Математический анализ в примерах и задачах. Часть 2

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

Г.С. ЖУКОВА 
М.Ф. РУШАЙЛО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

ЧАСТЬ 2

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по естественно-научным и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 2 от 03.02.2020)

Э л е к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8) 
Б Б К  22.161я73 
Ж 86

Р е ц е н з е н т ы :

Краснова С.А., доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской академии наук;

Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж  86 
Математический анализ в примерах и задачах : учебное пособие. 
Ч. 2 /  Г.С. Жукова, М.Ф. Рушайло. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
544 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072162.

ISBN 978-5-16-015964-5 (общ.)
ISBN 978-5-16-015965-2 (print, ч. 2)
ISBN 978-5-16-108350-5 (online, ч. 2)
Цель учебного пособия -  помочь бакалаврам овладеть основными понятиями и методами исследования, используемыми в математическом 
анализе. В части 2 предложен цикл практических занятий по следующим 
разделам: аналитическая геометрия в пространстве; дифференциальное 
исчисление функции нескольких переменных; локальный, условный, глобальный экстремумы функции нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля; числовые, 
степенные ряды, ряды Фурье; приложения к анализу и решению прикладных задач. Данные разделы изучаются в вузах, как правило, во втором семестре в рамках дисциплины «Математический анализ» или курсов «Высшая математика», «Математика».

Для освоения каждой темы предложен необходимый теоретический 
и справочный материал, рассмотрено большое число примеров с подробным анализом и решениями, даны варианты самостоятельных работ. Для 
самостоятельной подготовки и контроля качества полученных знаний 
по каждому разделу разработаны упражнения и задачи с ответами и указаниями.

Рекомендуется преподавателям, студентам и аспирантам вузов, изучающим высшую математику.

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-015964-5 (общ.)
ISBN 978-5-16-015965-2 (print, ч. 2) 
ISBN 978-5-16-108350-5 (online, ч. 2)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 
2001, 2020

В В Е Д Е Н И Е

Вторжение математики во все области научной и практической 
деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью. Идет 
прогрессирующий процесс математизации всех наук. Этому в значительной мере способствует быстрое развитие вычислительной техники 
и ее применение в самых различных областях науки и техники.

В настоящее время решение большинства возникающих задач выполняется на компьютерах с помощью различных вычислительных алгоритмов с использованием "серьезной " математики.

Для анализа многих задач технического, химического, экономического 
или биологического характера необходимо, прежде всего, чтобы эти 
задачи были переведены на математический язык, после чего они анализируются и решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой цепи является именно "перевод" задачи на математический язык. Это объясняется тем, что для правильной математической формулировки даже 
самой простой проблемы необходимо знание не только той науки, из 
которой возникла задача, но необходимы также определенная математическая культура и математические знания.

Требования к математической подготовке современного специалиста 
постоянно возрастают. Кроме хороших знаний по своей специальности 
ему необходимо уметь использовать в своей практической деятельности возможности вычислительной техники, современные математические методы, уметь выбирать наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных известных методов.

Эти обстоятельства предъявляют к современному специалисту повышенные требования в их математической подготовке: знание теории 
и овладение навыками решения задач по основным разделам высшей математики, умение изложить их основы на четком алгоритмическом 
языке, знание преимуществ и недостатков того или иного метода решения.

3

Книга написана на базе лекций ~и практических занятий по математическому анализу, читаемых во втором семестре студентам первого 
курса 
всех 
факультетов 
и 
колледжей 
Российского 
химикотехнологического университета им. Д.И. Менделеева. В работе использованы материалы коллективного труда [9] сотрудников кафедры 
Высшей математики РХТУ им. Д.И. Менделеева.

В книге предложен цикл практических занятий и контрольных работ 
для овладения навыками решения примеров и задач следующих разделов 
математического анализа:

• 
аналитическая геометрия в пространстве;

• 
дифференциальное исчисление функции нескольких переменных;

• 
кратные, криволинейные, поверхностные интегралы;

• 
элементы теории поля;

• 
приложения;

• 
числовые ряды;

• 
функциональные ряды.

Для контроля полученных знаний предложены шесть контрольных 
работ. В книге даны образцы контрольных работ с подробным анализом. Предложен перечень контрольных вопросов по теории.

Схема изложения материала каждого занятия следующая:

1. Справочный теоретический материал, необходимый для успешного 
усвоения темы;

2. Разбор примеров (с подробным их решением и анализом);
3. Перечень задач для самостоятельного решения;
4. 
Ответы ко всем задачам.

В справочном материале нумерация теорем, формул, рисунков и примеров с решениями в каждом параграфе самостоятельная. Нумерация 
задач для самостоятельного решения и ответов к ним начинается с указания номера параграфа.

