Теория электрических цепей

ТЕОРИЯ

 ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 

ЦЕПЕЙ

Москва
РИОР

ИНФРА-М

В.И. НИКУЛИН 

Учебное пособие

Рекомендовано УМО по образованию в области 

инфокоммуникационных технологий и систем связи в 

качестве учебного пособия для студентов высших учебных 

заведений, обучающихся по направлению подготовки 

«Инфокоммуникационные  технологии и системы связи» 

квалификации (степени) «бакалавр» 
и квалификации (степени) «магистр»

Автор:

Никулин Владимир Иванович — канд. техн. наук, доцент (научно-педаго
гический стаж — 36 лет). Автор более 120 научных трудов (из них 59 А.С. 
и патентов на изобретения). Награжден орденом Почета.

Рецензенты:

В.М. Кожевников — д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой ТОЭ 

Северо-Кавказского государственного технического университета; 

И.А. Калмыков — д-р техн. наук, профессор, заместитель начальника ка
федры информационно-коммуникационных технологий в автоматизированных системах боевого управления Ставропольского военного иститута связи 
ракетных войск

Никулин В.И. 

Теория электрических цепей : учеб. пособие / В.И. Никулин. — М. : 

РИОР : ИНФРА-М, 2019. — 240 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/13462

ISBN 978-5-369-01179-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006571-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103872-7 (ИНФРА-М, online)

Учебное пособие содержит последовательное изложение тем программы дисци
плины «Теория электрических цепей». 

В пособии рассмотрены основные теории и методы анализа линейных и 

нелинейных электрических и радиотехнических цепей при гармоническом и 
негармоническом воздействиях, основы теории четырехполюсников и цепей 
с распределенными параметрами, представлены основные характеристики 
апериодических цепей, колебательных контуров и электрических фильтров, 
периодических и апериодических сигналов. 

Учебное пособие позволяет реализовать систему подготовки специалистов, 

которые на основе теоретических положений могут осваивать и эксплуатировать электротехнические и электронные устройства современных и перспективных телекоммуникационных систем, средств связи и вычислительной техники.

Для студентов, обучающихся по направлениям «Телекоммуникации», «Ин
форматика и вычислительная техника».

УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.27-01я73

ISBN 978-5-369-01179-9 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006571-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103872-7 (ИНФРА-М, online) 
© Никулин В.И.

УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.27-01я73
 
Н65

Н65

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .................................................................................................7

Глава 1. Основные законы теории и методы анализа 
электрических цепей ...........................................................................9
1.1. Электрические цепи: основные понятия .......................................9
1.1.1. Элементы электрических цепей .......................................... 10
1.1.2. Модель и топология электрической цепи ........................... 13
1.2. Основные законы теории электрических цепей .......................... 15
1.2.1. Закон Ома ............................................................................. 15
1.2.2. Законы Кирхгофа ................................................................. 16
1.3. Мощность в электрической цепи ................................................. 18
1.3.1. Баланс мощности ................................................................. 18
1.3.2. Мощность потерь и КПД ..................................................... 19
1.4. Режимы работы электрической цепи ........................................... 20
1.5. Эквивалентные преобразования электрических цепей ............... 22
1.5.1. Последовательное соединение резистивных элементов  ... 22
1.5.2. Параллельное соединение резистивных элементов ........... 23
1.5.3. Смешанное соединение резистивных элементов ............... 24
1.5.4. Соединение элементов по схеме «звезда» 
и «треугольник» .................................................................... 24
1.5.5. Преобразование ветвей с источниками ЭДС...................... 25
1.6. Методы анализа линейных электрических цепей ........................ 27
1.6.1. Метод наложения ................................................................. 27
1.6.2. Метод уравнений Кирхгофа ................................................ 29
1.6.3. Метод контурных токов ....................................................... 31
1.6.4. Метод узловых потенциалов ................................................ 36
1.6.5. Метод двух узлов .................................................................. 40
1.6.6. Метод эквивалентного генератора 
(активного двухполюсника) ................................................. 41

Глава 2. Цепи синусоидального тока ......................................................45
2.1. Синусоидальный ток ..................................................................... 45
2.1.1. Генерирование синусоидальной ЭДС .................................. 45
2.1.2. Основные величины, характеризующие 
синусоидальные ЭДС, напряжения и токи ......................... 46
2.1.3. Формы представления синусоидального тока .................... 47
2.2. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока .................... 49
2.2.1. Идеальный резистор в цепи синусоидального тока ........... 49
2.2.2. Идеальная индуктивная катушка 
в цепи синусоидального тока ............................................... 50
2.2.3. Идеальный конденсатор в цепи синусоидального тока ..... 52

