Методы математической физики

УДК 53:51 
Л34 

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Т. Бублик 

Левашкина Е.В., Орлов М.И. 

Л34 Методы математической физики: Учеб. пособие. - М.: МИСиС, 
2003.-229 с. 

Цель данного учебного пособия помочь студентам освоить лекции и приобрести умения и навыки в решении задач по курсу математической физики. 

В примененном здесь подходе методы математической физики представляют собой введение в классическую теорию поля. Тепловые явления излагаются в рамках уравнения баланса Умова для внутренней энергии и уравнения баланса тепловых потоков, а для описания колебательных и волновых 
процессов применяются методы скалярных лагранжевых полей с двухмерным обобщением этой теории, а также метод диссипативных функций Релея. 
Уравнения поля всегда могут быть записаны как уравнения баланса Умова 
для сопряженного импульса, что обеспечивает единство подхода к количественному описанию тепловых, колебательных и волновых процессов. Это обстоятельство открывает в дальнейшем возможность количественного анализа 
таких сложных систем, как поле плюс механическая система. 

В пособие включены примеры задач с решениями, а также банк задач для 
самостоятельного решения с ответами и указаниями. 

Содержание пособия соответствует программе курса «Методы математической физики». 

Пособие предназначено для студентов 2-го курса факультета полупроводниковых материалов, обучающихся по специальностям 200100, 200200 и направлениям 553100, 551600, 550700, а также может быть полезно преподавателям для организации и контроля аудиторной и самостоятельной работы 
студентов. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2003 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение 
8 

1. Уравнение теплопроводности 
10 

1.1. Уравнение баланса внутренней энергии 
10 

1.1.1. Вывод уравнения теплопроводности 
11 

1.1.2. Начальные и граничные условия 
14 

1.1.3. Постановки теплофизических задач 
17 

1.1.4. Условия на границе раздела двух сред 
18 

1.2. Задача на собственные значения 
19 

1.2.1. Постановка задачи 
20 

1.2.2. Формулы Грина 
20 

1.2.3. Свойства оператора^ 
22 

1.2.4. Частный случай теоремы В.А. Стеклова 
25 

1.2.5. Вариационный принцип для собственных значений 
27 

1.2.6. Почленное дифференцирование ряда Фурье 
28 

1.3. Методы решения задач теплопроводности 
29 

1.3.1. Метод краевых задач 
29 

1.3.2. Операционный метод 
30 

1.3.3. Метод Фурье 
32 

1.3.4. Метод граничных интегральных уравнений 
34 

1.3.5. Интеграл энергии 
35 

1.4. Уравнения распространения тепла в тонкой пластинке и 
проволоке 
36 

1.4.1. Системы криволинейных координат 
36 

1.4.2. Уравнение теплопроводности в криволинейных 
ортогональных координатах 
38 

1.4.3. Уравнение распространения тепла в тонкой 
пластинке 
40 

1.4.4. Уравнение распространения тепла в проволоке 
42 

1.5. Задача Коши 
44 

1.5.1. Метод преобразования Фурье 
44 

1.5.2. Метод тепловых потенциалов 
47 

1.5.3. Метод отражений 
49 

1.6. Примеры одномерных задач стационарной и 
нестационарной теплопроводности 
51 

1.6.1. Стационарный однородный односторонний 

поверхностный нагрев плоского слоя 
51 

3 

1.6.2. Стационарный однородный односторонний 
поверхностный и внутренний нагрев 
теплоизолированного плоского слоя 
53 

1.6.3. Стационарный однородный двухсторонний 
поверхностный и внутренний нагрев плоского слоя 
55 

1.6.4. Нестационарный однородный двухсторонний 
поверхностный и внутренний нагрев плоского слоя 
без учета лучевых потерь 
59 

1.6.5. Нестационарный однородный поверхностный 
нагрев полубесконечной среды без учета лучевых 
потерь 
62 

1.6.6. Нестационарный однородный поверхностный нагрев 
полубесконечной среды с учетом лучевых потерь 
66 

1.6.7. Нестационарный однородный двухсторонний 
поверхностный нагрев плоского слоя с учетом 
лучевых потерь 
68 