Преподавателям вузов, ведущим практические занятия по математическому анализу, можно было бы посоветовать следующий порядок 
изложения материала, включенного в книгу.

4

1. 
Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве

( §  1.2) .

2. 
Прямая и плоскость. Поверхности второго порядка 

(§3.4).

3. 
Функция нескольких переменных: область определения, множество значений, линии и поверхности уровня, предел функции 

в точке, непрерывность (§ 5, б).

4. 
Частные производные. Производная сложной функции

(§ 7).

5. 
Полная производная. Полный дифференциал (§ 7).

6. 
Дифференцирование функций одной и двух независимых переменных, заданных неявно. Производные и дифференциалы 

высших порядков (§ 7,8).

7. 
Производная по направлению. Градиент (§ 9).

8. 
Контрольная работа <<Дифференцирование функций нескольких переменных» (приложение 1).

9. 
Экстремум, условный экстремум, наибольшее и наименьшее 

значения функции (§ 10).

10. 
Двойной интеграл в декартовой системе координат

(§ И).

11. 
Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл

(§IU2).

12. 
Криволинейные интегралы (§ 13).

13. 
Элементы теории поля. Приложения. Поверхностные интегралы (§13,14).

14. 
Контрольная работа «.Кратные и криволинейные интегралы» 

(приложение II).

5

15. 
Числовые ряды: основные понятия. Свойства сходящихся

рядов. Необходимый признак сходимости. Интегральный 

признак Коши. Гармонический ряд. Ряд Дирихле 

(§15,16).

16-17. ■ Признаки сходимости положительных рядов, основанные на 

сравнении рядов. Признак Даламбера, радикальный признак 

Коши, признак Раабе (§ 16).

18. 
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная 

и условная сходимости (§ 17,18).

19. 
Контрольная работа «Числовые ряды» (приложение IV).

20. 
Степенные ряды (§ 19).

21. 
Ряды Тейлора и Маклорена(§ 20).

22. 
Контрольная работа «Степенные ряды» (приложение III).

23-24. 
Ряды Фурье (§ 15).

25. 
Контрольная работа «Ряды Фурье» (приложение V).

26. 
Коллоквиум (приложение VII).

27. 
Итоговая контрольная работа (приложение VI).

Книга может быть использовано студентами вузов как для работы 
под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения курса «Математический анализ», так как все предложенные в книге 
задачи даны с ответами, а некоторые -  с решениями. Этому же способствуют краткие пояснения теории.

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим высшую математику.

6

Глава I

АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ 
В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

1. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

1) 
Уравнение плоскости, проходящей через точку 

М(х{); у (); z0 ) перпендикулярно вектору п =(Л,В;С):

А(х -  x j +  В (у-  у0)+ C(z - z „) = 0 . 
( 1)

Вектор П = ( Д  В\ С), перпендикулярный искомой плоскости, называется вектором нормали к плоскости (рис. 1).

где А, В, С -  действительные числа, причем А2 + В2 + С2 Ф 0.

Числа (Д  В\ С) рассматриваются как координаты вектора нормали к 
плоскости.

8

3) Частные случаи располож ения плоскости, 
заданной общим уравнением (2):

а) Если D = 0 , то плоскость

Ах+ Ву+ Cz = О

проходит через начало координат.

б) Если А = 0 , то плоскость

Ву+ Cz+ D = О

параллельна оси Ох.

в) Если В = 0 , то плоскость

Ах+ Cz + D = О

параллельна оси О у .

г) Если С = 0 , то плоскость

Ах+ Ву+ D = О

параллельна оси O z.

д) Если А = В = 0 , то плоскость

C z+ D  = О

параллельна плоскости Оху.

е) Если А = С = 0 , то плоскость

B y+ D  = О

параллельна плоскости Oxz.

ж) Если В = С = 0 , то плоскость

Ах+ D = 0

параллельна плоскости Oyz.

з) Если А = D  = 0 , то плоскость

B y+ C z = О

проходит через ось О х .

9

и) Если В = D = 0 , то плоскость

А.Х+ Cz = О

проходит через ось О у.

к) Если С — D = 0 , то плоскость

Ах+ В у= О

проходит через ось Oz

л) Если А — В = D — 0 , то плоскость

z = О

является координатной плоскостью Оху.

м) Если A - C - D  = 0 , t o плоскость

Oxz.
является координатной плоскостью

н) Если В = С = D = 0 , то плоскость

х = О

является координатной плоскостью Oyz.

4) Уравнение плоскости в отрезках:

X 
у  
Z

- + - + -  = 1,

где a,b, С -соответственно абсцисса, ордината, аппликата точек пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz (рис. 2).

Рис. 2

10