Теоретическая механика

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г.




М.И. БЕЛОВ
Б.В. ПЫЛАЕВ




                ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
                МЕХАНИКА




УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Издание второе, переработанное и дополненное



       Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по агроинженерному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Агроинженерия»


znanium.com

Москва РИОР ИНФРА-М

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
Б43

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

          Авторы:
          Белов М.И. — д-р техн. наук, профессор. Является автором более 60 печатных работ, в том числе двух учебных пособий с грифом УМО, а также автором 10 изобретений и разработчиком курсов по теоретической механике и теории механизмов и машин;
          Пылаев Б.В. — д-р техн. наук, профессор. Является автором 55 печатных работ, в том числе учебного пособия с грифом УМО, а также автором 36 изобретений

          Рецензенты:
          Воробьев Е.И. — д-р техн. наук, профессор кафедры технической механики, Российский государственный аграрный заочный университет;
          Мачнев В.А. — д-р техн. наук, профессор кафедры «Основы конструирования механизмов машин», Пензенская государственная сельскохозяйственная академия




          Белов М.И., Пылаев Б.В.
   Б43 Теоретическая механика : учебное пособие / М.И. Белов, Б.В. Пылаев. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2020. — 335 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/17847
              ISBN 978-5-369-01574-2 (РИОР)
              ISBN 978-5-16-012200-7 (ИНФРА-М, print)
              ISBN 978-5-16-105051-4 (ИНФРА-М, online)
              Учебное пособие написано в соответствии с ФГОС и содержит основные положения теоретической механики, включая понятия о гироскопах, основы аналитической механики и теории удара, задания для расчетных работ с объектами механизмов.
              Предназначено студентам, обучающимся по направлению «Агроинженерия». Может быть использовано при изучении теоретической механики в вузах и на факультетах технического профиля.

                                                             УДК 531(075.8)
                                                             ББК 22.21я73










   ISBN 978-5-369-01574-2 (РИОР)
   ISBN 978-5-16-012200-7 (ИНФРА-М, print)
   ISBN 978-5-16-105051-4 (ИНФРА-М, online)

© Белов М.И., Пылаев Б.В.

ПРЕДИСЛОВИЕ


    Предлагаемое второе издание учебного пособия ориентировано на студентов агроинженерных вузов, специализирующихся на разработке, эксплуатации и ремонте машин и оборудования АПК. Содержание учебного пособия соответствует программе по теоретической механике Государственного образовательного стандарта по направлению «Агроинженерия». Оно может быть использовано студентами технических вузов, в которых дисциплина «Теоретическая механика» не является профилирующей.
    Во втором издании исправлены найденные неточности, переработан раздел по движению точки по поверхности, сложному движению тела, добавлен раздел о гироскопах и гироскопических явлениях, приводящих к существенному увеличению нагрузки на опоры роторов сельскохозяйственных машин и оборудования, переработаны расчетные работы. Электронные версии лекций, лабораторных работ, практических занятий, расчетных работ, приложений для выполнения расчетных работ на компьютере и тесты по каждому разделу размещены на сайте www.tmmagro.ru.
    Разделы 1-10 написаны М.И. Беловым, 11-12 - Б.В. Пылаевым и М.И. Беловым совместно. В разделе 13 задания по статике и малым колебаниям системы с одной степенью свободы подготовлены Б.В. Пылаевым, другие задания разработаны М.И. Беловым.

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

   Механика - это наука о механическом движении материальных тел и взаимодействиях между ними.
   Возникновение и развитие механики неразрывно связаны с нуждами практики. Сегодня никого не удивляют мобильная связь, современные автомобили и небоскребы. При выводе спутников на орбиту, конструировании машин, возведении сооружений прямо или косвенно используются законы механики.
   Знания о механике зарождались в глубокой древности. Уже в первобытном обществе за десятки и сотни тысяч лет до нашей эры использовалось на охоте и осмысливалось на опыте движение дротика и копья. С появлением скотоводства и земледелия велись астрономические наблюдения за «движением» Солнца, чтобы правильно определить периоды выпаса скота, сроки посадки и уборки окультуренных растений. За несколько тысячелетий до н.э. стали сооружаться дворцы, храмы, стены, монументы. Для доставки и подъема глыб при строительстве пирамид в Древнем Египте в III-II тысячелетиях до н.э. употреблялись катки и качалки, служившие прообразом современных рычажных механизмов. Колеса повозок, происходящие от катков, были известны с III тысячелетия до н.э. Лишь в эпоху нашей эры правила военного искусства, строительства сооружений и ремесел перестали передаваться только устно, и появились письменные руководства. К одним из первых дошедших до нас трактатов по механике, появившихся в Древней Греции в IV в. до н.э., относятся сочинения Аристотеля, который со своими учениками и ввел в науку сам термин «механика», означающий «ухищрение». В его сочинениях содержатся решения простейших кинематических задач о сложении движений, рассматриваются условия прямолинейного, равномерного движения тела (точки), изучаются скорости падения тяжелых и легких тел.
   Основное внимание в древних рукописях уделяется учениям о равновесии. Во времена Аристотеля были известны законы сложения и уравновешивания сил, приложенных в одной точке и действующих вдоль одной прямой. В III в. до н.э. появляется теория рычага выдающегося ученого древности Архимеда: грузы находятся в равновесии, когда плечи рычага обратно пропорциональны грузам.