Задачи 
72 

2. Телеграфное уравнение, уравнение дапамбера и уравнение 

гельмгольца 
78 

2.1. Скалярные лагранжевые поля 
78 

2.1.1. Принцип стационарного действия Гамильтона 
79 

2.1.2. Уравнение поля и граничное условие 
80 

2.1.3. Динамически инвариантное преобразование 

объемной плотности функции Лагранжа 
83 

2.1.4. Сопряженный импульс поля и граничное условие в 
случае внешних поверхностных сил 
84 

2.1.5. Энергия поля 
86 

2.1.6. Тензор энергии-импульса 
87 

2.1.7. Свободное лагранжевое поле 
88 

2.1.8. Внешние воздействия на поле, диссипативное 
лагранжевое поле 
90 

2.2. Уравнение Даламбера и телеграфное уравнение 
93 

2.2.1. Даламберовое поле и уравнение Даламбера 
93 

2.2.2. Диссипативное даламберовое поле и телеграфное 
уравнение 
96 

2.2.3. Частотная дисперсия фазовой скорости 
97 

2.2.4. Постановки задач 
99 

2.2.5. Интеграл энергии и единственность решения 
смешанной задачи 
101 

2.2.6. Частное решение неоднородного уравнения 
102 

4 

2.2.7. Метод краевых задач и операционный метод 
103 

2.2.8. Метод Фурье 
104 

2.3. Уравнение Даламбера и уравнение Гельмгольца 
106 

2.3.1. Комплексная амплитуда дапамберового поля 
106 

2.3.2. Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца 
108 

2.3.3. Сферические монохроматические волны 
109 

2.3.4. Принцип причинности и запаздывающий потенциал ....109 
2.3.5. Коэффициент преломления прозрачной 
непоглощающей среды 
111 

2.3.6. Комплексный коэффициент преломления 
113 

2.4. Примеры задач на применение метода дапамберовых 

полей 
114 

2.4.1. Числовые характеристики плоской 
монохроматической волны 
114 

2.4.2. Отражение и преломление плоской 
монохроматической волны от плоской границы 
раздела 
116 

2.4.3. Эволюция плоского слоя даламберового поля под 
действием однородных поверхностных сил 
119 

2.4.4. Числовые характеристики сферических 
монохроматических волн 
122 

2.4.5. Частотная дисперсия коэффициента преломления 
124 

2.4.6. Цилиндрические монохроматические волны 
126 

Задачи 
128 

3. Задача коши для уравнения Даламбера 
130 

3.1. Трехмерное уравнение Даламбера 
130 

3.1.1. Постановка задачи Коши 
130 

3.1.2. Лемма Пуассона 
131 

3.1.3. Формула Пуассона 
132 

3.1.4. Распространение волны начальных возмущений 
134 

3.1.5. Формула Кирхгофа 
135 

3.2. Двухмерное уравнение Даламбера 
136 

3.2.1. Постановка задачи Коши 
136 

3.2.2. Формула Пуассона 
137 

3.2.3. Диффузия волн 
137 

3.2.4. Формула Даламбера-Эйлера 
138 

3.2.5. Особенности распространения волны начальных 
возмущений в одномерном случае 
139 

3.3. Одномерное уравнение Даламбера 
141 

3.3.1. Решение Даламбера и его физическая интерпретация.... 142 

5 

3.3.2. Формула Даламбера 
143 

3.3.3. Общее решение неоднородного уравнения 
144 

3.3.4. Вывод формулы Даламбера-Эйлера 
145 

3.3.5. Метод отражений 
146 

3.3.6. Распространение граничного режима 
149 

3.4. Примеры задач на распространение плоских волн 
151 

3.4.1. Числовые характеристики одномерного 
дапамберового поля, прямой и обратной волны 
152 

3.4.2. Отражение плоской волны от энергетически 
непроницаемой плоской стенки 
154 

3.4.3. Граничные условия на плоской поверхности раздела 
одномерных даламберовых полей 
156 

3.4.4. Нормальное падение плоской волны на плоскую 
поверхность раздела и волновое сжатие 
157 

3.4.5. Нормальное падение плоской волны на слой 

конечной толщины и волновое смещение 
159 

3.4.6. Граничные условия на плоской поверхности раздела 
двухмерных даламберовых полей и при наклонном 
падении плоской волны 
162 

