Моделирование и оптимизация процессов деревообработки

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
И ОПТИМИЗАЦИЯ 
ПРОЦЕССОВ
ДЕРЕВООБРАБОТКИ

А.А. ПИЖУРИН

2-е издание, исправленное

Москва
ИНФРА-М
2020

УЧЕБНИК

Рекомендовано в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 
35.03.02 «Технология лесозаготовительных 
и деревообрабатывающих производств»,
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 674.02(075.8)
ББК 37я73
 
П32

Пижурин А.А.
П32  
Моделирование и оптимизация процессов деревообработки : учебник / А.А. Пижурин. — 2-е изд., испр. – Москва : ИНФРА-М, 2020. — 
259 с.  — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_
594d1fcca6f003.44806925.

ISBN 978-5-16-012734-7 (print)
ISBN 978-5-16-103186-5 (online)
В учебнике изложены основные сведения по моделированию и оптимизации процессов деревообработки. Рассмотрены принципы построения 
и классификация моделей объектов; методы математического программирования, теории массового обслуживания и управления запасами, календарного и сетевого планирования применительно к процессам дерево обработки.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Для магистрантов, аспирантов и научных работников лесной и деревообрабатывающей промышленности.
УДК 674.02(075.8)
ББК 37я73

А в т о р:
Пижурин Андрей Андреевич — кандидат технических наук, доцент, 
доцент кафедры «Комплексная безопасность в строительстве» Национального исследовательского Московского государственного строительного университета

ISBN 978-5-16-012734-7 (print)
ISBN 978-5-16-103186-5 (online)
© Пижурин А.А., 2016
© Пижурин А.А., 2018, с изменениями

Предисловие

Успешное решение задач, стоящих перед деревообрабатывающей промышленностью, связано с совершенствованием управления технологическими процессами и производственными комплексами путем использования вычислительной техники, средств 
автоматики, методов моделирования и оптимизации процессов 
деревообработки. Это означает, что высококвалифицированный 
специалист должен уметь строить модели технологических процессов, формулировать и решать задачи оптимизации. Он должен 
усвоить идею моделирования как метод познания окружающей 
действительности и осознать сущность оптимизационного подхода, 
который охватывает практически все происходящие вокруг нас явления и в сочетании с математическими методами и компьютерными технологиями становится методом получения эффективных 
решений.
Дисциплина «Моделирование и оптимизация процессов деревообработки» способствует подготовке специалистов, способных 
решать поставленные перед отраслью задачи. Она посвящена применению в деревообработке методов моделирования и оптимизации, рассматриваемых как научная основа эффективной производственной деятельности.
Учебник подготовлен в соответствии с Примерной основной 
образовательной программой бакалавриата высшего профессионального образования по направлению подготовки 35.03.02 «Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств». Он также будет полезен магистрантам, аспирантам 
и научным работникам лесной и деревообрабатывающей промышленности.
При написании учебника авторы преследовали две основные 
цели: 1) дать обучающемуся представление о том, из каких соображений и как строятся математические модели объектов и оптимизационных задач применительно к процессам деревообработки; 
2) ознакомить обучающегося с некоторыми основными классами 
задач исследования операций и показать возможность эффективного применения их для оптимизации процессов деревообработки.
Рассмотрены четыре класса таких задач: 1) распределительные 
задачи, т.е. задачи, связанные с оптимальным распределением 
ограниченных ресурсов по работам, которые необходимо выполнить: это, например, транспортные задачи, задача о назначениях 
и многие другие, рассмотренные в главах 3 и 4 и сводящиеся к мо

