Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями

В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е
В Ы С Ш Е Е  О Б Р А З О В А Н И Е
С.И. Евтушенко, Т.А. Дукмасова, Н.А. Вильбицкая
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
СБОРНИК   ЗАДАЧ   С   РЕШЕНИЯМИ
У Ч Е Б Н О Е  П О С О Б И Е
У Ч Е Б Н О Е  П О С О Б И Е

С.И. ЕВТУШЕНКО
Т.А. ДУКМАСОВА
Н.А. ВИЛЬБИЦКАЯ
СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ
СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ
УЧЕБНОЕ  ПОСОБИЕ
Москва
РИОР
ИНФРА-М

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
          Е27
А в т о р ы :
Евтушенко С.И. — профессор, д-р техн. наук;
Дукмасова Т.А. — доцент;
Вильбицкая Т.А. — доцент, канд. техн. наук
Р е ц е н з е н т ы :
зав. кафедрой «Промышленное, гражданское строительство, геотехника и фундаментостроение» Южно-Российского государственного
технического университета (Новочеркасского политехнического института), профессор, д-р техн. наук Г.М. Скибин;
зав. кафедрой «Строительная механика» ФГУ ВПО «Новочеркасская
государственная мелиоративная  академия», профессор, д-р техн. наук 
В.А. Волосухин
Евтушенко С.И., Дукмасова Т.А., Вильбицкая Н.А.
Е27
Сопротивление материалов: Сборник задач с решениями: Учеб. 
пособие. — М.: РИОР: ИНФРА-М, 2014. — 210 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).
ISBN 978-5-369-01160-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006439-0 (ИНФРА-М)
Учебное пособие содержит необходимые теоретические сведения 
и подробное решение задач по основным темам сопротивления материалов.
Предназначено для выработки у студентов, изучающих курс сопротивления материалов, навыков самостоятельного решения задач.
УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
ISBN 978-5-369-01160-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-006439-0 (ИНФРА-М)
© Евтушенко С.И.,
 Дукмасова Т.А.,
 Вильбицкая Н.А., 2014

По вопросам приобретения книг обращайтесь:
Отдел продаж «ИНФРАМ» (оптовая продажа):
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в, стр. 1
Тел. (495) 3804260; факс (495) 3639212
Email: books@infram.ru
•
Отдел «Книга–почтой»:
тел. (495) 3634260 (доб. 232, 246)
Учебное издание
Евтушенко Сергей Иванович
Дукмасова Тамара Афанасьевна
Вильбицкая Наталья Анатольевна
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
СБОРНИК  ЗАДАЧ  С  РЕШЕНИЯМИ
Учебное пособие
Подписано в печать 23.08.2013.
Формат 60×88/16. Гарнитура Newton. 
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,86. Уч.-изд. л. 10,48.
Тираж 300 экз. Заказ №    
Цена свободная.
ТК 245500-12702-230813
ООО «Издательский Центр РИОР»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В.
info@rior.ru      www.rior.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43.
Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru     http://www.infra-m.ru

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов сооружений и машин, краеугольный камень инженерного образования. Она учит будущих инженеров так рассчитывать машины и сооружения, чтобы они были прочны, надежны и экономичны. 
У студентов, изучающих курс «Сопротивление материалов», наибольшие трудности обычно возникают при решении задач. Настоящее 
пособие облегчит процесс изучения данного курса, поможет овладеть 
методикой решения задач и получить необходимый навык в их решении. 
В учебное пособие включены основные положения теории, необходимые методические указания, примеры решения задач. 
Предполагается, что студенты прежде всего должны ознакомиться с 
теоретическими положениями, методическими указаниями и решениями примеров по рассматриваемому разделу. Это позволит им восстановить в памяти, лучше понять и усвоить необходимые основы теории, 
осмыслить методику решения задач данного типа и приобрести сведения, достаточные для самостоятельного их решения. 
Пособие не предусматривает детального ознакомления со всеми типами задач и способами их решения.  
Цель пособия — оказать помощь студентам в освоении методов решения задач различной степени трудности. 
Получили известное развитие в сборнике такие разделы, как расчеты при растяжении (сжатии), сдвиге, кручении, изгибе и др. При подборе материала авторы стремились располагать задачи в порядке нарастающей трудности, ориентируясь на наиболее целесообразные для 
проведения практических занятий и при выполнении самостоятельной 
домашней работы студентов. Некоторые задачи даны с расчетом использования их для контрольных и индивидуальных домашних заданий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3

 
Глава 1 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ 
1.1. Основные расчетные формулы и определения 
При центральном растяжении–сжатии внешние усилия приложены 
вдоль продольной оси стержня. При этом в поперечных сечениях 
стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N , представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, численно равную алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. 
по одну
сторону
zi
N
F .


 
Принято продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение стержня, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, 
если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению. 
В тех случаях, когда продольная сила изменяется при переходе от 
одного сечения к другому, строят график изменения значения продольной силы N  по длине стержня. Такой график называется эпюрой продольных сил. 
Внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади сечения, называется напряжением, выражается в паскалях (Па = Н/м2) или мегапаскалях (МПа = 106 Па = Н/мм2). 
В поперечных сечениях стержня при центральном растяжении–
сжатии возникают только нормальные напряжения . 
Задача определения нормальных напряжений решается на основе 
гипотезы плоских сечений или гипотезы Я. Бернулли (поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси бруса и после деформации). 
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяются 
по формуле 
N ,
A

 
где A — площадь поперечного сечения. 
Нормальные напряжения в разных поперечных сечениях могут изменяться в зависимости от величины продольных сил N  или из-за изменения площади поперечного сечения. В этом случае строят эпюру 
нормальных напряжений (эпюру ). 
 
