Сопротивление материалов: сборник задач с решениями

СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ

СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ

УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ

Москва
РИОР

ИНФРА-М

С.И. ЕВТУШЕНКО
Т.А. ДУКМАСОВА
Н.А. ВИЛЬБИЦКАЯ

Второе издание

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
          Е27

Сборник составлен профессором кафедры «Информационные системы, технологии и автоматизация строительства» НИУ Московский государственный 
строительный университет С.И. Евтушенко и сотрудниками кафедры «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика» Южно-Российского государственного политехнического университета (НПИ) имени 
М.И. Платова доцентом Т.А. Дукмасовой и доцентом Н.А. Вильбицкой.

Р е ц е н з е н т ы :
Скибин Г.М. — профессор, д-р техн. наук, заведующий кафедрой «Промышленное, гражданское строительство, геотехника и фундаментостроение» Южно-Российского государственного политехнического университета (НПИ) 
имени М.И. Платова;
Волосухин В.А. — профессор, д-р техн. наук, директор НИИ безопасности гидротехнических сооружений»

Евтушенко С.И., Дукмасова Т.А., Вильбицкая Н.А.

Е27
Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями : учебное 

пособие / C.И. Евтушенко, Т.А. Дукмасова, Н.А. Вильбицкая. —
2-е изд. — Москва : РИОР : ИНФРА-М, 2020. — 344 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI: https://doi.org/10.12737/textbook_58dbbcc2cb9a9

ISBN 978-5-369-01659-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012652-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102467-6 (ИНФРА-М, online)
Учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения 

и подробное решение задач по основным темам сопротивления материалов. 

Предназначено для выработки навыков самостоятельного решения 

задач у студентов, изучающих курс сопротивления материалов.

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73

ISBN 978-5-369-01659-6 (РИОР)
ISBN 978-5-16-012652-4 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102467-6 (ИНФРА-М, online)

© Евтушенко С.И.,
 Дукмасова Т.А.,
 Вильбицкая Н.А.

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны

в электронно-библиотечной системе ZNANIUM

по адресу http://znanium.com.

Ссылку для доступа вы можете получить

при сканировании QR-кода, размещенного на обложке

ВВЕДЕНИЕ 
 
Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости и 
устойчивости элементов сооружений и машин. Она учит будущих 
инженеров-бакалавров так рассчитывать машины и сооружения, 
чтобы они были прочны, надежны и экономичны. 
У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», 
наибольшие трудности обычно возникают при решении задач. 
Настоящее пособие облегчит процесс изучения данного курса, поможет овладеть методикой решения задач и получить необходимый 
навык в их решении. 
В учебное пособие включены основные положения теории, необходимые методические указания, примеры решения задач. 
Предусматривается, что студенты прежде всего должны ознакомиться с теоретическими положениями, методическими указаниями 
и решениями примеров по рассматриваемому разделу. Это позволит 
им восстановить в памяти, лучше понять и освоить необходимые 
основы теории, осмыслить методику решения задач данного типа и 
приобрести сведения, достаточные для самостоятельного их решения. 
Пособие не предусматривает детального ознакомления со всеми 
типами задач и способами их решения.  
Цель пособия — оказать помощь студентам в освоении методов 
решения задач различной степени трудности. 
Получили известное развитие в сборнике такие разделы, как расчеты при растяжении (сжатии), сдвиге, кручении, изгибе, сложном 
сопротивлении, определение упругих перемещений статически 
определимых систем, расчет статически неопределимых рам методом сил, устойчивость сжатых стержней, динамическое действие 
нагрузок и др. При подборе материала авторы стремились располагать задачи в порядке нарастающей трудности, ориентируясь на 
наиболее целесообразные для проведения практических занятий и 
при выполнении самостоятельной домашней работы студентов. Некоторые задачи даны с расчетом использования их для контрольных 
и индивидуальных домашних заданий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ 
 
1.1. Основные расчетные формулы 
и определения 
 
При центральном растяжении–сжатии внешние усилия приложены вдоль продольной оси стержня. При этом в поперечных сечениях 
стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N , представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, численно равную алгебраической сумме 
проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по 
одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. 
 
по одну

сторону
zi
N
F .
=

 

 
Принято продольную силу считать положительной, если она 
вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению. 
В тех случаях, когда продольная сила изменяется при переходе от 
одного сечения к другому, строят график изменения значения продольной силы N  по длине стержня. Такой график называется эпюрой продольных сил. 
Внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади сечения, 
называется напряжением, выражается в паскалях (Па = Н/м2) или 
мегапаскалях (МПа = Н/мм2 = 106 Па). 
В поперечных сечениях стержня при центральном растяжении–
сжатии возникают только нормальные напряжения σ . 
Задача определения нормальных напряжений решается на основе 
гипотезы плоских сечений или гипотезы Я. Бернулли (поперечные 
сечения стержня, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, 
остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации). 
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяются по формуле 

N ,
A
σ =
 

 
где A — площадь поперечного сечения. 
Нормальные напряжения в разных поперечных сечениях могут 
изменяться в зависимости от величины продольных сил N  или из-за 
изменения площади поперечного сечения. 
В этом случае строят эпюру нормальных напряжений (эпюру σ ). 

