателями кафедры высшей математики Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова работы, которые опирались на соответствующие стандарты и учебные планы подготовки экономиста широкого профиля [35, 36, 42, 49].
  В последнее время возникли новые требования к уровню математического образования экономиста. Министерством образования Российской Федерации составлен Стандарт подготовки специалиста-экономиста в высших учебных заведениях, который предусматривает более глубокие знания математики у студентов [20]. Это привело к определенному изменению учебных планов и программ подготовки экономиста, а также потребовало доработки и совершенствования учебно-методической литературы.
  Данный курс теории вероятностей и математической статистики предусматривает расширение излагаемого ранее материала, а также включение новых, не рассматриваемых ранее в курсе разделов. В то же время авторы стремились сохранить достаточную

3

простоту изложения материала, чтобы предлагаемый курс мог быть усвоен широким кругом студентов и учащихся различных учебных заведений экономического направления.
   Основные изменения коснулись материалов по математической статистике:
— доработан и расширен материал по проверке статистических гипотез;
— введен раздел по корреляционному анализу;
— расширены разделы регрессионного и факторного анализа с включением в них множественных моделей;
— представлен раздел по временным рядам;
— включен материал дискриминантного анализа;
— изложен материал по основам теории систем массового обслуживания;
— даны основные положения метода статистических испытаний.
   Данный курс теории вероятностей и математической статистики соответствует программе подготовки студентов экономических специальностей и может быть использован как пособие и справочный материал в практике экономистов широкого профиля.
   В написании материала принимали участие: проф. В.И. Ермаков (раздел 7), проф. В.И. Матвеев (разделы 1—6, 8, 9, 11, 12, 16— 18, п. 15.1), проф. Р.В. Сагитов (раздел 13), доцент Е.В. Швед (раздел 10), доцент Л.Г. Бирюкова (раздел 14), доцент Г.И. Бобрик (п. 12.4, 15.2).
   Общее руководство, редактирование и доработка осуществлены проф. В.И. Ермаковым.

Часть I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ






1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

1.1. Случайные события

   Вероятностным событием будем называть некоторое явление, которое происходит в результате действия определенных закономерностей, имеющих объективную природу, но не всегда поддающихся полномасштабному описанию и всесторонним измерениям. Возникновение таких событий характеризуется совокупностью условий, при которых они могут произойти или не произойти. В силу этого они получили наименование случайных событий.
   В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые практически невозможно учесть. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.
   Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие. Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта, или эксперимента.
   Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.
   Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

5

      Пример. Выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.
   Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события. Это понятие предполагает, что рассматриваемое событие может проявляться в массовых явлениях и служит общей, устойчивой характеристикой данного события. Случайность события состоит в том, что в конкретном опыте оно может и не произойти, но при исследовании всей совокупности опытов определение общих закономерностей, связанных со случайными событиями, оказывается очень важным. Знание обобщенных характеристик случайных событий позволяет находить обоснованные решения в различных, в том числе и экономических, задачах.


1.2. Алгебра событий

   События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.
   Суммой событий А₁, А^,... , Ап называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий:
А + А₂ +... + Ап = ^А.
                                     i=1
   В качестве примера суммы событий А₁ + А₂ можно назвать появление в магазине хотя бы одного из двух товаров, где А₁ — появление в магазине одного товара, А₂ — появление в магазине другого товара.
   Произведением событий А₁, А₂, ..., Ап называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий:
А1-А2- Ап =ПА,.
i=1
   Событие, состоящее в появлении в магазине двух товаров одновременно, является произведением событий А₁ • А₂, где А₁ — появление одного товара, А₂ — появление другого товара.

6

   События В,, В₂, ..., Вк образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.
     Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: В, — отсутствие судов у причалов, В₂ — присутствие одного судна у одного из причалов, В₃ — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.
   Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.
   Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить А, то противоположное событие обычно обозначают А.
   Сумма событий А,, А₂, ..., Ап называется также объединением событий. Для суммы, или объединения, событий кроме введенного выше обозначения используется символ U ■ В этом случае сумма событий записывается в виде
                                    п
АUАи ... UАп = иА.
                                   i=1
   Произведение событий А,, А₂, ..., Ап называется еще пересечением событий. Для произведения, или пересечения, вводится символ П. Поэтому произведение, или пересечение, событий записывают также в виде
                                    п
АПАП ... ПАп = ПА.
                                   i=1
   Кроме понятий суммы и произведения событий используется еще понятие разности событий.
   Разностью событий А, и А₂ называется такое событие А, - А₂, которое состоит в том, что событие А, произошло, а событие А₂ не произошло. Это означает, что из события А, исключаются те случаи, когда происходит одновременное появление событий А, и А₂, т.е. произведение этих событий.


1.3. Элементы комбинаторики

   При непосредственном вычислении вероятности используется комплекс различных исходов, получаемых путем комбинирования подмножеств некоторого конечного множества.

