Высшая математика IV: числовые и функциональные ряды; обыкновенные дифференциальные уравнения

С.В. РЖЕВСКИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА IV

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ; 
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2019

УДК 517.4(075.8)
ББК 22.161.6я73

Р48

Ржевский С.В.

Р48
Высшая математика IV: числовые и функциональные ряды; 

обыкновенные дифференциальные уравнения : учебное пособие / 
С.В. Ржевский. — Москва : ИНФРА-М, 2019. — 127 с.

ISBN 978-5-16-108268-3 (online)

Изложены все темы разделов «Числовые и функциональные ряды» 

и «Обыкновенные дифференциальные уравнения» типовых учебных 
программ курса «Высшая математика», рекомендуемых Министерством 
образования и науки Российской Федерации для подготовки бакалавров 
экономики, менеджмента и других направлений специализации. Особое 
внимание уделено иллюстрации применения основных утверждений 
указанных разделов математики, примерам типичных задач и подробному 
объяснению методов их решения.

Предназначено для студентов вузов, а также для практиков, 

деятельность которых предполагает применение инструментария высшей 
математики.

УДК 517.4(075.8)
ББК
22.161.6я73

ISBN 978-5-16-108268-3 (online)
© Ржевский С.В., 2019

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

 
 
 
 
 
Предисловие 
В этой книге представлены сведения о числовых и функциональных рядах, даются необходимые понятия и формулируются основные утверждения об обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах 
таких уравнений. 
В части «Числовые и функциональные ряды» изучаются суммы действительных чисел и функций, содержащие бесконечные количества слагаемых. Кроме того, что такие математические объекты имеют самостоятельное значение в многочисленных приложениях, они также используются как 
вспомогательные при проведении соответствующих вычислений (например, 
при приближенном вычислении определенных интегралов).  
В части «Обыкновенные дифференциальные уравнения» рассматриваются классы дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в экономической науке – обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка,  а также описываются аналитические 
методы отыскания решений уравнений из этих классов и приводятся примеры их применения. 

Автор 

 
3

 
 
 
 
 
 
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 
 
 
31. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

31.1. Основные определения 
Числовым рядом, далее просто рядом, заданным последовательностью 
чисел 
, называют выражение 
}
{ ia

,
2
1






k
a
a
a
 

обычно записываемое в виде 





1
k
k
a . 
 
 
 
 
 (31.1) 

 
Числа 


,
,
,
,
2
1
k
a
a
a
называют членами ряда, а k-е слагаемое 
k
a  – 
k-м или общим членом ряда. 
 
Чтобы задать ряд (31.1) нужно описать правило вычисления каждого 
его члена, т.е. задать некоторую функцию f натурального аргумента: 
)
(k
f
ak 
,     k = 1, 2, … . 
 
 
 (31.2) 

 
Например, если 

k
ak
1

,     k = 1, 2, … , 

то такой ряд называют гармоническим и он имеет вид 

.
1
4
1
3
1
2
1
1








k
  
 
 
 (31.3) 

 
Ряд (31.1) называют геометрическим, если он составлен из членов 
геометрической прогрессии, т.е. если для некоторого действительного 
числа q между последовательными членами этого ряда выполняется 
соотношение 
q
a
a
k
k

1
,     k = 1, 2, …  
 
 
 
 (31.4) 
(
 – некоторое заданное число). 
1
a
 
Из определения геометрической прогрессии (31.4) следует, что 
1


k
k
q
a
a
,     k = 1, 2, … , 
 
 
 
 (31.5) 

 
4

а соответствующий геометрический ряд имеет вид 

,
1
2








k
aq
aq
aq
a
 
 
 
 (31.6) 

где a – значение первого члена 
 геометрической прогрессии (31.5). 
1
a

Если все члены ряда принимают значения одного знака, т.е. все они 
или неотрицательны, или неположительны, то такой ряд называют рядом, 
имеющим знакопостоянные члены или просто – знакопостоянным рядом. 
Знакочередующимся рядом называют ряд, знаки последовательных 
членов которого противоположны: если 
, то 
0
1 
a
0
2 
a
,  
,  
0
3 
a
0
4 
a
, 
 и т.д. (члены ряда с нечетными порядковыми номерами положительны, а с четными – отрицательны), а если 
0
5 
a
0
1 
a
, то 
, 
0
2 
a
0
3 
a
, 
,  
 и т.д. (члены ряда с нечетными порядковыми номерами 
отрицательны, а с четными – положительны). 
0
4 
a
0
5 
a

Примером знакопостоянного ряда является геометрический ряд, члены 
которого вычисляются по формуле (31.5), в которой q > 0. Если же в этой 
формуле q < 0, то соответствующий геометрический ряд является знакочередующимся рядом. 
В некоторых случаях формула вычисления членов ряда неизвестна 
(неизвестна функция f в определении (31.2)) и ее требуется найти по 
нескольким известным членам этого ряда. Относительно способов решения 
этой существенно творческой задачи по-видимому нет никаких знáчимых 
рекомендаций. Нужно как-то сообразить, что для вычисления, например, 
общих членов рядов 

,
8
1
9
2
2
1
2





       
,
13
6
9
4
5
2




       
,
26
24
17
15
10
8
5
3





 

подходящими оказываются соответственно формулы 

2

2
 k
ak
,     
1
4
2


k
k
ak
   и   

1
)1
(

)1
)1
((
)1
(
2

2
1











k

k
a
k

k
. 