 
4

 
Условия прочности при центральном растяжении–сжатии записываются в зависимости от метода расчета. 
По методу допускаемых напряжений 
adm
N
,
A


 
где 

adm

 — допускаемое нормальное напряжение, составляющее часть от предельного напряжения 


 
пред ,
n


где 
adm
n
n

 — допускаемый коэффициент запаса прочности. 
По методу предельных состояний 
N
R,
A


 
где R  — расчетное сопротивление материала, равное 
н
R
R
.

 
м
Величина 
н
R  является нормативным сопротивлением, устанавливается СНиПом с учетом контроля и статистической изменчивости механических свойств материала. 
Коэффициент надежности по материалу м
1

 отражает статистическую изменчивость свойств материала и их отличие от свойств отдельно 
испытанных 
образцов. 
Например, 
для 
металла 
м
1 025
115
,
,


…
; для бетона м
1 3
1 5
,
,


…
. 
При центральном растяжении–сжатии нормальные напряжения  
распределены равномерно по сечению. 
Материал конструкции работает упруго с соблюдением закона Гука: 
E

, 
где E  — модуль упругости материала (например, для стали Ст3 


 — относительная продольная дефор

5
2
2 1 10
E
,

…
 МПа); 
l
l
мация. 
Абсолютное удлинение стержня при растяжении–сжатии: 
– в общем случае для стержня длиной l  при произвольном законе 
изменения продольной силы 
z
N  и площади поперечного сечения A  по 
длине стержня 
l
z
N dz
l
;
EA

 
0
 
5

 
 
– для одного участка стержня длиной l  при 
const
N 
 и 
const
EA 
 
Nl
l
;
EA

 
– для n  участков при 
const
i
EA 
 и произвольном законе изменения продольной силы 
zi
N
 по длине стержня 
i
i
l
n
n
N
i






 
i
i
i
i
N dz
l
;
EA
EA


1
1
0
где 
i
N

 — площадь эпюры N  на i-том участке. 
При решении задачи о растяжении (сжатии) стержня с учетом собственного веса продольную силу, растягивающую стержень в сечении 
z , определяют по формуле: 

N z
F
A z,


 
где  — объемный вес материала стержня; 

A z
G z


 — вес отсеченной части стержня. 
Нормальные напряжения в произвольном сечении  


N z
F
z
z.
A
A




 
Удлинение (укорочение) стержня с учетом собственного веса составляет 








 
1
2
F
G l
l
.
EA
Можно запроектировать равнопрочный стержень переменного сечения. Нормальные напряжения во всех поперечных сечениях стержня 
одинаковы и равны допускаемому. 
Площадь поперечного сечения равнопрочного стержня (бруса равного сопротивления): 
z

A z
A
e
,



 



0
 — площадь 
0
F
A

где e  — основание натурального логарифма; 


поперечного сечения бруса при
0
z 
. 
 
6

1.2. Решение задач
Задачи 1–5. Определение продольных сил,
нормальных напряжений и перемещений
Ɂɚɞɚɱɚ 1. Для деревянного бруса, изображенного на рис. 1, а, требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и
определить перемещение сечения I–I, приняв F  = 10 кН, q  = 2 кН/м,
а  = 2 м, b  = 3 м, А  = 30 см2,
4
1 10
E  ˜
 МПа.
 ,
Эп N кН
 ,
Эп
MПа
V
Ɋɢɫ. 1
Решение
Стержень имеет два участка.
Участок I:
1
0
z
a
d
d
 (рис. 2, а)
Прикладываем в месте разреза положительную силу
1
N  и записываем уравнение равновесия:
0
z
;
 
¦
1
1
0
F
qz
N
;



 
1
1
N
F
qz ,
 

где
1
qz  — равнодействующая равномерно распределенной нагрузки.
0:
z  
1
10
N
F
 
 
 кН;
2
z  
 м:
1
10
2 2
14
N  
 ˜
 
 кН.
Участок II:


2
a
z
a
b
d
d

 (рис. 2, б)
0:
z  
¦
2
3
0
F
q a
F
N
;


˜


 
2
3
10
2 2
30
16
N
F
q a
F
 

˜

 
 ˜ 
 
 кН.
7

ɚ)
F
q
z1
1
1
N1
z
Ɋɢɫ. 2
На первом участке продольная сила изменяется по линейному закону от минус 10 кН до минус 14 кН, на втором участке продольная сила
постоянна, равная 16 кН. По этим данным строим эпюру продольных
сил (рис. 1, ɛ).
Находим нормальные напряжения на участках бруса.
Участок I:



3
1
1
10
2
10
z
N
F
qz
;
A
A
30 10
1
1
4
1



˜
˜


V  
 
 
˜
при z = 0
3

,
4
1
10 10
3 33
30 10


˜
V  
 
˜
 МПа;

при z = 2 м


3
,
4
1
10
2 2
10
4 67
30 10



˜
˜
V  
 
˜
 МПа.
Участок II:

N
,
A
60 10

˜
V  
 
 
˜
 МПа.
3
2
4
2
2
16 10
2 67
Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 1, ɜ.
Определяем перемещение сечения I–I.
I-I
a
b
l
l ,
'
 '
 '
где
a
b
l , l
'
'
 — абсолютные деформации верхнего и нижнего участков
стержня.
8