делям математического программирования; 2) задачи оптимального 
управления объектами; в широком понимании этот класс включает в себя задачи оптимизации режимов работы оборудования 
(например, подпараграф 4.4.7), задачи о замене (применительно 
к случаю замены оборудования такая задача рассмотрена в подпараграфе 5.3.3); задачи управления запасами (параграф 6.5), оптимального управления динамическими объектами (параграф 5.4) 
и другие задачи, примеры некоторых из них приведены в главе 5; 
3) задачи массового обслуживания, представление о которых дано 
в параграфах 6.1—6.4; 4) задачи упорядочения и согласования — 
глава 7.
Некоторые классы задач исследования операций в учебнике 
не рассмотрены из-за ограниченного его объема, а также по причине их меньшей значимости для исследования процессов деревообработки. Это, прежде всего, состязательные задачи, в которых 
предполагается наличие конфликтной ситуации, где два или более 
действующих лица преследуют полностью или частично противоположные интересы, а также задачи теории поиска.
Последние задачи связаны обычно с обнаружением тех или 
иных объектов, например: неисправного узла в машине, военных 
объектов противника. Для технологических исследований в деревообработке применение этих методов актуально в задачах выборочного контроля качества изделий. Здесь подлежит определению 
объем выборки, все элементы которой подвергаются контролю, 
а также характер самого контроля. Задачи поиска изучаются 
в теории статистических решений [1]. В учебнике не рассмотрен 
и ряд других задач исследования операций в условиях неопределенности.
Представляет интерес единый подход к общей задаче управления сложными системами, частным случаем которых можно 
считать производственные и технологические процессы [21]. Такой 
подход требует привлечения всей совокупности методов исследования операций, обработки экспертных оценок, планирования эксперимента.
Эффективное применение методов исследования операций 
в деревообработке — это самостоятельная, интересная и, как правило, сложная задача. Преодоление трудностей, связанных с ее решением, требует творчества, разносторонних знаний, опыта и фантазии.

Глава 1.

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД 
ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ 
ПРОЦЕССОВ ДЕРЕВООБРАБОТКИ

1.1. ПОНЯТИЕ И ПРИМЕРЫ 
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ

Кибернетика внесла в современную науку понятие о моделировании как о новом эффективном методе познания окружающей 
действительности. По этому методу изучение самого объекта — 
оригинала — ведется посредством изучения другого объекта — 
модели, — имеющего сходство с оригиналом. Под сходством понимают подобие свойств, соотношений или общность основных 
законов функционирования оригинала и модели. Моделирование 
означает построение модели объекта и исследование его на построенной модели. Такой метод познания окружающей действительности играет все более значительную роль в современной науке 
и технике.
Математической моделью объекта называется совокупность математических зависимостей, описывающих его функционирование.
Наиболее типичными объектами исследований в деревообработке являются технологические процессы механической обработки, сушки, пропитки, склеивания, прессования древесины, 
нанесение защитно-декоративного покрытия. Все они достаточно 
сложны, поэтому при математическом описании их неизбежно 
приходится упрощать, огрублять, пренебрегая второстепенными 
факторами и обращая внимание на существенные. Успех или неудача исследования во многом предопределяется выбором способа описания объекта, вида математической модели. По словам 
В.В. Налимова [22], «математическая модель — это вопрос, задаваемый исследователем природе. Он, как и всякий вопрос, содержит 
как утверждающую часть — наши знания о явлении, так и вопрошающую часть — то, что мы хотим узнать». Математические модели 
получают двумя основными методами: теоретическим и экспериментальным. Соответственно различают аналитические модели, 
построенные теоретическими методами, и эмпирические модели, 
полученные по результатам обработки экспериментальных данных. 
Поясним природу аналитических моделей.

Любой технологический процесс деревообработки включает 
некоторые физические процессы: перемещение вещества, тепло- 
и массоперенос, химические превращения. Перемещение вещества 
может быть связано с нарушением внутренних связей, что типично 
для процессов механической обработки древесины — резания, раскалывания, измельчения, обработки давлением. Физические процессы тепло- и массопереноса лежат в основе сушки и пропитки 
древесины. Технологические процессы склеивания и отделки сопровождаются химическими превращениями.
Теоретическое описание физических процессов базируется 
на общих законах природы: законах сохранения материи и энергии, 
некоторых физических принципах и законах, установленных 
опытным путем. Закон сохранения материи можно записать в виде 
уравнений материальных балансов:
для динамики процесса

 
Приход = Убыль + Приращение; 
(1.1)

для статики процесса

 
Приход = Убыль. 
(1.2)

При построении моделей эти уравнения записывают с использованием понятия «поток вещества». Поток вещества — это количество поступившего или ушедшего вещества за фиксированный 
отрезок времени через единицу поверхности.
Закон сохранения материи записывается в виде выражения (1.2) 
в том случае, когда рассматривается поток вещества, проходящий 
через определенное сечение. Для потоков вещества, поступающих 
в некоторую емкость и выходящих из нее, применяется форма (1.1). 
Закон сохранения энергии записывается аналогично (1.1) и (1.2) 
по приходу, убыли и приращению энергии.
Рассмотрим примеры построения моделей на основе закона сохранения материи.