7

   Рассмотрим примеры.
      Пример 1. Трудовой коллектив из 30 человек должен выбрать руководителя и его заместителя. Сколько существует способов их выбора, если каждый член коллектива может быть либо руководителем, либо его заместителем?
      Очевидно, что имеется 30 способов выбора руководителя, так как в коллективе 30 человек. Но тогда каждый из оставшихся 29 человек может быть выбран заместителем. Значит, любой из 30 способов выбора руководителя может осуществляться с 29 способами выбора его заместителя. Поэтому существует 30 ■ 29 = = 870 способов выбора руководителя и заместителя.
      Пример 2. Для проведения устного экзамена по математике создается комиссия из двух человек. Сколько различных комиссий можно организовать, если имеется пять преподавателей?
      Обозначим преподавателей буквами А, В, С, D, F и выпишем возможные варианты состава комиссии:

           АВ, АС, AD, AF,

ВС, BD,
CD,

BF

CF

— всего 10 вариантов.

DF


      Пример 3. К условиям предыдущего примера добавим требование, состоящее в том, что один из преподавателей должен быть назначен старшим. Сколько в таком случае будет вариантов комиссии?
      Будем ставить старшего преподавателя на первое место. Тогда сформируются следующие множества:

АВ, АС, AD, AF
ВА, ВС, BD, BF
СА, СВ, CD, CF
ПА, DB, D^  DF
РА, FB, Fa  FD

— всего 20 вариантов.

   Пусть имеется множество, состоящее из п элементов.
   Размещением из п элементов по т называется каждое подмножество множества А, состоящее из т элементов, которое отличается от других подмножеств либо самими элементами, либо порядком расположения элементов.

8

   В примере 3 каждая пара элементов является размещением из пяти элементов по два.
   Чтобы определить общее число размещений из п элементов по т, можно воспользоваться следующей схемой формирования подмножеств по т элементам.
   Первый элемент подмножества может быть выбран п способами, так как общее число элементов п. Тогда для выбора второго элемента подмножества остаются п - 1 элемент. Значит, всего способов выбора будет п(п - 1). Для выбора третьего элемента останется уже п - 2 элемента. А всего будет п(п - 1)(п - 2) способов формирования трех элементов.
   Для т элементов будет п(п - 1)(п - 2) ... (п - т + 1) способов формирования т элементов. Таким образом, общее число размещений из п элементов по т определится по формуле

А^ = п(п - 1)(п - 2) ... (п - т + 1).   (1.1)


   Умножим и разделим выражение (1.1) на (п - т)!, где (п - т)! = = 1 • 2 • 3 ... (п — т). Тогда получим

,т _ п(п - 1)(п - 2)... Т _ п!
п      (п - т)!     (п - т)!’


дт _    п!
п  (п - т)!


.

(1.2)

   Формула (1.2) определяет число размещений из п элементов по т.
   Перестановками из п элементов называют их комбинации, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов.
   На основании формулы (1.1) при т = п получается число перестановок из п элементов:

Рп = п!.                      (1.3)

      Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
      Чтобы число, составленное из данных цифр, делилось на 5, необходимо, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Осталь

9

   ные пять цифр могут стоять в любом порядке, и их комбинации — это перестановки из пяти цифр:
Р₅ = 5!=1 ■ 2 ■ 3 ■ 4 ■ 5 = 120.
   Всевозможные комбинации из данных п элементов по т в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями из п элементов по т (см. пример 2).
   Обозначим число сочетаний из п элементов по т через С%. Из каждого подмножества перестановками его элементов можно получить упорядоченные подмножества. Число их будет т!. Тогда число размещений из п элементов по т найдется в виде


                          < = т спт, откуда
Лт      П!
Ст = дп =____п •__
п т! т !(п - т)!

Подсчитаем, например, Q³₀ :

(1.4)

3 _ 10!
¹⁰ 3!7!

8■9■10
1 ■ 2 ■ 3

= 120.

   В некоторых случаях оказывается необходимым определение таких комбинаций, в которых элементы могут повторяться.
   Если в размещениях из п элементов по два первый элемент может быть выбран п способами, то и второй элемент тоже может выбираться п способами, так как на втором месте может оказаться любой элемент. Поэтому число размещений из п элементов по два будет Д = п². Если взять комбинации, состоящие из трех элементов, и предположить, что все элементы могут повторяться, то получается формула Д = п³ и т.д.
   В результате число размещений из п элементов по т с повторениями любого элемента до т раз будет равно


вW
< = пт.

(1.5)

   Если теперь рассмотреть сочетания из п элементов по т и предположить, что в комбинации возможны повторения, т.е. выбор

элементов комбинации осуществляется не только по одному разу из п элементов, но и еще до (т - 1) раза одного из этих элементов, то общее число элементов, из которых осуществляется комбинация, следует увеличить до (п + т - 1) элементов.

10