Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 11 класс : пособие для учителя

ПО АЛГЕБРЕ  
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

ПОУРОЧНЫЕ 
РАЗРАБОТКИ

А. Н. РУРУКИН, И. А. МАСЛЕННИКОВА,  
Т. Г. МИШИНА

к УМК А.Г. Мордковича и др.  
(М.: Мнемозина)

11 класс

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

© ООО «ВАКО», 2014
ISBN 978-5-408-05238-7

Рурукин А.Н.
Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 
11 класс : пособие для учителя / А.Н. Рурукин, И.А. Масленникова, Т.Г. Мишина. – 2-е изд., эл. – 1 файл pdf : 304 с. – 
Москва : ВАКО, 2020. – (В помощь школьному учителю). – 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital 
Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05238-7

Пособие представляет собой подробные поурочные разработки по алгебре и началам математического анализа для 11 класса 
к УМК А.Г. Мордковича и др. (М.: Мнемозина) и содержит весь необходимый педагогу материал для качественной подготовки к урокам: 
детальные поурочные планы, методические советы и рекомендации, 
творческие задания, тесты, подробный разбор контрольных и зачетных 
работ. Предлагаемый материал достаточен для проведения полноценных уроков в классах и группах различного уровня, позволяет не только 
глубоко изучить программу 11 класса по предмету, но и целенаправленно и эффективно подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ.
Издание будет полезно как начинающим педагогам, так и преподавателям с опытом работы.
Подходит к учебникам «Алгебра и начала математического анализа 
(базовый уровень)» в составе УМК А.Г. Мордковича, П.В. Семёнова 
2008–2015 гг. выпуска, также выходившим в качестве учебного пособия 
в 2016–2019 гг.

Р87

УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21
 
Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Поурочные разработки по 
алгебре и началам анализа. 11 класс : пособие для учителя / А.Н. Рурукин, 
И.А. Масленникова, Т.Г. Мишина. – Москва : ВАКО, 2014. – 304 с. – (В помощь школьному учителю). – ISBN 978-5-408-01417-0. – Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21

 
 
 
 
 
 
 
 
Предисловие 
 
В 11 классе продолжается изучение нового раздела математики – 
начал математического анализа. Этот раздел характеризуется 
своеобразными логикой, подходами, методикой. Поэтому очень 
важно сразу заложить четкое и грамотное понимание основ высшей 
математики. Помимо подготовки к экзамену, такое понимание будет 
способствовать усвоению высшей математики в вузе (напомним, что 
в вузах математический анализ изучается 2 года). Также в 11 классе 
рассматриваются элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Кроме того, в этом классе продолжается изучение алгебры − детально рассматриваются степенные, показательные, логарифмические функции, уравнения и неравенства. 
11 класс необходимо рассматривать как целенаправленную подготовку к сдаче ЕГЭ, так как варианты этого экзамена содержат 
значительное количество задач, содержащих изучаемый материал. 
Цели данного пособия: изучить материал по алгебре и началам математического анализа, подготовиться по этим разделам к успешной 
сдаче ЕГЭ и быть готовым использовать полученные знания при 
обучении в вузе. Пособие составлено для УМК А.Г. Мордковича и др. 
(М.: Мнемозина). Нумерация задач в поурочных планах соответствует задачнику этого УМК. 
В пособии подробно рассмотрено содержание каждого урока. Несколько расширен изучаемый материал: более детально рассмотрены 
типы иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, систем уравнений, неравенств; изучены и систематизированы 
способы интегрирования функций; более широко представлено применение интегралов в математике и физике. Изложение материала 
вполне доступно для одиннадцатиклассников, развивает их интерес 
к изучению предмета и дает более цельное представление об изучае

