Высшая математика: этюды по теории и её приложениям

С. В. Фролов
А. Ш. Багаутдинова

ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА

Этюды по теории
и её приложениям

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по 
университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки 
бакалавров и магистров «Техническая физика»

Санкт-Петербург
ГИОРД
2012

УДК 51
ББК 22.1
 
Ф91

Фролов С. В.
Ф91 
 
Высшая математика : этюды по теории и её приложениям : учеб. пособие /
С. В. Фролов, А. Ш. Багаутдинова. — СПб. : ГИОРД, 2012. — 616 с.

ISBN 978-5-98879-149-2

Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, 
как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики. Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым 
на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются 
на последних стадиях обучения.
Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами 
иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, 
материал для математических кружков и т. д.

УДК 51
ББК 22.1

ISBN 978-5-98879-149-2 
© ООО «Издательство „ГИОРД“», 2012

Рецензенты: кафедра высшей математики ФГБОУ  ВПО «Санкт-Петербургский
 
политехнический университет» (заслуженный работник высшей школы
 
РФ, канд. техн. наук, профессор Ю. А. Хватов);

 
кафедра криогенной техники СПБГУНиПТ (зав. кафедрой, д-р техн.
 
наук, профессор Е. И. Борзенко)

Оглавление

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Тема 1. Устойчивость разностных схем решения задач математической
 
физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Тема 2. Эллиптические координаты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Тема 3. Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость
 
лазерного луча  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Тема 4. Основы проективной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Тема 5. Дважды линейчатые поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Тема 6. Рациональные параметризации и арифметика алгебраических
 
кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

Тема 7. Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная
 
компьютерная криптография (схемы с открытым ключом)  . . . . . . . . .53

Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Тема 8. Явление радуги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Тема 9. Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

Тема 10. Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса  . . .74

Тема 11. Метод наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Тема 12. Принцип минимума свободной энергии и каноническое
 
распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

Тема 13. Простейшие особенности плоских кривых (крест,
 
изолированная точка, клюв) и их распускания  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Тема 14. Огибающие семейств кривых и их особенности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ  . . . . . . . . . . . .98

Тема 15. Кривизна и кручение пространственной кривой.
 
Базис Френе и формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

Тема 16. Кривизна поверхности. Гауссова кривизна и средняя кривизна. . . . .103

Тема 17. Внутренняя геометрия поверхности. Параллельный перенос
 
и геодезические. Локальная теорема Гаусса-Бонне.
 
Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского  . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

Оглавление

Тема 18. Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема
 
Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных
 
поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок . . . .116

Тема 19. Непрерывные касательные векторные поля
 
к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре.
 
Теория Морса. Многообразия высших размерностей.
 
Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Раздел 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Тема 20. Комплексное дифференцирование, конформные
 
отображения и гармонические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Тема 21. Дробно-линейные отображения и задача о тепловых
 
потерях трубопровода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Тема 22. Степенные отображения и задача о громоотводе. . . . . . . . . . . . . . . . . .142

Тема 23. Отображение Жуковского и обтекание цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Тема 24. Особые точки гармонических функций (источник, вихрь,
 
диполь). Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла. . . . . . . . .150

Тема 25. Комплексная диэлектрическая проницаемость
 
и СВЧ-нагрев пищевых продуктов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Раздел 5. МНОГОЧЛЕНЫ, КОЛЬЦА, АЛГЕБРЫ, ГРУППЫ, ПОЛЯ  . . . . . . . . . . .155

Тема 26. Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу  . . . . . . . . . . . .155

Тема 27. Арифметика мнимых квадратичных колец. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

Тема 28. Кватернионы и вращения трёхмерного пространства.
 
Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица
 
и Фробениуса. История становления векторного исчисления  . . . . . .171

Тема 29. Конечные некоммутативные группы. Группы перестановок
 
и симметрий многоугольников и многогранников.
 
Порождающие элементы, определяющие соотношения
 
и графы групп. Разрешимые и простые группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

Тема 30. Римановы поверхности аналитических функций.
 
Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля. . . . . . . . . .196

Тема 31. Алгебраические расширения полей и построения
 
с помощью циркуля и линейки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

Тема 32. Кинетика простейших химических реакций  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

Тема 33. Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние  . . . . . . .212

Тема 34. Математический маятник и эллиптические интегралы  . . . . . . . . . . . .218

Тема 35. Энергия гравитационной дифференциации Земли,
 
мантийная конвекция и дрейф континентов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

Тема 36. Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа 
 
и формула Стирлинга  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

Оглавление

Тема 37. Сферические координаты в n-мерном пространстве.
 
Объём и площадь поверхности n-мерного шара  . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Тема 38. Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса
 
и коэффициент зацепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

Раздел 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . . . .252

Тема 39. Барометрическая формула в поле центробежной
 
силы и определение молекулярной массы
 
высокомолекулярных соединений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252

Тема 40. Последовательные химические реакции и максимальный
 
выход промежуточного продукта  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

Тема 41. Функция распределения продукта по времени пребывания
 
в аппаратах непрерывного действия  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

Тема 42. Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции . . . . . . . . . . . . .256

Раздел 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . .262

Тема 43. Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс.
 
Уравнение Дуффинга  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262

Тема 44. Теория флаттера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266

Тема 45. Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора
 
Лапласа. Функции Бесселя. Приближённое решение
 
прямым вариационным методом  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

Тема 46. Нелинейные задачи на собственные значения.
 
Задача Эйлера о потере устойчивости колонны. . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

Тема 47. Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических
 
координатах. Многочлены и функции Лежандра  . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Тема 48. Уравнения с периодическими коэффициентами. Матрица
 
монодромии и решения Флоке. Параметрический резонанс  . . . . . . .291

Тема 49. Квазиклассическое приближение, туннельный эффект
 
и альфа-распад атомных ядер  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

Раздел 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 
(КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

Тема 50. Модели конкуренции и модель хищник-жертва  . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

Тема 51. Модель роста и таяния ледника и глобальный климат . . . . . . . . . . . . .309

Тема 52. Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля  . . . . . . . . . . . . . . . . .313

Тема 53. Анализ устойчивости предельного цикла.
 
Задача Жуковского о виброразделении смесей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

Тема 54. Вырождение собственных частот и вековые слагаемые.
 
Задача о рациональной компоновке автомобиля. . . . . . . . . . . . . . . . . .320

Оглавление

Тема 55. Устойчивость Лагранжевых движений в ограниченной
 
задаче трёх тел  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

Тема 56. Движение в центральном поле: замкнутость траекторий,
 
скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы
 
Ленца и задача Максвелла о «рыбьем глазе». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335

Раздел 10. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342

Тема 57. Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена.
 
Числа Бернулли  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342

Тема 58. Распределение простых чисел. Функции Мангольда
 
и Римана и гипотеза Римана  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348

Тема 59. Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном
 
сжатии изображений. Вейвлеты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356

Раздел 11. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1  . . . . . . . . . . . . . . . . .360

Тема 60. Кинематика движения сплошной среды. Уравнение
 
неразрывности и метод характеристик. «Блины Зельдовича»
 
и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной. . . . . . .360

Тема 61. Задача остывания (нагревания) тела. Метод разделения
 
переменных. Самосопряжённая эллиптическая краевая задача. . . . .366

Тема 62. Квазиодномерная нестационарная теплопроводность,
 
регулярный тепловой режим и вариационный метод . . . . . . . . . . . . . .369

Тема 63. Квазиодномерная стационарная теплопроводность,
 
тепловое сопротивление квазиодномерной стенки. . . . . . . . . . . . . . . .373

Тема 64. Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное
 
решение. Квазистационарное приближение и формула Планка  . . . .375

Тема 65. Теплопроводность неоднородных тел. Методы неравновесной
 
термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена  . . . . . . . . .378

Раздел 12. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2  . . . . . . . . . . . . . . . . .387

Тема 66. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения
 
Навье-Стокса). Задача Стокса о медленном движении шара.
 
Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена  . . . . . . . . . . . . . . . . .387

Тема 67. Уравнения Прандтля пограничного слоя. Решение
 
Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений.
 
Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины  . . . . . . . . . . . . . . .396

Тема 68. Волны на поверхности воды. Уравнение Кордевега-де-Фриза,
 
солитоны и уединённые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403

Тема 69. Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой
 
и уравнение синус-Гордон  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411

Тема 70. Теплоотдача при стекании плёнки жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

Тема 71. Функция распределения продукта по времени пребывания —
 
модель «дрейф + диффузия». Условия Данкверста  . . . . . . . . . . . . . . . .419

Оглавление

Раздел 13. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 3  . . . . . . . . . . . . . . . . .423

Тема 72. Уравнение Шредингера в центрально-симметричном поле.
 
Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме
 
водорода. Потенциал гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . .423

Тема 73. Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение
 
периодической системы элементов (правило Маделунга). . . . . . . . . .431

Тема 74. Вариационный метод приближённого решения задач
 
квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия
 
и двухэлектронных ионов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437

Тема 75. Прохождение частицы через потенциальный барьер.
 
Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный
 
эффект. Безотражательные потенциалы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441

Тема 76. Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца. . . . . . . . . . . . .445

Раздел 14. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
 
СТАТИСТИКА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452

Тема 77. Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей  . . . . . . . .452

Тема 78. Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции. . .462

Тема 79. Процессы случайного блуждания: вероятность возврата,
 
связь с диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467

Тема 80. Коэффициент корреляции и анализ зависимости
 
источников в историографии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470

Тема 81. Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости  . . . . . . . . . . . . . . .474

Раздел 15. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478

Тема 82. Динамические системы с инвариантной мерой. Эргодическая
 
теорема Биркгофа и обоснование статистической механики.
 
Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание
 
и термодинамическая необратимость  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478

Тема 83. Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма
 
сдвигов Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491

Тема 84. Цепные дроби и приближения иррациональных чисел
 
рациональными. Проблема построения календарей.
 
Алгебраические и трансцендентные числа. Уравнение Пееля
 
и единицы действительных квадратических колец . . . . . . . . . . . . . . . .495

Тема 85. Динамические системы, связанные с цепными дробями.
 
Теорема Хинчина-Леви  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .510

Тема 86. Отображение отрезка в себя: каскад удвоений,
 
универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа. . . . . . . . . . . . . . . . . .513

Тема 87. Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность. . . . . . .518

Тема 88. Сосуществование циклов, теорема Шарковского,
 
топологическая и ляпуновская энтропии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534

Оглавление

Тема 89. Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы
 
системы. Малые знаменатели и КАМ-теория. Расщепление
 
сепаратрисс и отображение Чирикова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550

Раздел 16. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА  . . . . . .563

Тема 90. Понятие количества информации — вероятностный подход.
 
Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация  . . . . . . . . . . . . .563

Тема 91. Количество информации — алгоритмический подход. Частично
 
и общерекурсивные функции, тезис Чёрча. Перечислимые
 
и разрешимые множества. Теорема Колмогорова  . . . . . . . . . . . . . . . . .567

Тема 92. Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема
 
Париса-Харрингтона и неполнота арифметики  . . . . . . . . . . . . . . . . . .572

Тема 93. Кодирование информации. Проблема однозначности
 
декодирования. Неравенство Крафта. Полные коды  . . . . . . . . . . . . . .578

Тема 94. Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое
 
кодирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .580

Тема 95. Словарные алгоритмы сжатия информации.
 
Коды Зива-Лемпела  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585

Тема 96. Блочные методы сжатия информации.
 
Преобразование Барроуза-Уиллера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589

Тема 97. Фрактальное сжатие изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592

Тема 98. Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды,
 
генерирующая и проверочная матрицы. Код Хэмминта.
 
Плотно упакованные коды  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595

Тема 99. Проблема максимума определителя, матрицы Адамара
 
и эквидистантные коды  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .600

Тема 100. Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель
 
Хопфилда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604