1.1.1. Балансовая модель раскроя сырья 
на линии агрегатной переработки бревен
Обозначим через V1 входящий поток круглого сырья, выходящие 
потоки: V2 — поток пиломатериалов; V3 — поток технологической 
щепы; V4 — поток опилок; V5 — поток потерь на усушку и распыл. 
Уравнение материального баланса запишем в следующем виде:

 
V1 = V2 + V3 + V4 + V5. 
(1.3)

Взяв производные по времени от его обеих частей, получим 
дифференциальную форму уравнения

1
2
3
4
5
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dt
=
+
+
+
. 
(1.4)

Уравнение (1.4) задает связь между скоростями изменения 
входных и выходных потоков, т.е. между производительностью 
линии по пропуску сырья 
1
dV
dt, производительностью линии 
по выработке пиломатериалов 
2
dV
dt, по выработке технологической щепы 
3
dV
dt и т.д.

1.1.2. Математическая модель получения проклеенной массы 
в производстве ДВП
В ящике непрерывной проклейки, снабженном мешалкой, происходит смешивание древесноволокнистой массы (поток Q1) с пропитывающей добавкой (поток Q2), гидрофобной добавкой (поток 
Q3) и осадителем (поток Q4). В результате смешивания получается 
проклеенная масса, поток которой обозначим через Q5. Модель 
данного процесса можно записать на основе соотношения (1.1):

Q1 + Q2 + Q3 + Q4 – Q5 = ΔQ5.

Приращение ΔQ5, рассматриваемое за бесконечно малый промежуток времени dt, представляет собой производную 
5
dQ
dt. Модель 
принимает следующий вид:

Q 1 + Q2 + Q3 + Q4 – Q5 = 
5
dQ
dt.

1.1.3. Математическая модель движения частицы 
стружечной массы
Модель строится на основе физических законов.
Для контроля качества формирования древесностружечного 
ковра при производстве древесностружечных плит (ДСтП) необходимо изучить движение частиц стружечной массы при насыпке 
осмоленных древесных частиц на движущийся поддон или ленточный конвейер. Рассмотрим модель движения одиночной осмоленной древесной частицы. На свободно падающую частицу будут 
действовать сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F, пропорциональная квадрату скорости

2 2
x
F
c S
=
ρυ
,

где m — масса частицы; g — ускорение свободного падения; xc  — 
коэффициент лобового сопротивления; S — так называемое миделево сечение — площадь проекции частицы на плоскость, перпендикулярную к направлению скорости ее падения; ρ — плотность 
воздуха; υ — скорость частицы.

Второй закон Ньютона для движения частицы при ее свободном 
падении можно записать в виде

(
)
2 2
x
m d
dt
mg
c S
=
−
ρ
υ
υ
.

После разделения переменных получим

 
(
)

2
d
g
a
dt
−
=
υ
υ
, 
(1.5)

где 
2
x
a
c S
m
=
ρ
. После интегрирования дифференциального уравнения (1.5) получим

 
1

2
ln
g
a
t
C
ag
g
a

+
=
+
−

υ

υ
. 
(1.6)

Значение постоянной интегрирования С найдем из начальных 
условий. Примем, что при t = 0, то есть в момент отрыва от конвейера питателя древесная частица имеет скорость υ = 0. Подставив 
значения t = 0 и υ = 0 в формулу (1.6), получим С = 0. С учетом этого 
найдем из (1.6) выражение для скорости частицы:

 
e

e
e

2

2
2
1
2
1
1
1

g
g
a
a

⎛
⎞
−
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
+
+

υ

ag t

ag t
ag t
. 
(1.7)

Из полученной модели (1.7) движения древесной частицы следует, что скорость ее с момента отрыва монотонно возрастает, стремясь к предельному значению υпр, равному

пр
lim
.
t
g a
→ ∞
=
=
υ
υ

1.1.4. Модель распределения температуры 
по толщине нагреваемого тела
Построение модели основано на использовании как закона сохранения энергии, так и физических законов.
Данный процесс может быть описан дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка — уравнение теплопроводности Фурье. Это уравнение широко используется для описания процессов теплопереноса при прессовании древесностружечных и древесноволокнистых плит (ДВП). Рассмотрим его вывод 
для простейшего случая, когда тепло распространяется по длине 
однородного изотропного теплоизолированного стержня вдоль координаты х. Возьмем два сечения стержня на расстоянии Δ х друг 
от друга. Соответствующие им значения координаты обозначим 
через х и (x + Δ х). Обозначим через ΔQ приращение количества 
тепла в полученном элементе за некоторый промежуток времени Δ t.

