Математика

МАТЕМАТИКА

А.А. ДАДАЯН

3-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано 
Министерством образования и науки Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов образовательных учреждений 
среднего профессионального образования

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНИК

УДК  51(075.32) 
ББК 22.1я723
 
Д14

Дадаян А.А.
Д14 
 
Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — 
Москва : ИНФРА-М, 2020. — 544 с. — (Cреднее профессиональное 
образование).

ISBN 978-5-16-012592-3 (print)
ISBN 978-5-16-102338-9 (online)

Книга представляет собой изложение курса математики на базе основного общего среднего образования и включает разделы математики, изучаемые в системе среднего профессионального образования для всех групп 
специальностей. Особое внимание в учебнике уделено разделам геометрии 
и стереометрии, которые написаны в общей понятийной взаимосвязи 
с другими главами, что позволяет студентам усвоить дисциплину как единую базовую науку, связанную с предметами профессионального цикла.
Главы курса снабжены вопросами и задачами, позволяющими контролировать усвоенные знания.
Учебник предназначен для студентов техникумов и колледжей, соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего профессионального образования последнего поколения и может быть 
использован также для подготовки к вступительным экзаменам в вузы.

УДК 51(075.32) 
ББК 22.1я723

Р е ц е н з е н т ы:
Гончарова Г.А., кандидат технических наук, директор Политехнического колледжа Саратовского государственного технического университета имени Ю.А. Гагарина;
Сенатов В.В., доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории вероятностей Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

ISBN 978-5-16-012592-3 (print)
ISBN 978-5-16-102338-9 (online)
© Дадаян А.А., 2016

Предисловие

Содержание учебника соответствует Примерной программе курса 
математики средних специальных учебных заведений (для всех специальностей), разработанной Научно-методическим центром среднего 
профессионального образования Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации.

Однако автор счел целесообразным внести в порядок изложения 
учебного материала некоторые изменения. А именно: курс начинается с 
изложения основного аппарата математики, знакомого в некотором объеме из школьного курса (числовые системы, векторная алгебра, приближенные вычисления, простейшие уравнения и системы), а затем весь 
учебный материал излагается с постепенным нарастанием его сложности.

Известно, что курс математики в средних специальных учебных заведениях несет двойную нагрузку — как самостоятельный учебный 
предмет, в котором должна соблюдаться строгая логическая последовательность изложения материала, и как аппарат для широкого применения его в специальных дисциплинах. Вместе с тем психологический 
аспект часто бывает важнее логического, а потому интуитивные соображения должны выступать первыми и лишь потом подкрепляться формальным доказательством. Этому способствуют рисунки, которые в 
определенной степени помогают закреплению и усвоению учебного 
материала. В предлагаемом пособии их около трехсот.

Роль задач в математике общеизвестна. Учитывая этот важный аспект, в предлагаемом пособии большинство понятий и теорем подкрепляются решением большого числа примеров. Кроме того, в каждый параграф и каждую главу включено достаточное число упражнений (всего 
более 1200) для самостоятельной работы учащегося.

Известно, что работа на вычислительной технике не относится к 
математике, а составляет отдельную дисциплину. Однако она представляет определенный интерес для математики. Учитывая, что большинство учащихся умеет пользоваться вычислительной техникой, необходимо 
пополнить их знания методами приближенных вычислений (см. главу 2 
книги).

Примерная программа не предусматривает изучение множества комплексных чисел, имеющих широкое применение во многих специальных 
дисциплинах. Однако в учебник включена глава «Комплексные числа», 
которая может быть предложена учащимся в качестве факультатива.

3

Пособие состоит из 16 глав, каждая из которых сопровождается 
кратким введением в главу и заканчивается вопросами для повторения и 
системой упражнений. Кроме того, в каждом параграфе предусмотрена 
своя система упражнений. Такая схема построения книги позволит учащимся на протяжении всего учебного периода прочно усваивать весь 
материал курса.

В качестве приложения в учебник включен справочный материал 
«Основные математические формулы и определения», который учащийся может использовать при решении упражнений, а также при подготовке к вступительным экзаменам в высшее учебное заведение.