2.3. Анализ линейных электрических цепей 
синусоидального тока .................................................................... 53
2.3.1. Анализ цепей при последовательном 
соединении элементов ......................................................... 53
2.3.2. Анализ цепей при параллельном 
соединении элементов  ........................................................ 56
2.4. Мощности в цепи синусоидального тока ..................................... 57

Глава 3. Трехфазные цепи ......................................................................63
3.1. Трехфазная система ЭДС ............................................................... 63
3.2. Схема соединений «звезда-звезда» ............................................... 68
3.2.1. Схема соединений «звезда-звезда» 
с нейтральным проводом ..................................................... 68
3.2.2. Схема соединений «звезда-звезда» 
без нейтрального провода .................................................... 70
3.3. Соединения фаз приемника по схеме «треугольник» .................. 72
3.4. Мощность трехфазной цепи ......................................................... 73

Глава 4. Переходные процессы в электрических цепях ...........................74
4.1. Законы коммутации ....................................................................... 74
4.2. Анализ переходных процессов классическим методом  .............. 75
4.2.1. Подключение RL-цепи к источнику постоянной ЭДС ..... 75
4.2.2. Подключение RС-цепи к источнику постоянной ЭДС ...... 77
4.2.3. Разряд конденсатора в RС-цепи .......................................... 79
4.3. Операторный метод анализа переходных процессов  .................. 81
4.3.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства ............ 81
4.3.2. Операторные схемы замещения идеальных элементов...... 83
4.3.3. Анализ переходных процессов в линейной 
электрической цепи операторным методом ....................... 86

Глава 5. Характеристики электрических цепей и сигналов ......................89
5.1. Передаточные функции линейных электрических цепей ........... 89
5.2. Операторные передаточные функции электрических цепей ...... 90
5.2.1. Операторные передаточные функции цепей 
первого порядка .................................................................... 90
5.2.2. Операторные передаточные функции цепей 
второго порядка .................................................................... 92
5.3. Частотные передаточные функции электрических цепей  .......... 96
5.3.1. Частотные характеристики электрических цепей 
первого порядка .................................................................... 97
5.3.2. Частотные характеристики электрических цепей 
второго порядка .................................................................. 101
5.4. Параметры и частотные характеристики 
последовательного колебательного контура............................... 106

5.4.1. Параметры последовательного 
колебательного контура ..................................................... 107
5.4.2. Частотные характеристики 
последовательного колебательного контура ..................... 108
5.4.3. Влияние нагрузки и источника на параметры 
последовательного колебательного контура ..................... 110
5.5. Частотные характеристики параллельных 
колебательных контуров .............................................................. 111
5.5.1. Схемы замещения параллельного 
колебательного контура ..................................................... 111
5.5.2. Параметры параллельного колебательного контура ........ 113
5.5.3. Входные частотные характеристики  ................................ 114
5.5.4. Передаточные частотные характеристики 
параллельного колебательного контура ............................ 116
5.5.5. Сложные параллельные колебательные контуры ............. 118
5.6.  Частотные характеристики связанных 
колебательных контуров .............................................................. 120
5.6.1. Схемы замещения связанных контуров ............................ 121
5.6.2. Резонансные явления в связанных контурах .................... 124
5.6.3. Передаточные частотные характеристики 
связанных колебательных контуров .................................. 126
5.7. Временные характеристики электрических цепей .................... 130
5.7.1. Единичные функции и их свойства .................................. 130
5.7.2. Временные характеристики апериодических цепей 
первого порядка .................................................................. 135
5.7.3. Временные характеристики апериодических цепей 
второго порядка .................................................................. 138
5.7.4. Временные характеристики последовательного 
колебательного контура ..................................................... 140
5.7.5. Временные характеристики параллельного 
колебательного контура ..................................................... 142
5.7.6. Взаимосвязь операторной передаточной 
функции и временных характеристик ............................... 145
5.7.7. Временной метод анализа переходных процессов ........... 145
5.8. Характеристики сигналов ............................................................ 147
5.8.1. Временное представление сигналов .................................. 148
5.8.2. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье ........... 149
5.8.3. Дискретный спектр периодических сигналов .................. 151
5.8.4. Величины, характеризующие несинусоидальные 
периодические токи и напряжения ................................... 154
5.8.5. Анализ электрических цепей периодического тока ......... 157
5.8.6. Апериодические сигналы и их спектры ............................ 158