4

    В средние века развитие механики приостановилось и возобновилось в эпоху Возрождения с XV в. Леонардо да Винчи расширил теорию рычага и статику в целом. Н. Коперник, И. Кеплер, Г. Галилей, Р. Декарт, X. Гюйгенс заложили основы кинетики.
    Г. Галилей является творцом динамики: установленные им законы инерции, независимости действия сил, сложения движений сформировали современные понятия о силе и ускорении. «Явления природы необходимо измерять, а что не измеряемо сделать измеряемым» (Г. Галилей).
    «Стоя на плечах гигантов и видя далеко», И. Ньютон в 1687 г. окончательно сформулировал основные законы механики. Заложенные И. Ньютоном основы математического анализа - мощный инструмент для математического моделирования природы. Механика Г а-лилея-Ньютона называется классической. Исходными в классической механике являются понятия о пространстве, времени и механическом движении.
    Ньютон допускает существование абсолютного пространства, остающегося всегда одинаковым и неподвижным. Пространство считается трехмерным, или евклидовым, моделируемым геометрией Евклида с определением длины отрезка. В системе СИ эталоном единицы длины служит метр (первоначально метр принимался равным 1/[40000000] части длины меридиана, проходящего через Париж). Расстояние между точками пространства полагается равным длине отрезка прямой, соединяющей точки.
    Время, по Ньютону, абсолютно, не зависит от пространства, протекает одинаково и равномерно во всех его точках и называется длительностью. Основными единицами измерения времени первоначально считались солнечные сутки и секунда (секунда принималась равной 1/[24-60-60]) части солнечных суток).
    Момент, от которого начинается отсчет времени, называется начальным. Момент времени есть граница, отделяющая длительности времени между собой. Промежуток времени есть длительность, ограниченная двумя моментами времени.
    Механическое движение геометрической точки в классической механике - это простое перемещение точки из одной части пространства в другую и от одного момента времени к другому. Ее положение

5

в пространстве в данный момент можно определить только по отношению или относительно какого-то тела. Под телом в данный момент понимается область пространства, ограниченная некоторой поверхностью и непрерывно заполненная непроницаемым веществом. В классической механике допускается существование абсолютного неподвижного тела (среды). Мысленно проведем через точки этого тела три взаимно перпендикулярные, пересекающиеся в одной точке оси, образующие ортогональную декартову систему координат.
    Часы, тело и связанная с ним система координат называются системой отсчета. Вместо ортогональной системы декартовых координат можно выбрать другие координатные системы, а вместо абсолютно неподвижного тела - условно неподвижное, например, Зем

лю.

    Можно сказать, что четыре числа - координаты x, y, z точки в декартовой системе координат и момент t времени - полностью определяют положение точки М в пространстве и времени (рис. 1.1).
    Механическое движение тела в классической механике - это простое перемещение тела как совокупности точек из одной части пространства в другую и от одного момента к другому. Тело находится в пространстве, но не яв

ляется фиксированной его частью, поскольку находится в постоянном движении. Положение тела и каждой его точки в пространстве

можно определить только по отношению или относительно какого-то другого тела, которое вместе со связанной с ним системой координат является системой отсчета.
    Теоретическая механика в своей основе есть классическая механика, или наука о законах равновесия и механического движения материальных объектов: абсолютно твердого тела, материальной точки и материальной системы тел или точек. Абсолютно твердым называется тело, расстояния между любыми точками которого остаются неизменными. Материальная точка есть тело, геометрическими размерами которого можно пренебречь. Материальной системой тел и/или точек считается совокупность абсолютно твердых тел

6

и/или материальных точек, движения и положения которых взаимно связаны.
    В отличие от геометрической материальная точка обладает массой - динамической характеристикой точки. В системе СИ единицей измерения массы служит килограмм.
    Классическая механика, как и школьная геометрия Евклида, строится на некотором фундаменте, которым служат законы и аксиомы, подтверждаемые историей и деятельностью человечества. Теоремы, доказанные на основе этих законов и аксиом, подтверждают материальность мира и являются действенным инструментом для его понимания и преобразования.