3.4.7. Наклонное падение плоской волны на плоскую 
поверхность раздела 
165 

Задачи 
167 

4. Гиперболические системы 
169 

4.1. Квазилинейное и линейное уравнения в частных 
производных первого порядка с двумя независимыми 
переменными 
169 

4.1.1. Характеристические направления, характеристики и 
уравнение характеристик 
169 

4.1.2. Метод характеристик 
171 

4.1.3. Общее решение линейного уравнения с 
постоянными коэффициентами 
173 

4.1.4. Задача Коши для линейного уравнения с 
постоянными коэффициентами 
175 

4.1.5. Уравнение одномерной газовой динамики 
176 

4.2. Метод характеристик для гиперболических систем 
177 

4.2.1. Характеристики, соотношение на характеристике и 
понятие гиперболической системы 
178 

4.2.2. Приведение гиперболической системы к 
каноническому виду 
180 

6 

4.2.3. Система двух уравнений с двумя неизвестными 
функциями 
182 

4.2.4. Системы с постоянными коэффициентами 
183 

4.2.5. Даламберовое поле как гиперболическая система 
184 

Задачи 
188 

5. Упругие колебания и волны 
190 

5.1. Изотермическое плоское движение упругой среды 
190 

5.1.1. Модули упругости 
190 

5.1.2. Закон Гука 
191 

5.1.3. Сопряженный импульс упругой среды 
192 

5.1.4. Уравнения движения упругой среды 
194 

5.1.5. Начальные и граничные условия 
195 

5.1.6. Уравнение неразрывности 
197 

5.1.7. Механические и акустические волны упругости 
198 

5.1.8. Одномерное механическое движение плоского слоя 
201 

5.1.9. Уравнение нормальных колебаний искривленной 
мембраны 
203 

5.1.10. Плоские продольные волны упругости 
205 

5.2. Примеры задач на распространение плоских продольных 
волн упругости 
207 

5.2.1. Нормальное падение плоской продольной волны 
упругости на поверхность раздела сред и волновое 
сжатие 
207 

5.2.2. Нормальное падение плоской продольной волны 
упругости на упругий слой конечной толщины и 
волновое смещение 
209 

5.2.3. Однородное поверхностное нагружение 
закрепленного упругого плоского слоя 
211 

5.2.4. Движение плоского слоя под действием постоянной 

и однородной поверхностной нагрузки 
216 

5.2.5. Волнообразование при упругом нормальном ударе 
220 

5.2.6. Нормальный удар упругого плоского слоя с 
полубесконечной упругой средой 
222 

5.2.7. Нормальный удар двух упругих плоских слоев 
223 

Задачи 
225 

Литература 
228 

7 

ВВЕДЕНИЕ 

Развитие современной техники и технологии, особенно в сфере 
создания автоматизированных систем управления производством, не 
опирающихся на регулирование опорного технологического режима, 
предъявляет к классической физике ряд специфических требований. 
Необходимо в рамках классической теории поля иметь единое количественное описание таких разнородных процессов, как механические, тепловые, акустические, электромагнитные с учетом возможных химических реакций и фазовых переходов. 

На пути создания нужной единой классической теории поля имеются и принципиальные трудности, прежде всего связанные с существенно разным математическим аппаратом, применяемым для количественного описания указанных процессов. Особым препятствием 
служит недостаточная развитость термодинамики неравновесных 
процессов как естественной основы единой классической теории поля и связующего звена между разными физическими процессами. 

Первым шагом к созданию единой классической теории поля являются методы математической физики, в которой разнородные физические процессы все еще изучаются отдельно друг от друга, не каждый тип процессов рассматривается в рамках одного и того же математического аппарата, наиболее удобного и приспособленного для количественного описания с учетом особенностей изучаемых процессов. 

Согласно сложившейся традиции методы математической физики 
посвящены тепловым процессам и процессам распространения колебаний и волн. Связано это с тем, что с механическими системами студент обычно знакомится в курсах теоретической механики, технической механики, механики сплошных сред, а с химическими реакциями и фазовыми переходами - в курсах общей химии, физической химии, химической термодинамики; химической технологии и т.п. 