Предисловие 
 
4 

мых темах. Кроме того, приведенные дополнения подготавливают 
школьников к успешной сдаче ЕГЭ и дальнейшему эффективному 
обучению в вузе. 
Предусмотрены следующие виды фронтального контроля успеваемости: самостоятельные работы, письменные опросы, тесты, контрольные работы, зачетные работы. 
Контрольные работы имеют три степени сложности. Выбор степени сложности определяется учителем или учеником. При этом за 
решение более сложной контрольной работы ученик поощряется 
дополнительным баллом к оценке. В контрольной работе всегда на 
одну задачу больше, чем необходимо для получения высшей оценки. 
Наличие лишней задачи подразумевает некоторую свободу выбора 
для учащихся. 
Зачетные работы приведены для коррекции результатов контрольных работ. Задачи работы разбиты на три блока по степени сложности и оцениваются разным количеством баллов. Необходимое для 
получения оценки количество баллов может быть набрано из разных 
блоков. Даже для получения высшей оценки необходимо решить не 
более половины задач варианта. Поэтому у учащихся имеется значительная свобода выбора задач. 
В конце обучения проводится итоговая контрольная работа, в которой проверяются навыки и умения учащихся по основным (базовым) темам. 
Все контрольные и зачетные работы приведены с ответами, для 
наиболее сложных задач дано их полное решение. Ответы и разбор 
задач могут быть использованы для размещения на стенде, так как 
разобрать все задачи на уроке невозможно, да и нецелесообразно. 
В целом пособие составлено таким образом, чтобы оптимизировать подготовку учителя к уроку и сэкономить его время. Приведены 
подробные поурочные планы, методические советы и рекомендации, 
творческие задания. Предлагаемый материал достаточен для проведения уроков в классах и группах различного уровня, позволяет не 
только глубоко изучить программу 11 класса по предмету, но и целенаправленно подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ. 

Рекомендации  
к проведению уроков 
 
Разумеется, все изложенное носит исключительно рекомендательный характер. Определяющими факторами являются подготовленность класса, его работоспособность, интерес к изучению алгебры. Поэтому ни одно планирование не может являться догмой. 
Весь ход урока должен способствовать обучению школьников. На 
наш взгляд, пусть каждый школьник лучше усвоит тот материал, 
который в состоянии понять, чем не поймет ничего. В последнем 
случае ситуация принимает лавинообразный характер: у учащихся 
возникает комплекс неполноценности, к выполнению домашнего 
задания привлекаются все домочадцы, начинается списывание, подсказки, шпаргалки и т. д. В итоге результаты ужасающие – ЕГЭ по 
математике сдается школьниками хуже всех других предметов (примерно 20% выпускников пишут его на двойку). 
Другая причина, по которой нельзя создать универсальное пособие, − наличие нескольких различных вариантов обучения (с соответствующим тематическим планированием и различным количеством часов на обучение). При этом некоторые варианты обучения 
предусматривают использование дополнительных учебных пособий. 
В связи с этим данное пособие позволяет проводить занятия с использованием только одного базового учебника (82 ч в год). Содержание уроков является избыточным (в расчете на очень сильный, 
подготовленный класс). При необходимости часть материала опускается либо излагается достаточно поверхностно. При подробном, 
детальном изложении материала его вполне хватает на максимальный вариант. Учитывая сложность материала, проведение контрольных работ и тематических зачетов, желательно иметь в расписании 
сдвоенные уроки математики. 
 
Поурочное планирование включает в себя четыре вида занятий: 
1. Урок изучения нового материала. 
2. Урок отработки и закрепления пройденного материала. 
3. Контрольная работа. 
4. Тематический зачет. 
Рассмотрим эти виды занятий. 
1. Урок изучения нового материала включает в себя семь этапов. 
I. Сообщение темы и цели занятий делает учитель (~1÷2 мин). 
Необходимо донести до учащихся необходимость изучения данной 
темы (области применения этих знаний) и цель урока (навыки и 
приемы, которые должны быть усвоены в ходе проведения урока). 