Учебник построен таким образом, что он может быть использован 
как учащимися средних специальных учебных заведений на базе 9-летнего образования, так и окончивших полную среднюю школу.

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность рецензенту книги — доктору физико-математических наук Сена- 
тову В. В. за ценные советы и пожелания, которые способствовали 
улучшению книги.

А. А. Дадаян

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Множества:

N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
N0 — множество неотрицательных целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел, числовая прямая;
R+ — множество положительных действительных чисел;
{a, b, ...} — множество, состоящее из элементов a, b ,...;
0  — пустое множество.

Промежутки и интервалы:

[a, b] — замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b, 
причем a < b; точки а и b принадлежат промежутку;

(a, b) — интервал с началом а и концом b, причем а < b; точки а и b 
не принадлежат промежутку;

(a, b] — полуоткрытый интервал (открыт слева) с началом а и концом b, 
причем а < b; точка b принадлежит промежутку, а точка а нет;

[a, b) — полуоткрытый интервал (открыт справа) с началом а и концом b, причем а < b; точка а принадлежит промежутку, а точка b нет; 
[а, + да) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча;
(а, + да) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча (а не 
включается в промежуток);

(-да, + да) — бесконечный интервал (числовая прямая).

Знаки:

^  — следования;
^  — равносильности (эквивалентности); 
е — принадлежности; 
g — не принадлежности;
с  — включения одного множества в другое, возможно совпадение 
множеств;
U — объединения множеств;
П — пересечения множеств;

1 — интеграла;
Z — угла;

5

А. — перпендикуляра;
|| — параллельности;
S — площади поверхности;
V — объема тела;
a, a, AB — векторы;

W , И  A ABI — длины векторов;
(а -е , +е) — Б-окрестность точки а;
(a; b) — упорядоченная пара; 
f — преобразование (функция) f  
f  (x) — образ точки x при преобразованииf; 
f  (x0) — значение функции f  в точке х0;
D(f) — область определения функцииf;
E(f) — множество значений функцииf;
Е — тождественное преобразование;
f  _1(x) — преобразование, обратное кf
n! — произведение первых n натуральных чисел;
Pn — число перестановок из n элементов;
Am — число размещений из n элементов по т;

Cm — число сочетаний из n элементов по т;
(an) — бесконечная последовательность.
lim xn = а — число а является пределом последовательности (xn);

Ах — приращение переменной х;
Af  (x0) — приращение функции f  в точке х0;
lim f  (x) = b — число b является пределом функции f  при x, стремящемуся к а;

f'(x0) — производная функции f  в точке х0;
f"(x0) — вторая производная функции f  в точке х0;
dy = d f  (x) — дифференциал функции у = f  (x) в точке х;
b
J f  ( x)dx — интеграл функции f  в пределах от а до b;
а
expax — показательная функция с основанием а; 
е — основание натурального логарифма; 
exp x — показательная функция с основанием е; 
lg — десятичный логарифм;
ln — натуральный логарифм (логарифм с основанием е);
▲  — начало доказательства;
Y — конец доказательства.

6

Глава 1

Основные теоретико-множественные 
понятия математики. 
Множество действительных чисел

Число является одним из основных понятий математики. В школе 
мы изучали различные числовые множества и операции над ними. В 
младших классах потребность счета предметов привела нас к понятию 
натурального числа, затем нам понадобилось число нуль для обозначения результата операции, исходом которой является множество объектов, не содержащим ни одного объекта из исходных. С измерением величин (длин, площадей, объемов, массы и т. п.) мы ввели дроби, т. е. 
m
числа вида —, где m и n — натуральные числа, причем n Ф 0. Затем нам 
n

понадобились отрицательные числа — вначале целые, а затем и дробные. Таким образом, расширяя понятие о числе, в школе мы познакомились с множествами натуральных чисел N, целых чисел Z и рациональных чисел Q, уточняя каждый раз, какие операции могут быть выполнены в том или ином числовом множестве. Операции сложения и 
умножения выполняются во всех упомянутых выше множествах. При 
этом в любом множестве чисел операции сложения и умножения подчиняются следующим законам:

а) переместительному (коммутативному) закону:
для сложения

a + b = b + a

и для умножения

ab = ba;

б) сочетательному (ассоциативному) закону:
для сложения

(a + b) + c = a + (b + c)

и для умножения

(ab) c = a (bc);

в) распределительному (дистрибутивному) закону умножения относительно сложения:

(a + b) c = ac + bc.