Условия прочности при центральном растяжении–сжатии записываются в зависимости от метода расчета. 
По методу допускаемых напряжений: 
 

adm
N
,
A
σ =
≤ σ
 
 
где 
[ ]
adm
σ
= σ  — допускаемое нормальное напряжение, составляющее часть от предельного напряжения 
 

[ ]
[ ]

пред ,
n

σ
σ =
 
 
где [ ]
adm
n
n
=
 — допускаемый коэффициент запаса прочности. 
По методу предельных состояний 
 

N
R,
A
σ =
≤
 
 
где R  — расчетное сопротивление материала, равное 
 

н

м

R
R
.
= γ
 
 
Величина 
н
R  является нормативным сопротивлением, устанавливается СНиПом с учетом контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. 
Коэффициент надежности по материалу 
м
1
γ
>  отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от 
свойств отдельно испытанных образцов. Например, для металла 

м
1 025
115
,
,
γ
=
…
; для бетона м
1 3
1 5
,
,
γ
=
…
. 
При центральном растяжении–сжатии нормальные напряжения 
σ  распределены равномерно по сечению. 
Материал конструкции работает упруго с соблюдением закона 
Гука: 

E
σ = ε
, 
 
где E  — модуль упругости материала (например, для стали Ст3 

(
)
5
2
2 1 10
E
,
=
…
МПа); 
l
l
Δ
ε =
 — относительная продольная дефор
мация. 

Абсолютное удлинение стержня при растяжении–сжатии: 
– в общем случае для стержня длиной l  при произвольном законе 
изменения продольной силы 
z
N  и площади поперечного сечения A 
по длине стержня 

0

l
z
N dz
l
;
EA
Δ = 
 
 
– для одного участка стержня длиной l  при 
const
N =
 и 
const
EA =
 

Nl
l
;
EA
Δ =
 
 
– для n  участков при 
const
i
EA =
 и произвольном законе изменения продольной силы 
zi
N
 по длине стержня 
 

1
1
0

i
i
l
n
n
N
i

i
i
i
i

N dz
l
;
EA
EA
=
=

Ω
Δ =
=



 
 
где 
i
N
Ω
 — площадь эпюры N  на i-м участке. 

При решении задачи о растяжении (сжатии) стержня с учетом 
собственного веса продольную силу, растягивающую стержень в 
сечении z , определяют по формуле 
 
( )
N z
F
A z,
=
+ γ ⋅
 
 
где γ  — объемный вес материала стержня; 
( )
A z
G z
γ ⋅
=
 — вес отсеченной части стержня. 
Нормальные напряжения в произвольном сечении  
 

( )
( )
N z
F
z
z.
A
A
σ
=
=
+ γ

 
 
Удлинение (укорочение) стержня с учетом собственного веса: 
 

1
2
F
G l
l
.
EA



+




Δ =
 

Можно запроектировать равнопрочный стержень переменного 
сечения. Нормальные напряжения во всех поперечных сечениях 
стержня одинаковы и равны допускаемому. 
Площадь поперечного сечения равнопрочного стержня (бруса 
равного сопротивления): 

( )
( )
[ ]
0

z

A z
A
e
,

γ
σ
=
⋅
 
 

где e  — основание натурального логарифма; 
( )
[ ]

0
F
A
= σ
 — пло
щадь поперечного сечения бруса при
0
z =
. 
 
 
1.2. Решение задач 
 
Задачи 1–5. Определение продольных сил,  
нормальных напряжений и перемещений 
 
Задача 1. Для деревянного бруса, изображенного на рис. 1, а, требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и 
определить перемещение сечения I–I, приняв F  = 10 кН, q  = 2 кН/м, 

а  = 2 м, b  = 3 м, А = 30 см2, 
4
1 10
E = ⋅
 МПа. 
 

3F

F

q

1
1

2
2

z1

z2

 ,
Эп N кН

16

16

10

14

а)
б)
,
Эп
MПа
σ

2,67

3,33

4,67
2,67

а
в

I
I

A

2A

 
Рис. 1 
 
 
Решение 
Стержень имеет два участка. 
Участок I: 
1
0
z
a
≤
≤
 (рис. 2, а) 

в) 

F

q

1
1

z

z1

N1

а)

 
 

z2

б)

3F

F

q

2
2

z

N2

а

 
Рис. 2 
 
Прикладываем в месте разреза положительную силу 
1
N  и записываем уравнение равновесия. 
 
