Строительная механика : расчет статически неопределимых рам при тепловом воздействии
Покупка
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Авторы:
Кондратенко Валерий Ерофеевич, Девятьярова Виктория Викторовна, Герасимова Алла Александровна
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 15
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
Артикул: 754500.01.99
Приведены расчетно-графические задания для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Строительная механика». Рассмотрен пример решения расчетно-графических заданий и даны методические указания для их выполнения.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» № 3034 Кафедра инжиниринга технологического оборудования В.Е. Кондратенко В.В. Девятьярова А.А. Герасимова Строительная механика Расчет статически неопределимых рам при тепловом воздействии Методические указания и расчетно-графические задания Рекомендовано редакционно-издательским советом университета Москва 2016
УДК 539.3/8 К64 Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. А.Н. Кондратенко Кондратенко В.Е. К64 Строительная механика. Расчет статически неопределимых рам при тепловом воздействии : метод. указ. / В.Е. Кондратенко, В.В. Девятьярова, А.А. Герасимова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 15 с. Приведены расчетно-графические задания для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Строительная механика». Рассмотрен пример решения расчетно-графических заданий и даны методические указания для их выполнения. УДК 539.3/8 © В.Е. Кондратенко, В.В. Девятьярова, А.А. Герасимова, 2016 © НИТУ «МИСиС», 2016
СОДЕРЖАНИЕ 1. Расчет статически неопределимых рам при тепловом воздействии ............................................................................................... 4 2. Вычисление перемещений в статически неопределимых рамах при тепловом воздействии .......................................................... 13
1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ ПРИ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Под тепловым воздействием понимают изменение температуры стержней рамы. Предполагается, что температура не меняется по длине стержня. По высоте поперечного сечения стержня температура изменяется по линейному закону. В данном пособии рассматривается решение задачи методом сил. Последовательность расчета рамы при тепловом воздействии такая же, как при силовом воздействии. Основная статически определимая система (о. с.) получается из заданной системы (з. с.) путем отбрасывания лишних связей и замены их действия на раму реакциями этих связей Xi. Канонические уравнения метода сил при тепловом воздействии отличаются только свободными членами: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... 0, ... 0, ............................................................ ... 0. n n t n n t n n nn n nt X X X X X X X X X δ + δ + + δ + Δ = δ + δ + + δ + Δ = δ + δ + + δ + Δ = (1.1) Физический смысл каждого уравнения системы (1.1): перемещение в о. с. точки приложения i-й отброшенной связи в направлении этой связи от действия реакции X1, X2, …, Xn и от теплового воздействия, равного нулю. Единичные коэффициенты системы (1.1) определяются интегралом Мора δik = Σ∫ i k M M dS EI ⋅ (1.2) и могут быть вычислены перемножением одиночных эпюр i M и k M по правилу Верещагина: δik = Σ 1 i k M M EI ⋅ . (1.3) Свободные члены Δit представляют перемещения точек приложения отброшенных лишних связей основной системы от теплового воздействия и вычисляются по формуле
it Δ = Σ i M t h α ′Ω + Σα 0 i N t Ω , (1.4) где α – коэффициент линейного расширения материала; t' = |t1 – t2| – перепад температур; t1, t2 – изменения температур крайних волокон стержня; входят в формулы со своими знаками; h – высота поперечного сечения стержня; 1 2 0 2 t t t + = – температура нейтральной оси стержня; i M Ω и i N Ω – площади единичных эпюр изгибающих моментов i M и продольных сил i N в основной системе от действия i X = 1. Площадь единичной эпюры моментов i M Ω имеет знак плюс, если эпюра i M расположена на более нагретых волокнах. Произведение t0 ⋅ i N Ω имеет знак плюс, если t0 и i N на стержне имеют одинаковые значения. Знак Σ в формуле (1.4) распространяется на стержни, температура которых изменилась. В статически определимой системе (о. с.) метода сил внутренние усилия от теплового воздействия не возникают. Поэтому окончательная эпюра изгибающих моментов М в з. с. строится путем алгебраического сложения «исправленных» единичных эпюр i M · i X : М = 1 M X1 + 2 M X2 + … + n M Xn. (1.5) При решении задачи с несколькими неизвестными Xi, как и при силовом воздействии, может быть произведена проверка правильности вычисления коэффициентов канонических уравнений. Сумма единичных коэффициентов системы (1.1) δss = Σδik = δ11 + δ12 + … + δnn должна быть равна величине δss = Σ∫ s s M M ds EI , (1.6) где s M = Σ i M – суммарная единичная эпюра.