7

Отметим и следующий известный нам из школы факт, что относительно операции сложения и умножения все перечисленные числовые 
множества замкнуты, что означает: складывая или умножая два натуральных, либо два целых, либо два рациональных числа мы в результате 
получим соответственно натуральное, целое, рациональное число. Что 
же касается обратных операций (вычитания и деления), то они не во 
всех числовых множествах являются замкнутыми. Например, в множестве натуральных чисел вычитание и деление не замкнуто. В самом деле, разность или частное двух натуральных чисел 5 и 8 не являются натуральными числами: 5 -  8 = -3 g N и 5/8 g N. Что касается множества 
целых чисел, то, как мы знаем, оно замкнуто относительно вычитания. 
Действительно, 5 -  8 = -3 е Z (собственно, это и явилось одной из причин расширения множества натуральных чисел до множества целых 
чисел). Но множество целых чисел не замкнуто относительно деления, 
поэтому пришлось провести дальнейшее расширение множества целых 
чисел до множества рациональных чисел, которое уже замкнуто относительно деления: 5/8 е Q.

В настоящей главе мы покажем, что на этом процесс расширения понятия числа не завершается. Здесь мы предварительно познакомимся с такими основными понятиями математики как множество 
и отношение, операциями над множествами, и на основе этих понятий и их свойств расширим рассмотренные выше числовые множества до множества так называемых действительных чисел. В частности, мы покажем, что даже диагональ квадрата нельзя выразить через 
его сторону рациональным числом. Далее мы распространим арифметические операции и на множество действительных чисел и покажем, что все перечисленные множества включаются в множество 
действительных чисел.

■  
§ 1.1. М ножество. О сновные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых 
понятий математики. Под множеством в математике понимают совокупность или собрание некоторых объектов. Сами объекты, входящие в данное множество, называются элементами этого множества. Тот факт, что 
элемент а входит в множество А, записывается следующим образом: а е А. 
Если элемент b не входит в множество А, то это записывается так: b £ А.

Примеры 1. Если N — множество натуральных чисел, то 2 е N, 
10 е N, но -5 g N и -1,7 g N.

8

2. 
Пусть А — множество всех стран Европы, тогда Англия е А, в то 
время как Индия g А.

Множество может содержать как конечное число элементов, так и 
бесконечное. В первом случае множество называется конечным; а число 
его элементов — порядком этого множества; во втором случае множество называется бесконечным. Так, например, множество N натуральных чисел бесконечно, а множество всех букв греческого алфавита конечно, а порядок его 24, так как в греческом алфавите 24 буквы.

Для обозначения множества часто используют фигурные скобки. 
Так, запись А = {a, b, с, d} означает, что множество А содержит четыре 
элемента: a, b, с и d.

В математике рассматривают и множество, которое не содержит ни 
одного элемента. Это множество называется пустым и обозначается 
символом 0 .

Например, пустым множеством является множество всех целых 
решений уравнения х2 + х + 1 = 0.

Два множества, содержащие одни и те же элементы, называются 
равными. Для обозначения равенства множеств используют знак =. Таким образом, из записи А = В следует, что В — это то же множество, что 
и А, но записанное при помощи другого символа.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. Этот факт записывается так: А с  В (читается: множество В содержит множество А, или множество А содержится в множестве В). Знак с  
называется знаком включения. Например, множество четных чисел есть 
подмножество множества целых чисел.

Если А не содержится в В, то пишут: А <£ В.
Пустое множество 0  считается подмножеством любого множества.
Любое множество считается подмножеством самого себя: А с  А.
Над множествами можно производить различные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение 1. Пересечением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.