В данном курсе рассматриваются одномерные стационарные и нестационарные процессы переноса тепла в недеформируемых макроскопически однородных и изотропных твердых телах и особенности 
распространения колебаний и волн. Разбираются и методы решения 
поставленных задач, тесно примыкающие к классическому анализу и 
в простейших ситуациях дающие решение этих задач в конечном виде. Исключением из этого общего правила является метод граничных 
интегральных уравнений, позволяющий только численно получить 
решение теплофизических задач с учетом лучевых потерь с поверх
8 

ности нагретых тел. Приводятся и конкретные колебательные системы: упругие среды с анализом их особенностей. 

В качестве методики вывода основных уравнений математической 
физики в приближении физики сплошной среды для конечного описания нестационарных макроскопических и термодинамически квазиравновесных процессов переноса используют уравнение баланса 
Умова для аддитивных экстенсивных физических величин. Практика 
применения этого уравнения баланса показала, что на его основе в 
указанных случаях, как правило, получаются количественные оценки 
характеристик процессов, все еще имеющих согласие с опытными 
данными. 

9 

1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Уравнение теплопроводности представляет собой закон сохранения внутренней энергии в дифференциальной форме и описывает 
термодинамически квазиравновесный процесс переноса тепла в недеформируемых макроскопически однородных и изотропных твердых телах в приближении физики сплошной среды. 

Задача определения поля температуры и тепловых потоков в 
твердых телах сводится к решению смешанной задачи, включающей 
в себя уравнение теплопроводности, начальное и граничное условия. 
Начальное условие подразумевает известным поле температуры в 
рассматриваемом твердом теле, а граничное условие - известным характер идущего на поверхности этого тела теплообмена с окружающими его телами. Если теплообмен на поверхности тела не существенен, то граничное условие излишне и для уравнения теплопроводности ставится задача Коши. 

Характерная особенность процесса переноса тепла в твердых телах - это бесконечная скорость распространения в них тепловых 
возмущений. 

1.1. Уравнение баланса внутренней энергии 

Основные уравнения физики сплошной среды являются конкретными реализациями дифференциальной формы уравнения баланса Умова 
для непрерывно распределенных аддитивных и макроскопически экстенсивных физических величин и представляют собой законы сохранения этих величин. Сформулируем этот закон сохранения и выведем 
уравнение баланса Умова в дифференциальной форме. 

Распределение аддитивной и макроскопически экстенсивной физической величины А в заданной области трехмерного пространства 
характеризуется скалярным полем ее объемной плотности р^, перенос этой величины в пространстве - векторным полем ]^ вектора 
плотности ее потока, а распределение источников этой величины скалярным полем объемной плотности q\ их мощности. Введенные 

числовые характеристики р^,]^ 
и р^ являются достаточно гладкими функциями точки области и времени. Разрывы этих функций и их 
производных допускаются только на физических границах изучаемого процесса. 

10 

Для любой подобласти D конечного объема области заполнения 
этой физической величиной Л справедлив закон сохранения, согласно которому скорость изменения полной величины Л в рассматриваемой области D складывается из полного потока этой величины, 
идущего извне через поверхность Тф) внутрь области, и полного 
притока этой величины за счет ее источников, распределенных в области D. Сформулированный закон сохранения рассматриваемой физической величины можно записать в интегральной форме 

^^ D 
Г(Л) 
D 

где п - единичный вектор нормали к поверхности Тф). 

Здесь поверхностный интеграл преобразуем по формуле Остроградского 

{-jndS^U^-jdV 

Г(Л) 
D 

И будем иметь следующее соотношение: 

которое ввиду непрерывности подынтегрального выражения и произвольности области D возможно тогда и только тогда, когда это 
подынтегральное выражение тождественно равно нулю. В результате 
получим уравнение баланса Умова в дифференциальной форме: 

^ 
+ дл\]^р^. 
(1.1) 

1.1.1. Вывод уравнения 
теплопроводности 

Неподвижная недеформируемая однородная и изотропная сплошная среда заполняет область D трехмерного пространства. Перенос 
тепла предполагается термодинамически квазиравновесным, поэтому 
в среде локально существуют и температура, и термодинамические 
функции. Тепловое состояние среды характеризуется скалярным полем температуры T{t,¥), зависящим от точки области D и времени. 
Выведем уравнение, описывающее изменение поля температуры 

11