Сумма свободных членов уравнений Δst = ΣΔit = Δ1t + Δ2t + … + Δnt должна быть равна величине Δst = Σ s M t h α ′ Ω + Σα 0 s N t Ω . (1.7) Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов М состоит в проверке исходного положения метода сил: перемещение точки приложения i – от отброшенной лишней связи в направлении этой связи от действия всех сил Xi и теплового воздействия – равно нулю: Δi = Σ∫ i MM ds EI + Δit = 0. (1.8) Пример 1. Для рамы, представленной на рис. 1.1, а, построить эпюры M, Q и N от теплового воздействия. Изменение температуры стержней показано пунктиром. Высота сечения стержней h = 0,25 м. Рис. 1.1
1. Определяем степень статической неопределимости системы, т.е. число лишних связей Л: Л = С0 + 2Ш – 3Д = 5 + 2 · 0 – 3 · 1 = 2, где С – число опорных стержней; Д – число дисков; Ш – число простых шарниров. 2. Выбираем основную систему (о. с.), отбрасывая горизонтальную связь в т. А и вертикальную в т. С (рис. 1.1, б). 3. Формируем эквивалентную систему (э. с.), прикладывая к о. с. реакции отброшенных связей X1 и X2 и тепловое воздействие (рис. 1.1, в), и записываем канонические уравнения метода сил (1.1): 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 0, 0. t t X X X X δ + δ + Δ = δ + δ + Δ = (1.9) 4. Строим единичные эпюры 1 M , 1 N от действия 1 X =1 и 2 M , 2 N от 2 X = 1 (рис. 1.2, а, б). Рис. 1.2
5. Вычисляем единичные коэффициенты δik, используя формулы (1.2) и (1.3): δ11= Σ∫ 1 1 M M ds EI = Σ 1 1 1 M M EI ⋅ = = 1 EI 1 4 3 2 ⋅ ⋅ 2 3 · 4 + (4 · 4) 4 + ( 1 2 4 4 4 2 3 ⋅ ⋅ ⋅ 4 · 4) 2 3 · 4) = 101,33 EI ; δ22 = Σ∫ 2 2 M M ds EI = Σ 2 2 1 M M EI ⋅ = = 1 EI (( 1 2 · 4 · 3) 2 3 · 4 + ( 1 2 · 4 · 4) 2 3 · 4) = 37,33 EI ; δ12 = δ21 = Σ∫ 1 2 M M ds EI = Σ 1 2 1 M M EI ⋅ = = 1 EI (–( 1 2 · 3 · 4) 2 3 · 4 – ( 1 2 · 4 · 4) 4) = – 48 EI . 6. Проводим проверку вычисления единичных коэффициентов δss= Σδik = 1 EI (101,33 + 37,33 – 48 – 48) = 42,66. Суммарная единичная эпюра s M = 1 M + 2 M представлена на рис. 1.3, а, единичная эпюра сил s N – на рис. 1.3, б. Рис. 1.3
δss = Σ∫ s s M M ds EI = Σ 1 s s M M EI ⋅ = 1 EI (( 1 2 · 4 · 4) 2 3 · 4) 2 = 42,66 EI . Проверка единичных коэффициентов сходится. 7. Вычисляем свободные члены уравнений Δit по формуле (1.4). Последовательность подстановки данных в формулу (1.4): стержень АЕ, затем ЕD, ЕВ и DC. Значения t0 и t' для стержней рамы приведены на рис. 1.1, в. Δ1t = ( 20 0,25 ° α ⋅ ( 1 2 · 3 · 4) + 0) + (– 10 0,25 ° α⋅ (4 · 4) – α(1 · 4)) + + (0 – α · 5° ( 4 3 · 4)) + (– 20 0,25 ° α ⋅ ( 1 2 · 4 · 4) + 0) = –886,67 · α; Δ2t = (– 20 0,25 ° α ⋅ ( 1 2 · 3 · 4) + 0) + ( 10 0,25 ° α⋅ ( 1 2 ⋅ 4 · 4) + 0) + + (0 + α · 5° ( 7 3 · 4)) + (0 – α · 10° (1 · 4)) = –153 · α . 8. Проводим проверку вычисления свободных членов Δit, сравнивая выражения (1.7): Δst = Δ1t + Δ2t = –886,67 · α –153 · α = –1039,67 · α . Данные в формулу (1.7) подставляем в указанном выше порядке: Δst = Σ s M t h α ′Ω + Σα 0 s N t Ω = (0 + 0) + (– 10 0,25 ° α ⋅ ( 1 2 · 4 · 4) – α · 15° (1 · 4)) + + (0 + + α · 5° (1 · 4)) + (– 10 0,25 ° α ⋅ ( 1 2 · 4 · 4) – α · 10° (1 · 4)) = –1040 · α . Проверка сходится. 9. Подставляем вычисленные коэффициенты в уравнения (1.9) и находим X1 и X2: 101,33 · 1 Х – 48 · 2 Х – 886,67 · α · EI = 0; –48 · 1 Х + 37,33 · 2 Х – 153 · α · EI = 0; 1 Х = 27,36 · α · EI; 2 Х = 39,27 · α · EI.
10. Строим исправленные эпюры 1 1 M Х , 1 1 N Х и 2 2 M Х , 2 2 N Х (рис. 1.4, а, б). Окончательную эпюру изгибающих моментов М получим алгебраическим сложением исправленных эпюр по формуле (1.5) (рис. 1.5). Рис. 1.4 Эпюры M, Q, N строятся в заданной системе. Рис. 1.5
11. По эпюре М строим эпюры Q и N (рис. 1.6). Рис. 1.6 Отметим, что эпюру N можно построить по эпюре Q, рассматривая равновесие узлов рамы. В данной задаче проще суммировать исправленные эпюры i i N Х , построив эпюру N по формуле N = 1 1 N Х + 2 2 N Х . Для проверки правильности решения следует выполнить кинематическую и статическую проверку. 12. Кинематическая проверка. Проведем универсальную проверку: Σ∫ s MM ds EI + ΣΔit = Σ 1 s M M EI ⋅ + ΣΔit = = α[ 4 6 (0 + 2 · 109,4 · 4 + 0 – 47,7 · 4) + ( 1 2 · 109,4 · 4) 2 3 · 4] – 886,67 · α – 153 · α = = 1039,74 · α – 1039,67 · α = 0,07 · α. Погрешность вычислений Р = 0,07 100 % 1039,7 ⋅ = 0,007 %. 13. Статистическая проверка. Отсекаем связи и прикладываем к раме силы Q и N (рис. 1.7). ΣХ = 27,36 – 27,35 = 0,01 (Р = 0,04 %) ΣY = 15,9 – 55,15 + 39,27 = 0,02 (Р = 0,036 %)