Глава 6. Четырехполюсники ................................................................ 161
6.1. Первичные параметры четырехполюсников .............................. 162
6.2. Характеристические параметры четырехполюсников ............... 170
6.2.1. Характеристические параметры 
симметричных четырехполюсников .................................. 170
6.2.2. Характеристические параметры 
несимметричных четырехполюсников .............................. 174
6.3. Рабочие параметры четырехполюсников ................................... 176
6.3.1. Вносимое ослабление четырехполюсника ........................ 176
6.3.2. Рабочее ослабление четырехполюсника ........................... 178

Глава 7. Электрические фильтры ......................................................... 181
7.1. Условия фильтрации LC-фильтров ............................................. 182
7.2. Пассивные LC-фильтры типа «k»  ............................................... 183
7.2.1. Частотные характеристики ФНЧ типа «k» ........................ 183
7.2.2. Частотные характеристики ФВЧ типа «k» ........................ 186
7.2.3. Электрические фильтры типа «m» ..................................... 188
7.3. Активные RC-фильтры ................................................................ 191
7.3.1. Активные RC-фильтры первого порядка  ......................... 193
7.3.2. Активные RC-фильтры второго порядка ........................... 195

Глава 8. Цепи с распределенными параметрами (длинные линии) .......... 206
8.1. Дифференциальные уравнения длинной линии ........................ 206
8.2. Гармонические токи и напряжения в длинной линии .............. 207
8.3. Однородная линия без потерь ..................................................... 211
8.4. Согласующие устройства длинных линий .................................. 218

Глава 9. Электрические цепи с обратной связью ................................... 223
9.1. Операторная передаточная функция цепи 
с обратной связью ........................................................................ 223
9.2. Устойчивость активных цепей с обратной связью ..................... 224

Глава 10. Нелинейные электрические цепи ........................................... 229
10.1. Виды, характеристики и параметры 
  нелинейных элементов .............................................................. 229
10.2. Нелинейные цепи постоянного тока ........................................ 230
10.3. Нелинейные цепи переменного тока ........................................ 234

Заключение ......................................................................................... 238

Литература ......................................................................................... 239

ВВЕДЕНИЕ

Разнообразные электрические и электронные устройства представляют собой системы заряженных тел и контуров с токами, взаимодействующие друг с другом. Электромагнитные явления, происходящие в таких 
системах, определяются как процессами в заряженных телах и проводящих контурах с токами, так и физическими процессами в окружающих 
средах, в которых распространяется электромагнитное поле, характеризуемое векторами электрической Е и магнитной Н напряженностей.
Процессы в электромагнитных полях описывают в макроскопическом 
понимании уравнениями Максвелла, представляющими собой обобщение 
законов Ампера, Фарадея и Гаусса и изучаемыми в курсе физики. 
Электромагнитное поле является носителем энергии, которая для некоторого объема V имеет значение 

где eа = ee0, mа = mm0 — абсолютные электрическая и магнитная проницаемости среды; e0 = 8,8854 · 10–12 Ф/м; m0 = 1,257 · 10–6 Гн/м — электрическая и магнитная проводимости вакуума; e = eа / e0, m = mа / m0 — относительные электрическая и магнитная проницаемости среды.
Электромагнитные волны перемещаются в вакууме со скоростью 
с = (e0m0)–1/2 = 2,999 · 108 м/с, а в среде — со скоростью v = с(me)–1/2. 
 Отношение скоростей электромагнитных волн в вакууме и среде 
n = с / v = (me)1/2 называют показателем преломления среды.
В общем случае электромагнитные свойства среды учитывают в уравнениях Максвелла определяемыми из опыта значениями удельной объемной проводимости g, электрической и магнитной μ проницаемостей 
в соответствии с уравнениями: jпр = gE, D = eE, B = mH, где jпр — вектор 
плотности электрического тока проводимости; D — вектор индукции 
электрического поля; B — вектор индукции магнитного поля.
В общем случае расчет электромагнитных систем сводится к решению 
уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Решение этих уравнений даже для сравнительно простых электромагнитных систем крайне 
сложно, поэтому во многих практических случаях, когда в системе можно выделить отдельно элементы, связанные только с одним видом поля 
(электрическим или магнитным), можно отказаться от исследования 
электромагнитного поля и решать задачу, рассматривая систему как 
электрическую цепь, которая в отличие от электромагнитной системы 
описывается не векторами поля E, H, B, D, а интегральными величинами — электрическим напряжением u, током i, зарядом q и магнитным 
потоком Ф.