31.2. Сходимость числового ряда 
Числовой ряд (31.1) называют сходящимся, если для некоторого действительного числа S для каждого ε > 0 найдется такое натуральное число 
, что при 
 выполняется неравенство 

k

 k
k



 


k

i
ia
S
1
. 

 
5

Указанное число S очевидно является пределом 
 последо
вательности частичных сумм 
 
, k = 1, 2, … . Поэтому при 

существовании этого предела его называют суммой числового ряда (31.1) 
и пишут 

k
k
s


lim

,}
{sk



k

i
i
k
a
s
1







1
k
k
a
S
. 

Например, сходится числовой ряд 

,
1
1
2








k
q
q
q
  
 
 (31.7) 

где q – любое заданное действительное число из интервала (1; 1), а 
гармонический ряд (31.3) расходится (не сходится). 
 
Если в записи ряда (31.7) q = 1, то этот ряд расходится, так как 
возрастающая последовательность {k} его частичных сумм неограничена 
сверху и поэтому расходится; если же в записи ряда (31.7) q = 1, т.е. этот 
ряд имеет вид 
,
)1
(
1
1
1
1
1
1











k
 

то у последовательности его частичных сумм 



,
2
)1
(
1
,
,
0
,1
,
0
,1
1



k
 

предела тоже нет. 

31.3. Свойства сходящихся рядов 
o
1 . Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного ряда 
отбрасыванием из него или приписыванием ему конечного числа членов. 
 
Ряд 
,
2
1









m
k
k
k
a
a
a
 
 
 
 (31.8) 

полученный из ряда (31.1) отбрасыванием первых его k членов, называют 
k-м остатком ряда (31.1), k = 1, 2, … . 
Пусть 
  сумма k-го остатка ряда (31.1). Если S – сумма ряда (31.1) 
и 
 – его частичные суммы, то  
kr

r
}
{ ks
S
1
1
1
1
1
,
a
S
s
S
r
s





, 


2
1
2
2
2
2
,
a
a
S
s
S
r
r
s
S







, 
.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 














k

i
i
k
k
k
k
k
s
S
a
a
a
S
s
S
r
r
s
S
1
2
1
,

,   k = 1, 2, … . 

 
6

o
2 . Для того чтобы ряд (31.1) сходился необходимо и достаточно 
выполнение предельного соотношения 
0
lim




k
k
r
 (чтобы остаток ряда 
 

стремился к нулю при k  ). 

kr

o
3 . Если ряд 
 сходится и S – его сумма, то для произвольного 

действительного числа λ ряд 





1
k
k
a



















k
k
k
a
a
a
a
a
3
2
1
1
 также 

сходится и его сумма равна λS 
(постоянный множитель можно выносить за знак суммы). 

o
4 . Если ряды 
 и 




1
k
k
b




1
k
k
c  сходятся и их суммы соответственно 

равны 
 и 
, то и ряд  
b
S
c
S

















k
k
k
k
k
c
b
c
b
c
b
c
b
2
2
1
1
1
)
(
 

сходится, а его сумма равна 
c
b
S
S 
. 

31.4. Условия сходимости рядов 
Теорема 31.1 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (31.1) 
сходится, то последовательность его членов 
}
{ k
a
 сходится к нулю: 

0
lim




k
k
a
. 
 
 
 
 
 (31.9) 

Следует обратить внимание на то, что в теореме 31.1 устанавливается 
необходимое, а не достаточное условие сходимости ряда. Напомним, это 
означает, что в общем случае из выполнения условия (31.9) для некоторого 
ряда не следует его сходимость, однако при невыполнении этого условия 
соответствующий ряд расходится. 
Например, для гармонического ряда (31.3) условие (31.9) выполняется, хотя гармонический ряд расходится. 

Поскольку для ряда 







1
1
10
3
2

k
k
k
  

0
5
1
1
10
3
2
lim







k
k

k
 

(условие (31.9) не выполняется), то этот ряд расходится 

 
7

Теорема 31.2 (признак сходимости рядов с положительными членами). 
Пусть даны такие два ряда 





1
k
k
a  
 
 
 
 
 
 (31.10) 

и 





1
k
k
b , 
 
 
 
 
 
 (31.11) 

что 

k
k
b
a 

0
      k = 1, 2, … .  
 
