Проектирование цифровых систем автоматического управления на основе теории z-преобразований

Н. И. ЖЕЖЕРА 
ПРОЕКТИРОВАНИЕ   
ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 
НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ   
Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Учебное пособие 
Москва 
Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2021 

УДК 681.5:620.165.29.008.6 (075.8) 
ББК 32.965я7 
Ж47 
Р е ц е н з е н т : 
кандидат технических наук, доцент кафедры управления и информатики  
в технических системах Оренбургского государственного университета В. В. Тугов 
Жежера, Н. И.  
Ж47  
Проектирование цифровых систем автоматического управления  
на основе теории z-преобразований : учебное пособие / Н. И. Жежера. – 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2021. – 244 с. : ил., табл. 
 
ISBN 978-5-9729-0549-2
Рассматривается проектирование на основе теории z-преобразований 
цифровых систем автоматического управления давлением газов в реакторе пиролиза изношенных шин, систем автоматического управления при контроле 
герметичности кабины вертолета и системы автоматического управления переменным разрежением газов в туннельной печи обжига керамических стеновых 
изделий.
Для студентов и аспирантов, изучающих автоматизацию технологических 
процессов и производств. Может быть полезно преподавателям соответствующих специальностей и специалистам в области автоматизации.
УДК 681.5:620.165.29.008.6 (075.8) 
ББК 32.965я7 
ISBN 978-5-9729-0549-2 
© Н. И. Жежера, 2021 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2021 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2021 

Содержание 
 
Введение……………………………………………………………………..……...7 
1 Структура цифровых систем  автоматического управления……………..……8 
1.1  О терминах по цифровым системам управления............................................8  
1.2  Иерархическая структура цифровых  систем  управления……...………..…8 
1.3 Общая схема проектирования цифровых систем управления…………..….10 
1.4 Общие сведения о структуре систем  управления с ЭВМ..…………….…..12 
2 Квантование непрерывных функций…………………………………..…..…..16  
2.1  Общие положения о  квантовании непрерывных  функций…….……....…16 
2.2 Теорема о квантовании………………………………………….……….……17   
2.3 Теорема  Шеннона…………………………………………………………….17 
2.4 Решетчатые функции…………………………………………….………....…20 
2.5 Производные для решетчатых функций…………………………….........….25  
2.6 Разностные уравнения…………………………………………….…….…….30 
2.7 Применение преобразования Лапласа для анализа   дискретных   
      функций времени…………………………………….…………………….….33   
2.8 Фиксирующие элементы….  ……………………………..……...….….…….34 
3 Теория z-преобразования……………………………………………..….……..38 
3.1 Определение z-преобразования……………………………………..…….….38 
3.2 Очередность нахождения z-преобразования непрерывной функции…...…39 
3.3  Способ определения   z-преобразований  дискретных   функций 
        по формуле разложения суммы………………………..........................…....40 
3.4 Замечания о понятиях корень, ноль  и полюс  функции………..…...…...…42 
3.5  Определение  z-преобразований  типовых функций…………..….……..…43  
3.6 Теоремы z-преобразования………………………………………...….…...…53    
3.6.1 Суммирование и вычитание……………….……………………..……..….53 
3.6.2 Свойство линейности решетчатых функций…………….………......…....54   
3.6.3 Z-преобразование функции  
t
x
 умноженной на константу a …….....…55 
3.6.4 Сдвиг во временной области. Теоремы о запаздывании  и  
         упреждении…….……………………………………………………...…….55  
3.6.5 Теорема об умножении оригинала на экспоненту (смещение  
          в  области изображений)………………………………………………..….57 
3.6.6 Теорема о начальном значении…………………………………………….59 
3.6.7  Теорема о конечном значении…………………………………….........….60 
 