Величина ΔQ равна cmΔT, где c — удельная теплоемкость; m — 
масса элемента стержня; ΔT — изменение его температуры за время 
Δ t.
Если теперь вместо промежутка времени Δ t взять единичный 
промежуток времени, то соответствующее приращение количества 
тепла q
Δ  будет равно q
Δ  = Q
t
cm T
t
Δ
Δ =
Δ
Δ . Переходя здесь к пределу при 
0
t
Δ →
, получим dq
cmdT dt
=
. Представим массу элемента как произведение его плотности ρ, площади поперечного 
сечения σ и длины Δх. Тогда

 
(
)
dq
c
x dT dt
=
ρσΔ
. 
(1.8)

Согласно закону сохранения энергии приращение dq равно алгебраической сумме количеств тепла, поступивших в рассматриваемый элемент за единицу времени через сечения х и (x
x
+ Δ ). Обозначим эти количества тепла через q1 и q2:

 
1
2
dq
q
q
=
−
. 
(1.9)

Выражения для q1 и q2 получим из закона внутренней теплопроводности в твердых телах (закона Фурье). В одномерном случае 

(
)
q
T
x
= −σλ ∂
∂
, где q — количество тепла, протекающее через площадку σ, перпендикулярную к оси х; λ — коэффициент теплопроводности. Выражение (1.9) поэтому можно переписать в виде

x
x
x

T
T
dq
x
x
+Δ

∂
∂
= −σλ
+ σλ
∂
∂
.

Поделив обе части на 
x
Δ  и учтя (1.8), получим

x
x
x

T
T
x
x
T
t
c
x

+Δ

∂
∂
−
∂
∂
∂
λ
=
⋅
∂
ρ
Δ
.

Переходя к пределу при 
0
x
Δ
→
, придем к искомому уравнению 
теплопроводности:

 
(
)
2
2
T
t
a
T
x
∂
∂
=
∂
∂
, 
(1.10)

где а — коэффициент температуропроводности, a
c
= λ
ρ.
Аналогичный вид имеет уравнение влагопроводности, описывающее распределение влажности в теле и используемое в теории 
сушки древесины.

1.1.5. Простейшие модели развития в науке и технике
В некоторых случаях закономерности протекания различных процессов можно описать, используя общие соображения. Пусть y — величина, характеризующая количество определенной продукции 
(в широком смысле), созданной человеком или природой к настоящему моменту времени t. Это может быть, например, количество товаров, биомасса растущего дерева, число изобретений, количество 
публикаций в некоторой научной области и т.д. Иногда можно предположить, что приращение 
y
Δ  этой величины за промежуток времени t
Δ  пропорционально самой величине y и длине промежутка, 
т.е. y
a y
t
Δ
=
Δ , где a — коэффициент. Переходя к бесконечно малым 
приращениям, получим дифференциальное уравнение dy d t
a y
=
.
Приняв за начало отсчёта t = t0 = 0, получим решение этого уравнения в виде 
e
0
y
y
=
at. График этой зависимости представляет 
собой экспоненциальную кривую (рис. 1.1, а). Здесь y0 — это значение у при t = 0.
Такой экспоненциальный рост действительно свойствен процессам, имеющим лавинообразный характер, когда прирост пропорционален достигнутому уровню и нет ограничений роста. Эта 
же зависимость справедлива и для описания общей закономерности развития науки и техники в эпоху НТР.
Допустим теперь, что процесс расширенного воспроизводства 
протекает в условиях ограниченности ресурсов. Тогда его иногда 
можно описать следующим дифференциальным уравнением, справедливым в предположении, что скорость прироста d y d t возрастает 
пропорционально количеству полученного продукта и снижается 
по мере исчерпания ресурсов:

(
)
1
dy dt
a
y k
y
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦ ,

где k — коэффициент.
В результате интегрирования этого уравнения (при t0 = 0) получаем 
(
)
e
1
at
y
k
b −
=
+
, где 
(
)
0
1
b
k y
=
− .

Это уравнение описывает так называемую логистическую кривую 
(рис. 1.1, б). При t → ∞ ордината этой кривой стремится к асимптоте y = k. На начальном участке, т.е. при малой степени использования ресурсов, она сходна с экспонентой. Логистические кривые 
хорошо описывают различные процессы «с насыщением», в том 
числе и развитие во времени функциональных характеристик различных технических устройств.