 
 (31.12) 

Тогда: 
 если ряд (31.11) сходится, то сходится и ряд (31.10); 
 если ряд (31.10) расходится, то расходится и ряд (31.11). 
 
Следует отметить, что присущее ряду свойство сходимости или 
расходимости не изменится, если из этого ряда отбросить конечное число 
его членов. Поэтому требование (31.12) теоремы 31.2 можно несколько 
ослабить, предполагая выполнение условия (31.12) не для всех номеров k, 
а начиная с некоторого номера k':  
.
,
2
,1
0









k
k
k
b
a
k
k
 
 
 
 (31.12') 

1. Установить сходимость или отсутствие сходимости ряда 

.
4

1

4
3

1
4
2
1
1
1
2













k
k

 
 
 
 (31.13) 

 
Каждый k-й член 
1
4

1




k
k
k

a
 ряда (31.13) положителен и очевидно 

меньше k-го члена 

1

4
1






k

k
b
 сходящегося геометрического ряда (31.6), в 

котором a = 1 и 
4
1

q
: 

1

1
1
4
1

4

1

4

1













k

k
k
k

,     k = 1, 2, … . 

 
Значит, в силу теоремы 31.2, ряд (31.13) сходится. 
2. Установить сходимость или отсутствие сходимости ряда 

.
)1
(
1
3
4
1
2
3
1
1
2
1












k
k
  
 (31.14) 

 
8

 
Сравним члены 
}
{ k
b
, 
k
k
bk



)1
(
1
, исследуемого ряда с соответ
ствующими членами 
, 
}
{ k
a
1
1

 k
ak
, расходящегося ряда 









1
1
4
1
3
1
2
1

k
, 

полученного из расходящегося гармонического ряда (31.3) после отбрасывания из него первого члена. 
 
Поскольку 

k
k
a
k
k
k
b






1
1
)1
(
1
      k = 1, 2, … ,  
 (31.15) 

то в силу теоремы 31.2. ряд (31.14) расходится. 
 
На практике наиболее часто в качестве «эталонных» (в условиях теоремы 31.2) применяют такие ряды: 

1) геометрический ряд 







1

1

k

k
q
a
 

(сходится при | q | < 1 и расходится при | q | ≥ 1); 

 
2) гармонический ряд  
  (расходится); 




1
/
1
k
k

 
3) обобщенный гармонический ряд 














3

1

2

1
1
1

1
k
k
  
 
 
 (31.16) 

(сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1). 
 
Теорема 31.3 (предельный признак сравнения). Если ряды (31.10) и 
(31.11) определяются положительными членами 
}
{ k
a
 и 
}
{ k
b
 и существует конечный предел 

0
lim




c
b
a

k

k
k
,  
 
 
 
 (31.17) 

то ряды одновременно или сходятся, или расходятся. 
3. Установить сходимость или отсутствие сходимости ряда 

.
2

1
3

1
3

2








k
k

k
 
 
 
 
 
 (31.18) 

 
9

 
Сравним этот ряд с расходящимся гармоническим рядом: 

0
2
3

2

1
3
lim
2

)1
3
(
lim
1
:
2

1
3
lim
2

2

3

2

3

2














k

k

k

k
k
k
k

k

k
k
k
. 

 
Значит, в силу утверждения теоремы 31.3, ряд (31.18) расходится. 

Теорема 31.4 (признак Даламбера1). Пусть для ряда 
 с положи
тельными членами 
 существует предел 




1
k
k
a

}
{ k
a






k

k
k
a
a
1
lim
. 

Тогда при λ < 1 ряд 
 сходится, а при λ > 1 – расходится; при 

λ = 1 для установления сходимости/расходимости ряда необходимо провести дополнительные исследования. 





1
k
k
a

4. Исследовать на сходимость ряд 

.
3
3

3

3

2
3
1

3
3
2
1














k

k

k
k
k
  
 
 (31.19) 

 
Поскольку для этого ряда 

1
3
1
3
1
1
1
lim
3

3

1
lim
lim
1
1





 












k
k
k
a
a

k

k

k
k
k

k
k
, 

то в силу теоремы 31.4 ряд (31.19) сходится. 
5. Исследовать на сходимость ряд 





1

!
4

k
k

k

k

k  
 
 
 
 
 
 (31.20) 

 
Поскольку для ряда (31.20) 





 


















k

k
k

k

k

k

k
k

k
k
k
k

k

k

k
a
a
1
1
/
4
lim
!
4
)1
(

)!
1
(
4
lim
lim
1

1
1
 

1
/e
4
1
1
lim
/
4





 




k

k
k
, 

то согласно признаку Даламбера этот ряд расходится. 

                                                 
1 Даламбер Жан Лерон (1717-1783) – французский математик, механик. 
 
10