2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ


    Часть механики, в которой изучаются движения геометрической точки, называется кинематикой точки.


2.1. Основная задача кинематики точки


    Движение точки происходит в пространстве и времени. Перемещением точки называется ее переход из одного положения А в пространстве в другое В произвольным способом за определенный про
межуток времени (рис. 2.1). Под перемещением точки из положения А в положение В понимается вектор АВ с началом в точке А. Зависимость положения движущейся точки в пространстве от времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считается известным, если ее положение в пространстве можно определить в любой момент t времени, отсчитываемого от

z

У

X

Рис. 2.1

начального момента.
    Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки.
    Основными кинематическими характеристиками движения точки считают скорость и ускорение точки.


2.2. Закон движения точки и способы его определения


    Движение точки в пространстве определяется тремя способами: векторным, координатным и естественным.
    1.    Векторный способ позволяет находить движение в так называемой «инвариантной» форме, независимо от системы координат.
    Пусть О - неподвижная точка пространства, М - движущаяся точка. Вектор ОМ называют радиусом-вектором г точки М (рис. 2.2). Вектор г есть векторная функция от времени t:


г = r( t).         (2.1) Рис’ ²,²


8

    Зависимость (2.1) определяет закон движения точки векторным способом. Кривая, которую описывает конец М векторной функции с началом в фиксированной точке О пространства, называют годографом векторной функции. Таким образом, траектория движения точки есть годограф ее радиуса-вектора.
    2.    Координатный способ базируется на разложении вектора г на векторы вдоль координатных осей.
    Пусть Oxyz - неподвижная прямоугольная декартова система координат с началом в т. О и ортами i, j, к по осям Ох, Оу, Oz;
    х, у, z - координаты вектора г и точки М.
В соответствии с обозначениями

на рис. 2.3 находим:

г = х-1 + у-j+ z-к.   (2.2)
        Так как г = r(t), а векторы i, j, к постоянны по величине и направлению, то координаты точки М -функции времени:

х = х(t), у = у(t), z = z(t). (2.3)

    Функциональные зависимости (2.3) есть закон движения точки М, заданный координатным способом. Они позволяют найти координаты точки в пространстве относительно декартовой системы координат Oхуz в любой момент t времени.
    При движении точки в плоскости за плоскость можно принять Оху, и уравнения движения (2.3) запишутся так: х = х(t), у = у(t).
    Пусть автомобиль как геометрическая точка движется по прямой дороге так, что, начиная от момента времени 0, проходимый им путь (перемещение) прямо пропорционален времени t. Направив ось Ох вдоль дороги и поместив начало О координат в точку начала движения, найдем закон движения автомобиля в координатном виде

х = к • t, у = 0, z = 0,

где к - коэффициент пропорциональности.

9

    Определение закона движения точки координатным способом математически тождественно определению траектории движения точки параметрическим способом, когда параметром служит время t.
    3. Естественный способ применяется, когда траектория движения точки известна.
    Пусть АВ - траектория движения точки М в пространстве. Выберем фиксированную точку О 1 на траектории и назовем ее началом отсчета. Изберем линейный масштаб, чтобы можно было измерить длину дуги 0АМ (рис. 2.4). Условимся считать одно направление от точки О 1 вдоль траектории положительным, а другое -отрицательным. Тогда положение точки М на траектории однозначно определяется дуговой координатой 5, равной длине дуги 0±М со знаком плюс или минус. Ко

ордината 5 является заданной или искомой функцией 5 (t) от времени и положительна, если положение точки М на траектории соответствует положительному направлению отсчета:

5 = 5 (t).                    (2.4)
    Функция (2.4) определяет закон движения точки естественным способом, а именно, по заданной траектории.
    Движение автомобиля (точки) можно задать естественным способом, если траектория движения точки известна. При этом надо выбрать: 1) начало отсчета; 2) положительное направление отсчета дуговой координаты 5 от начала; 3) закон изменения дуговой координаты 5. Выбрав начало в начале декартовой системы координат, а положительное направление - в направлении оси Ох, получим 5 = k • t.
    Если уравнение траектории в пространстве известно, то закон движения точки в естественном виде позволяет найти положение точки в пространстве в любой момент.
2.3. Скорость точки и способы ее определения
    Скорость движения точки - одна из двух основных кинематических величин. Она определяется тремя способами: векторным, координатным и естественным.

10