Предметом дисциплины «Теория электрических цепей» является изучение как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных явлений и процессов, происходящих в различных электрических 
и электронных устройствах.
Качественные и количественные стороны исследуемых электромагнитных явлений и процессов находятся в неразрывной связи. Изучение 
«Теории электрических цепей»  основывается на знаниях, полученных из 
курсов физики и математики. Эти знания в дисциплине «Теория электрических цепей» расширяются и развиваются в направлении разработки 
методов анализа, расчета и экспериментального исследования явлений и 
процессов, протекающих в электрических и магнитных цепях и электромагнитных полях.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИ 
И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Электрическая цепь – совокупность устройств и объектов, образующих 
путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об ЭДС, токе и напряжении. 
Согласно определению электрическая цепь (ЭЦ) должна, во-первых, 
иметь замкнутый путь для электрического тока и, во-вторых, описываться понятиями: «ток», «напряжение», «электродвижущая сила».
Устройствами и объектами электрической цепи могут быть: резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, трансформаторы, электро- и 
радиолампы, полупроводниковые и электронные приборы, электрические 
двигатели и генераторы, кабели связи и линии электропередачи и др. Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи, выполняющее 
в ней определенную функцию, является элементом электрической цепи.
Электрическое напряжение представляет собой работу по перемещению заряда между определенными точками 1 и 2 пространства под действием внешнего электрического поля напряженностью E и определяется 
выражением

=∫
ℓ
12
E
.

l
u
d

Для потенциальных электромагнитных полей, работа в которых не 
зависит от формы пути, суммарная работа при обходе замкнутого контура равна нулю, поэтому сумма напряжений при обходе замкнутого контура также равна нулю:

=
=
∑
∑∫
ℓ
E
0.

k

k
k
k
ℓ
u
d

Для напряжения, как и для тока, положительное направление может 
быть выбрано произвольно, однако для большинства случаев его принимают совпадающим с положительным направлением тока. Напряжение 
и ток на участке проводника связаны между собой законом Ома: 

uk = Rkik = ik / Gk,                                    (1.1)

где Rk = 1 / Gk — сопротивление проводника; Gk = 1 / Rk — проводимость.
Если под действием напряжения u в проводнике перемещается заряд dq, то при этом затрачивается энергия dW = udq = uidt.
Работа, производимая электрическим током за некоторый интервал 
времени t1 – t2:

где 
 — мощность электрического тока.

1.1.1. Элементы электрических цепей

Для учета процессов преобразования электрической энергии в цепях 
вводят идеализированные элементы, процессы в которых  связаны лишь с 
одним видом энергии поля. С энергией электрического поля связан идеализированный емкостный элемент (идеальный конденсатор), характеризуемый емкостью С = q / u, а с энергией магнитного поля — идеализированный индуктивный элемент (идеальная индуктивная катушка), характеризуемая индуктивностью L = wФ / i. Преобразование энергии 
электромагнитного поля в любой другой вид энергии учитывается введением идеализированного резистивного элемента (идеального резистора), 
характеризуемого сопротивлением R.
Для учета преобразования энергии неэлектрической природы в электрическую вводят идеализированные элементы — источник напряжения и 
источник тока. Напряжение е идеализированного источника напряжения 
не зависит от тока в нем, а ток J идеализированного источника  тока не 
зависит от напряжения на его зажимах. Основные характеристики простейших элементов электрической цепи и их расчетные соотношения приведены в табл. 1.1 [9].
Таблица 1.1
Элемент
Условное 
обозначение
Напряжение 
на элементе
Ток 
в элементе
Мощность или 
энергия в элементе

Резистивный

u (t)

i (t)
R

er = ir · R

Индуктивный
u (t)

i (t)
L

Емкостный

u (t)

i (t) C

Источник
напряжения

u (t)

e (t)
i (t)

е(t)= –u(t)
i(t) — любое
значение
pe = e · i

Источник
тока
u (t)

i (t)
R

u(t) — любое 
значение
i(t) = J (t)
pj = u · J