Пересечение множеств обозначается символом П : А П В.
Например, если А = {a, b, с, d} и В = {a, b, к, 1, т}, то А П B = {a, b}.
Иногда пересечение множеств называется произведением множеств.
Равенство А П В = 0  означает, что множества А и В не содержат 
одинаковых элементов.

Если A с  B, то, очевидно, А П В = А. Очевидно также, что А П А = А.

9

Из определения пересечения двух множеств следует, что А П В = 

= В П А.

Можно образовать пересечение любого конечного числа множеств.
Например, если А = {a, b, 
c, d}, B = 
{a, 
c, 
m, 
n}, 
C = 
{b, 
c, 
k, 
l}, 
t o

А П В П C = {c} (множество А П В П С содержит один элемент с).

Определение 2. Объединением множеств А и В называется множество тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно 
из множеств А и В.

Объединение множеств обозначается символом U: A U В. Например, если А = {a, b, с} и В = {b, с, d, е, f } , то A U В = {a, b, с, d, е, f}.

Иногда объединение множества называется суммой множеств.
Из определения объединения следует, что A U А = А.

Соотношение A U В = 0  равносильно двум соотношениям: А = 0  
и В = 0 .

Если A U В = А, то это означает, что В с  A; если же A U B = B, то 
А с  В.

Из определения объединения двух множеств следует, что A U В = 

= В U А.

Операцию объединения можно распространить и на число множеств, большее двух.

Например, если А = {a, b, с}, В = {b, с, d}, С = {а, т, n}, то A U

U В U С = {a, b, с, d, т, n}.

Определение 3. Разностью двух множеств А и В называется 
множество, состоящее из тех и только тех элементов множества А, 
которые не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначается символом \: А \ В.
Например, если А = {a, b, с, d} и В = {а, с, d , е, f} , то А \ В ={b}.
Из определения следует, что А \ А = 0  и если А \ В = 0 , то это означает, что А с  B.

В частном случае, если множество В есть подмножество множества А, 
то разность А \ B называется дополнением множества В до множества А и 
обозначается символом В. Например, если А = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2}, то 
В = {3, 4}.

Определение 4. Множество, состоящее из двух элементов, в котором определен порядок следования элементов, называется упорядоченной парой.

10

Для записи упорядоченной пары используются круглые скобки. 
Так, запись (а; b) означает двухэлементное множество, в котором элемент а считается первым, а элемент b — вторым.

Из определения упорядоченной пары следует, что пары (a; b) и (b; а) 
являются различными, в то время как множества {a, b} и {b, а} суть 
одно и то же множество.

Две пары (a; b) и (c; d) считаются равными тогда и только тогда, 
когда a = с и b = d.

По аналогии с упорядоченной парой можно определить и понятия 
упорядоченной тройки, упорядоченной четверки и, вообще, упорядоченной и-ки.

Первый элемент упорядоченной и-ки называется первой координатой, второй элемент — второй координатой и т. д. Иногда координаты 
и-ки называют проекциями: первая проекция, вторая проекция и т. д.

Упражнения

1.1. Запишите множество А, элементы которого суть делители числа 24.
1.2. Найдите множество целых корней уравнения 9х2 -  1 = 0.
1.3. Опишите множество точек М(х; у) плоскости, для которых:

а) у < 3;
б) (х -  2)2 + (у + 1)2 < 9.

1.4. Множество А содержит 4 элемента. Сколько подмножеств содержится в этом множестве?

1.5. Найдите пересечение множеств А = {0, 1, 2, 3}, В = {-1, 2, 3, 4, 5, 6}.
1.6. Докажите, что если А с  В, то A П B = А.
1.7. Пусть множество А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, множество В = {1, 2, 4, 6, 8}, 
множество С = { -1, 0, 3, 4, 7, 8}. Найдите множества:
а) А П В ; 
б) A U C; 
в) А П В П С;

г) A U В U С; 
д) (A U В) П С; 
е) A U (В П С).

1.8. Найдите разность множеств А = {2и -  1, и е N} и В = {4т + 1, m е N}.
1.9. Докажите, что дополнение дополнения множества B до множества 
А есть само множество В.

■  
§ 1.2. О тнош ения

В математике для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями часто пользуются термином «отношение». Например,

11