0
z
;
=

 
1
1
0
F
qz
N
;
−
−
−
=
 

1
1
N
F
qz ,
= −
−
 
 
где 
1
qz  — равнодействующая равномерно распределенной нагрузки. 
 
0:
z =
 
1
10
N
F
= −
= −
 кН; 
2
z =
 м: 
1
10
2 2
14
N = −
− ⋅
= −
 кН. 
 
Участок II: 
(
)
2
a
z
a
b
≤
≤
+
 (рис. 2, б) 

 
0:
z =

 
2
3
0
F
q a
F
N
;
−
−
⋅
+
−
=
 

2
3
10
2 2
30
16
N
F
q a
F
= −
−
⋅
+
= −
− ⋅ +
=
 кН. 
 
На первом участке продольная сила изменяется по линейному закону от минус 10 кН до минус 14 кН, на втором участке продольная 
сила постоянна, равная 16 кН. По этим данным строим эпюру продольных сил (рис. 1, б). 
Находим нормальные напряжения на участках бруса. 
Участок I:  
 

(
)
3
1
1
4
1

1
1
10
2
10

30 10

z
N
F
qz
;
A
A

−

−
−
−
⋅
⋅
−
−
σ =
=
=
⋅
 

при 
0:
z =
  

3

4
1
10 10
3 33
30 10
,
−

−
−
⋅
σ =
= −
⋅
 МПа; 

 
при 
2
z =
 м: 
(
)
3

4
1
10
2 2
10
4 67
30 10
,

−

−
−
−
⋅
⋅
σ =
= −
⋅
 МПа. 

 
Участок II:  

3
2
4
2
2
16 10
2 67
60 10

N
,
A

−

−
⋅
σ =
=
=
⋅
 МПа. 

 
Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 1, в. 
Определяем перемещение сечения I–I. 
 

I-I
a
b
l
l ,
Δ
= Δ
+ Δ
 
 
где 
a
b
l , l
Δ
Δ
 — абсолютные деформации верхнего и нижнего участков стержня. 
Так как на каждом участке 
const
EA =
 деформации 
a
b
l , l
Δ
Δ
 определяем по формулам: 
 

(
)
3
3
4
4
10
14
2 10
0 8 10
2 1 10
30 10

a
N
al
,
EA

−
−
−
Ω
−
+
⋅ ⋅
Δ
=
=
= −
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
 м; 

 

3
3
4
4
16 3 10
0 8 10
2
1 10
60 10

b
N
bl
,
E
A

−
−
−
Ω
⋅ ⋅
Δ
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
 м. 

 
Тогда  
(
)
3
I-I
10
0 8
0 8
0
a
b
l
l
,
,
.
−
Δ
= Δ
+ Δ
=
−
+
=
 
 
Перемещение верхнего сечения не произошло. 
 
Задача 2. Для стального стержня, изображенного на рис. 3, а, 
требуется: 
1) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и 
перемещений; 
2) проверить прочность стержня, приняв величины допускаемых 
напряжений равными: на растяжение: [ ]р
σ
 = 200 МПа; на сжатие: 

[ ]с
σ
 = –100 МПа. 

Решение 
Определим реакцию R . Составим уравнение равновесия: сумма 
проекций всех сил на ось z  должна быть равна нулю. 
 
0
z
;
=

 
120
40
100
0
R
;
+
−
−
=
 
20
R =
 кН. 
 
Разбиваем брус на три участка, проводим произвольные сечения 
на каждом участке, записываем уравнения равновесия для каждого 
участка, учитывая внешние нагрузки слева или справа от сечения. 
 
Участок I (рис. 3, б):  
 
0
z
;
=

 
1
40
0
N
;
−
−
=
 N1 = –40 кН (сжатие). 
 
 
Участок II (рис. 3, в):  
 
0
z
;
=

 
2
120
40
0
N
;
−
+
−
=
 
2
80
N =
 кН (растяжение). 
 
 
Участок III (рис. 3, г): 
0
z
;
=

 
3
0
R
N
;
+
=
 
3
20
N
R
= −
= −
 кН (сжатие). 
 
По результатам расчета строим эпюру продольных сил (рис. 3, д). 
Если реакция опоры R  не определена, то при построении эпюры 
продольных сил надо двигаться справа налево. 
Определим нормальные напряжения на участках стержня и проверим его прочность. 
 

3
1
4
1
40 10
80
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
= −
= −
⋅
 МПа 
100
> −
 МПа; 

 

3
2
4
2
80 10
160
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
=
=
⋅
 МПа 
200
<
 МПа; 

 

3
3
4
3
20 10
40
5 10

N
A

−

−
⋅
σ =
= −
= −
⋅
 МПа 
100
> −
 МПа. 

 
Эпюра нормальных напряжений приведена на рис. 3, е. Прочность стержня обеспечена. Определяем деформации участков стержня 
и строим эпюру перемещений.