3 

3.6.8  Теорема дифференцирования………………………………….………...…62 
3.6.9  Теорема о свертке во временной области………………………….......….63  
3.7  Обратное z-преобразование…………………………………………......…...65  
3.7.1  Метод разложения функции  
z
F
 на простые дроби………..….........…..65 
3.7.2 Формулы разложения  дробно-рациональных функций…….………........70 
3.7.3  Метод разложения  функций в степенной ряд (ряд Лорана)…….............73    
3.7.4 Метод, основанный на использовании формулы обращения………….....75 
4  Проектирование вариантов системы автоматического управления  
    давлением газов в реакторе пиролиза изношенных шин при  
    переменном давлении рециркулируемых газов……………….……….……..78 
4.1 Функциональная схема системы автоматического управления  (САУ)   
      давлением газов в реакторе пиролиза изношенных шин при  
      переменном давлении рециркулируемых газов……………………………..78 
4.2 Разработка САУ давлением газов в реакторе пиролиза изношенных   
      шин с использованием датчика давления как колебательного звена 
      и  электрического моторного исполнительного механизма.…………...…..82 
4.2.1 Разработка САУ давлением газов в реакторе пиролиза изношенных 
         шин с использованием датчика давления как колебательного звена   
         с теоретическими значениями постоянной времени и коэффициента   
         демпфирования и электрического моторного исполнительного   
         механизма (вариант 1)………………………………….……………...…....82 
4.2.1.1 Структурная схема САУ давлением газов в реакторе пиролиза 
            изношенных шин по варианту 1……………………………………….....82 
4.2.1.2 Передаточная функция управляемого процесса САУ давлением 
            газов в реакторе пиролиза изношенных шин по варианту ..……….......85 
4.2.1.3  Z-преобразование передаточной функции и построение частотных 
            характеристик управляемого процесса САУ давлением газов   
            в реакторе пиролиза по варианту 1……………………………………….91 
4.2.1.4 Выбор регулятора и построение частотных характеристик  
            САУ  давлением газов в реакторе пиролиза по варианту 1……….......114 
4.2.2 Разработка  САУ давлением газов в реакторе пиролиза изношенных 
         шин  с использованием датчика давления  как колебательного звена 
         с принятыми значениями постоянной времени и коэффициента   
         демпфирования и электрического моторного исполнительного    
         механизма (вариант 2)..…...…………….…………………………………120 
 
4 

4.2.2.1 Функциональная и структурная схемы САУ давлением газов 
            в реакторе пиролиза изношенных шин по варианту 2...………….…...120 
4.2.2.2 Z-преобразование передаточной функции и построение частотных 
            характеристик управляемого процесса САУ давлением  газов 
            в реакторе пиролиза по варианту 2………………………………..........121 
4.2.2.3 Выбор регулятора и построение частотных характеристик 
            САУ  давлением газов в реакторе пиролиза по варианту 2……...……125 
4.3 Разработка САУ давлением газов в реакторе пиролиза изношенных   
      шин с использованием датчика давления как апериодического звена   
      второго порядка и электрического моторного исполнительного   
      механизма (вариант 3)……………………………………………….............131 
4.3.1 Функциональная  и структурная схемы САУ давлением газов  
         в реакторе пиролиза изношенных шин по варианту 3…………….….....131 
4.3.2 Z-преобразование передаточной функции и построение частотных 
         характеристик управляемого процесса САУ давлением газов   
         в реакторе пиролиза по варианту 3………………………………….…....132 
4.3.3 Выбор регулятора и построение частотных характеристик 
         САУ  давлением газов в реакторе пиролиза по варианту 3…………......139 
4.4 Разработка САУ давлением газов в реакторе пиролиза изношенных 
      шин с использованием датчика давления как апериодического 
      звена  второго порядка и электромагнитного исполнительного   
      механизма (вариант 4)…………………………………………………...…..145 
4.4.1 Выбор электромагнита исполнительного механизма….…………….….145 
4.4.2 Функциональная и структурная схемы САУ давлением газов  
         в реакторе пиролиза изношенных шин по варианту 4……………..…....148 
4.4.3 Z-преобразование передаточной функции и построение частотных 
         характеристик управляемого процесса САУ давлением газов   
         в реакторе пиролиза по варианту 4………………………………….........149 
4.4.4 Выбор регулятора и построение частотных характеристик 
         САУ  давлением газов в реакторе пиролиза по варианту 4……………..152 
4.5 Переходные характеристики САУ давлением газов в реакторе  
      пиролиза изношенных шин (варианты 1-4)…….……………………..…...158 
4.6 Реализация выбранных дискретных регуляторов для САУ давлением 
      газов в реакторе пиролиза изношенных шин в виде импульсных 
      RC – фильтров  (варианты 2-4).……………….……...………………..……182 
 