Рекомендации к проведению уроков 
 
6 

II. Изучение нового материала (основные понятия) (~15 мин) 
возможно двумя путями. 
1. С помощью подсказок, примеров и наводящих вопросов учителя 
школьники самостоятельно (при фронтальной работе) приходят к 
формулировке основных понятий и правил рассматриваемого раздела алгебры. Затем учитель уточняет и корректирует эти результаты. 
Однако, учитывая, что многие понятия для учащихся незнакомы, 
такой путь можно рекомендовать лишь для самых простых тем либо 
отдельных фрагментов урока. 
2. Учитель формулирует основные понятия и правила, иллюстрируя их примерами. Такой подход требует меньше времени, но менее 
эффективен (всегда полезнее самостоятельно решить задачу, чем 
услышать объяснение ее решения). 
III. Контрольные вопросы по изучаемому материалу задает учитель для проверки усвоения и понимания возникающих понятий, 
терминов и т. д. (~5 мин). Вопросы можно задавать как индивидуально, так и фронтально. Следует обратить внимание именно на понимание понятий, а не на их механическое запоминание. Для этого 
рекомендуется кроме определения попросить учащегося привести 
соответствующие примеры. В случае затруднения такие примеры 
могут привести другие школьники или учитель. 
IV. Задание на уроке дает учитель из числа наиболее характерных, типовых задач (~15 мин). Задание может выполняться: 
1. Самостоятельно учащимися всего класса в тетрадях с последующим разбором кем-то из школьников (например, первым выполнившим задание) у доски. При этом желательна активная работа всех 
учащихся (поиск ошибок в решении на доске, вопросы по решению, 
другие способы решения и т. д.). 
2. В виде диалога учащихся за одной партой (решение задания, 
обмен тетрадями и взаимная проверка решения). 
3. В виде работы у доски одного или нескольких школьников. После выполнения задания возможны как взаимоконтроль учащихся у 
доски, так и подключение к проверке решения всего класса. Разумеется, при этом будет происходить и диалог учителя с отвечающим у 
доски. 
V. Задание на дом дается учителем из числа типовых, характерных задач, аналогичных рассмотренным в классе. Задание должно 
быть рассчитано на 60−80 мин. Если возможно, то желательно, чтобы учащимися были рассмотрены разные способы решения задачи. 
Это приводит к активизации мышления школьников, творческому 
пониманию материала и т. д. 

Рекомендации к проведению уроков 
 
7

При выполнении домашнего задания необходимо приучить школьников фиксировать непонятый материал: теоретические сведения, 
нерешенные задачи и т. д. Полезно научить школьников формулировать, что именно им непонятно. Четко сформулированный вопрос – 
это половина ответа на этот вопрос. Особенно такие навыки понадобятся учащимся при обучении в вузе. Разумеется, все возникающие 
вопросы и нерешенные задачи необходимо разобрать на ближайшем 
занятии по математике. 
VI. Во многих уроках предусмотрены творческие задания. Эти 
задания отличаются от приводимых в учебнике или большей сложностью, или нестандартностью формулировки, задания или новым 
способом решения. Поэтому рассмотрение подобных заданий очень 
полезно. В зависимости от подготовленности класса эти задания могут быть рассмотрены: 
1) на внеклассных занятиях (дополнительные занятия, кружки, факультативы и т. д.); 
2) со всеми учащимися как в качестве задания в классе, так и в качестве домашнего задания; 
3) дифференцированно с наиболее подготовленными школьниками 
или на уроке, или в виде домашнего задания; 
4) во время проведения математических боев, олимпиад, недель 
математики и т. д. 
Творческие задания выполняются в пределах отведенного времени 
на урок. 
VII. Подведение итогов урока (~1−2 мин) проводится учителем  
с учетом самостоятельной работы школьников, ответов у доски, отдельных дополнений, вопросов, комментариев учащихся. За все эти 
виды деятельности выставляются оценки с их кратким обоснованием. 
2. Урок на отработку и закрепление пройденного материала 
отличается этапом II. Теперь на этом этапе предусмотрено повторение и закрепление пройденного материала (~20 мин). Прежде всего, 
оно включает ответы на вопросы по домашнему заданию. Желательно, чтобы такие ответы давались самими учащимися класса. Вопросы могут включать в себя непонятые понятия, определения, термины 
и другой теоретический материал. По-видимому, возникнет и необходимость разбора нерешенных задач. 
В этой части урока желательна максимальная активность всего 
класса. Школьник, объясняя и комментируя свое решение задачи, 
лучше усваивает изучаемый материал. Кроме того, его объяснения 
могут оказаться более удобными для понимания ровесниками, чем 

Рекомендации к проведению уроков 
 
8 

объяснения учителя. Ориентировочное время на такую стадию этапа II ~ 5−10 мин. 
На второй стадии этого этапа предусмотрен контроль усвоения материала (письменный опрос или самостоятельная работа), на который отводится ~ 10−15 мин. 
Письменный опрос содержит теоретический вопрос и 1−2 задачи, 
аналогичные заданию в классе и домашнему заданию. При проверке 
ответа на теоретический вопрос следует в первую очередь обращать 
внимание на его понимание, а не на строгость и четкость формулировок (тем более что строгие формулировки некоторых понятий будут даны только в вузе). 
Самостоятельная работа включает 2−3 типовые характерные задачи. 
В материалах уроков тесты используются в небольшом количестве для наиболее простых тем. Это связано с тем, что тестирование не 
дает возможности выявить причину ошибки: непонимание темы, 
невнимательность, пробелы в предыдущем материале, арифметические ошибки и т. д. 
3. По каждой изучаемой теме приводятся контрольные работы. 
Они составлены в шести вариантах различной сложности (варианты 
1, 2 − самые простые, варианты 3, 4 − сложнее, 5, 6 − самые сложные). Вариант содержит 6 задач, из которых две последние чуть 
сложнее предыдущих. Как правило, задачи вариантов подобны задачам, решаемым в классе и дома. Выбор вариантов может быть сделан или самими учащимися (с учетом их самооценки), или учителем 
(с учетом успехов школьника). 
Оценка контрольной работы может быть выполнена следующим 
образом: в вариантах 1, 2 за любые пять решенных задач ставится 
оценка «5», за четыре задачи – оценка «4», за три задачи – оценка 
«3». Шестая задача дает учащимся некоторую свободу выбора и определенный резерв. При таких же критериях за решение заданий вариантов 3, 4 добавляется 0,5 балла; заданий вариантов 5, 6 – добавляется 1 балл (учитывая большую сложность их заданий). 
Контрольная работа рассчитана на два урока (на наш взгляд, это 
оптимальное время для написания работы). Изучаемый в 11 классе 
материал достаточно сложен. Предлагаемые задачи требуют раздумья и времени. Поэтому одного урока на проведение контрольной 
работы недостаточно. При необходимости за счет уменьшения количества задач или за счет некоторого либерализма при проверке контрольная работа может быть проведена и за один урок. 
После каждой контрольной работы проводятся ее анализ и разбор 
наиболее сложных задач. Ко всем заданиям вариантов 1−4 приведе

Рекомендации к проведению уроков 
 
9

ны ответы, задания вариантов 5, 6 разобраны. Полезно после контрольной работы вывешивать на стенде в классе разбор заданий всех 
вариантов. Заметим, что за счет дифференциации самих вариантов и 
заданий в них возможна некоторая необъективность оценок за контрольную работу. 
4. Чтобы устранить подобную необъективность, дать возможность 
повышения оценок у учащихся, еще раз повторить и закрепить 
пройденную тему, на последнем занятии проводится письменный 
тематический зачет. Ему предшествует урок на повторение данной 
темы. 
Тематический зачет предложен в двух равноценных вариантах. 
Задания каждого варианта разделяются по сложности на три группы 
(группа A − самые простые задачи, группа B − более сложные задачи 
и группа C − самые сложные задачи). Каждая задача из A оценивается в 1 балл, из B – в 2 балла, из C – в 3 балла. Поэтому за правильное 
решение всех задач блока A можно получить 7 баллов, блока B –  
8 баллов и блока C − 9 баллов (всего 24 балла). Оценку «3» ставят за 
6 баллов, оценка «4» − за 10 баллов, оценка «5» − за 14 баллов. 
 

Тематическое планирование  
учебного материала 
 
I полугодие (48 ч) 

Глава 6. Степени и корни. Степенные функции (15 ч) 
Понятие корня n-й степени из действительного числа (2 ч) 
Функции 
,
n
y
x
=
 их свойства и графики (2 ч) 
Свойства корня n-й степени (2 ч) 
Преобразование выражений, содержащих радикалы (3 ч) 
Контрольная работа № 1 (1 ч) 
Обобщение понятия о показателе степени (2 ч) 
Степенные функции, их свойства и графики (3 ч) 
 
Глава 7. Показательная и логарифмическая функции (24 ч) 
Показательная функция, ее свойства и график (3 ч) 
Показательные уравнения и неравенства (3 ч) 
Контрольная работа № 2 (1 ч) 
Понятие логарифма (1 ч) 
Функция y = logax, ее свойства и график (2 ч) 
Свойства логарифмов (2 ч) 
Логарифмические уравнения (3 ч) 
Контрольная работа № 3 (1 ч) 
Логарифмические неравенства (3 ч) 
Переход к новому основанию логарифма (2 ч) 
Дифференцирование показательной и логарифмической функций (2 ч) 
Контрольная работа № 4 (1 ч) 
 
Глава 8. Первообразная и интеграл (9 ч) 
Первообразная (3 ч) 
Определенный интеграл (3 ч) 
Контрольная работа № 5 (1 ч) 
Резервные уроки (2 ч) 
 
 
II полугодие (34 ч) 

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики 
и теории вероятностей (11 ч) 
Статистическая обработка данных (2 ч) 
Простейшие вероятностные задачи (2 ч) 
Сочетания и размещения (2 ч)