5 

4.7 Установившиеся ошибки САУ давлением газов в реакторе пиролиза 
      изношенных шин (варианты 2-4).……………………………..……....……186 
5  Проектирование цифровой  системы  автоматического  управления 
    амплитудой периодических возмущений  давления пробного газа   
    при контроле герметичности кабины вертолета с использованием   
    горизонтальной  трубки…………………………………………………...….191  
6 Проектирование цифровой  системы  автоматического  управления  
   переменным разрежением газов в туннельной печи обжига   
   керамических стеновых  изделий………………………………………….…216 
Список использованных источников…………………………..…………........235 
ПРИЛОЖЕНИЕ А.  Таблица  z – преобразований………………..……...……238   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 

Введение 
 
В современном промышленном производстве особое значение приобретает развитие автоматизированных систем управления технологическими процессами и производствами. Внедрение автоматизированных систем управления 
в различные сферы хозяйственной деятельности способствует ускорению 
научно-технического прогресса.  
Специалист в области автоматизации технологических процессов и производств, занимающийся разработкой, монтажом и наладкой современных систем 
управления промышленным оборудованием, по характеру своей деятельности 
сталкивается как с теоретическими, так и с практическими задачами автоматизации. Решить эти задачи без глубокого знания теории  управления невозможно. 
Одним из разделов теории  управления является теория  проектирования цифровых систем автоматического управления на основе теории z – преобразований. 
Этим обстоятельством следует объяснить введение в учебный  план подготовки бакалавров и магистров по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств»  дисциплин  «Основы теории z – преобразований в автоматике», «Синтез цифровых систем автоматического управления»  и  
«Основы теории проектирования и исследования цифровых систем автоматического управления». 
В учебном пособии рассматриваются  структура цифровых систем  автоматического управления,  квантование непрерывных функций, основы  теории zпреобразования, теоремы z-преобразования и обратное z-преобразование.  Приводятся подробные описания проектирования  различных вариантов цифровой  
системы  автоматического управления давлением газов  в реакторе пиролиза изношенных шин при переменном давлении   рециркулируемых  газов,  проектирование цифровой  системы  автоматического  управления  амплитудой периодических возмущений  давления пробного газа   при контроле герметичности кабины вертолета с использованием  горизонтальной  трубки и  проектирование 
цифровой  системы  автоматического  управления    переменным разрежением 
газов в туннельной печи обжига  керамических стеновых  изделий. 
Учебное пособие  предназначено для  аспирантов, магистров и бакалавров  
специальности  «Автоматизация технологических процессов и производств», а 
также для научных работников и инженеров   при  проектировании цифровых 
систем автоматического управления. 
 
7 

Структура цифровых систем автоматического управления 
 
1.1  О терминах по цифровым системам управления  
 
В отечественной и иностранной переводной  литературе  используются 
следующие   термины  по цифровым системам автоматического управления: 
- цифровая система управления,  
- цифровое программное управление,  
- цифровое управление (в отличие от аналогового управления),  
- цифровые  автоматические  системы (ЦАС),  
- системы управления с ЭВМ (система управления с использованием  
ЭВМ),  
- микропроцессорные системы автоматического управления  (микропроцессорные САУ),  
- цифровые  системы автоматического управления   (цифровые САУ). 
 
1.2  Иерархическая структура цифровых  систем  управления 
 
Иерархическая многоуровневая структура цифровой системы управления  
[1, 2]  представлена  на рисунке 1.1.  
На первом уровне цифровой системы управления  производится непосредственное управление объектом по реально измеряемым координатам Y1 и Y2   
с помощью регуляторов с прямой и обратной связями. 
Объекты 1 и  2 на рисунке 1.1 - это может быть один и тот же объект, но в 
котором регулируются два параметра, например, давление  P и температура t, 
или это два конструктивно отдельных  объекта, например,  два паровых котла,  
работающих параллельно  на одну турбину или  на один паровой коллектор. 
Если управление проводится  по более, чем одной регулированной  величине (переменной),  тогда  такое  управление  называется многомерным. 
Сигналы W1 и W2 - это сигналы задающих переменных (сигналы задания), 
которые  могут  иметь постоянное  значение, либо непрерывно формироваться  
на более высоком уровне  системы управления. 
Второй уровень  многоуровневой  цифровой системы управления -  это 
уровень контроля за объектом управления, то есть уровень, на котором  производятся измерения необходимых  величин (параметров), сравниваются их 
 
8 

Уровень 5 
Организация  
управления 
Планирование, 
рынок, 
сырье, 
персонал 
Уровень 4 
Y1+Y2 
Координация 
Уровень 3 
Оптимизация 
 Оптимизация 
Уровень 2 
Контроль 
  Контроль 
W2 
W1 
Управление 
Управление 
Уровень1 
Y1 
Y2 
Объект 1 
Объект 2 
Рабочая 
среда 
Рабочая 
среда 
значения  с заданными значениями и формируются сигналы для системы управления,  для выдачи обслуживающему персоналу или  для формирования аварийных сигналов.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 1.1 – Многоуровневая структура  цифровой системы управления  
 
К третьему уровню цифровой системы управления относят процедуры 
оптимизации, при которых  максимизируются эффективность или выход продукции из объекта управления   или минимизируются потребление и стоимость. 
Например, часто оптимизируют установившееся состояние процесса, которое 
называется статистической оптимизацией. При оптимизации поиск экстремума 
производится целенаправленным изменением входных сигналов W1 или W2  в 
контуре  управления. 
Если управление многомерное (то есть,  несколько параметров регулируется), то их взаимодействие и координация осуществляется на четвертом 
уровне. Например, если имеются два котлоагрегата по производству пара, то 
 
9 

координация состоит в перераспределении нагрузки между ними: или каждый из 
двух   производит половину потребляемого производством (внешним)  пара,  или 
один котлоагрегат работает на полную мощность, а второй дополняет недостающую часть из общего  количества пара, потребляемого производством на данный 
момент времени. 
Пятый уровень цифровой системы управления предназначен для организации управления с учетом рынков сбыта продукции, необходимого объема сырья, рационального  подбора и расстановки персонала для обслуживания. 
На всех уровнях управления информация должна обрабатываться и формироваться с помощью ЭВМ.                                
 
1.3 Общая схема проектирования цифровых систем управления 
 
Общая схема проектирования цифровых систем управления [2] представлена на рисунке 1.2. Согласно  этому рисунку при проектировании цифровой  системы управления  должны быть решены следующие основные  задачи.                 
Получение информации об объекте управления и о сигналах. Этот 
блок представлен справа на рисунке 1.2. Этот  блок определяет, что  в самом 
начале проектирования цифровой СУ необходимо получить информацию об 
объекте управления и о сигналах, которые входят в описание (в характеристику) 
этого объекта. Эта информация может быть получена в различных формах, а 
именно: 
- в виде доступных непосредственному измерению входов, выходов объекта управления  и переменных состояния этого объекта управления; 
- в форме моделей объектов управления и моделей сигналов; 
- в форме оценок сигналов и состояний объектов управления, при котором  
недоступные измерению переменные состояния можно восстанавливать (формировать), используя методы теории наблюдателей или оценки состояния. 
Для построения моделей объектов управления  и сигналов могут использоваться методы идентификации и оценивания параметров. Модели 
объектов 
могут быть также получены с помощью теоретических  положений.     
Выбор структуры системы управления  (слева на рисунке 1.2). Разрабатывая математическую модель объекта управления  и задавая необходимый 
набор регулируемых и управляемых переменных, необходимо определить тип 
системы управления, например, из следующих общепринятых типов: 
 
10