Сборник решений задач по теоретической механике на примерах из горной техники и технологии. Часть 1. Статика

ЛУ Г Г У 

МОСКОВСКИЙ 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 
С О В Е Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 

Члены редсоеета 

И. В. ДЕМЕНТЬЕВ 

A. П. ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

В.В. КУРЕХИН 

М.В. КУРЛЕНЯ 

В.И. ОСИПОВ 

Э.М. СОКОЛОВ 

К.И. ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. ХРОНИН 

B. А. ЧАНТУРИЯ 

ЕИ. ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
Л/У 1 У, 
чл.-корр. 
РАН 

директор 
Издательства 
МГГУ 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

ВЫСШЕЕ ГОРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 

С Б О Р Н И К 
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 
на примерах из горной 
техники и технологии 

Часть 1. Статика 

Под общей редакцией 

B.C. Перевалова 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации 
по образованию в области горного дела 
в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров, специалистов и магистров «Горное дело» 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

2 0 0 1 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 
С 23 

Авторы: 
АС Перевалов, В.М. Ратек, Г.А. Доброборскмй, П.М. ВержаяскиЛ, 
М.Н. Вымыта, Р.В. Саганова, И.Н. Фальк 

Рецензенты: 
• 
Докт. техн. наук, проф. Л.Б. Глатман (НПЦ «ПИГМА») 

• 
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов 
Московского государственного вечернего металлургического института (зав. кафедрой докт. техн. наук, проф. С.Я. Маковенко) 

Сборник решений задач по теоретической механике на 
С 23 примерах из горной техники и технологии. Часть 1. Статика: 
Учебное пособие / B.C. Перевалов, В.М. Рачек, Г.А. Доброборский и др.; Под общ. ред. B.C. Перевалова. — М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2001. — 263 с. 

ISBN 5-7418-0058-0 (в пер.) 

Содержит решение задач, помещенных а разд. I Сборника задач по теоретической механике на примерах из горной техники и технологии (B.C. Перевалов, ГА. Доброборский, Л.М. Лансберг и др. — М.: Изд-во МГТУ, 2000). 
Приведенные решениа иллюстрируют практикум классического курса теоретической механики, читаемого в горных вузах, соответствуют утвержденному 
Министерством образованна РФ образовательному стандарту по указанному 
курсу и способствуют развитию требуемых стандартом знаний, навыхов и 
умений. Особое внимание уделено производственной направленности тематики задач и их решениа. 

Для студентов горных университетов, вузов и факультетов. 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 

ISBN 5-7418-0058-0 
Ф Коллектив авторов, 2001 
© Издательство МГТУ, 2001 

П Р Е Д И С Л О В И Е 
>0б0ббФб9бббббб9ббббб<бббФ009ббббб9ббббб» 

Авторский коллектив настоящей книги предлагает своим читателям методическое пособие по решению задач курса «Теоретическая механика» (часть I «Статика»). За основу 
приняты материалы, содержащиеся в книге «Сборник задач 
по теоретической механике на примерах из горной техники 
и технологии (В. С. Перевалов, Г. А. Доброборский, Л. М. 
Лянсберг и др.; Под общ. ред. В. С. Перевалова. - М.: 
Издательство МГТУ, 2000)». Для облегчения восприятия 
информации при использовании сборника задач и руководства по их решению в обеих книгах нумерация глав и задач 
принята одинаковой, но содержание последних в методическом руководстве подвергнуто некоторым исправлениям и 
уточнениям в соответствии с современными воззрениями. 

Объектами всех рассмотренных задач являются реальные механизмы и механические системы, используемые в 
горном деле. В отдельных случаях с целью упрощения поставленной задачи и уменьшения объема математических 
операций, необходимых для ее решения, вместо сложного 
реального механизма рассматривается несколько упрощенная механическая система, геометрически и кинематически 
ему подобная. Предлагаемые концептуальные методические 
основы и алгоритмы решений задач, содержащиеся в данном пособии, являются отражением накопленного кафедрой 
теоретической и прикладной механики МГТУ за более чем 
80-летний период ее существования опыта подготовки инженерно-технических и научных кадров для горной промышленности. В методике решения задач нашли отражение 
результаты фундаментальных научных исследований, выполненных выдающимися учеными-педагогами горняками 
проф. И. М. Воронковым, проф. В.М. Осецким, проф. Л. Б. 
Левенсоном, проф. Н. Ф. Руденко и др. и руководимыми 
ими научно-педагогическими коллективами, а также опыт 

5 

проектных и научно-исследовательских учреждений горного профиля, родственных кафедр вузов нашей страны и ряда 
зарубежных стран, в частности Германии, Польши, Венгрии, Китая. 

Предлагаемые методы решения задач механики многократно опробованы и проверены в Московском государственном горном университете, а также в большинстве вузов 
и факультетов горного и горно-механического профиля. 
Учтены разработки специалистов в области современной 
педагогики и психологии высшего образования. Авторы 
приняли меры к исключению неоправданно усложненных 
приемов и рекомендаций по решению задач, не снижая в то 
же время достаточно высокий физико-математический уровень этих решений. 

Тематическая направленность рассмотренных задач позволяет осуществить специализацию курса «Теоретическая 
механика» и проиллюстрировать возможность использования методов общетеоретических учебных дисциплин для 
решения конкретных инженерных задач. Таким образом, 
показан путь перехода от абстрактных научных положений 
к практической деятельности инженера и исследователя. 

Будучи адресовано студентам и специалистам в области 
горного производства, данное учебное пособие может быть 
использовано при подготовке инженеров другого профиля, 
так как многие из рассмотренных машин и механизмов нередко применяются в самых разнообразных отраслях техники и технологии. 

Авторы полагают, что настоящая книга может представлять интерес не только для студентов и преподавателей, 
но и для практических инженеров, научных работников, сотрудников 
конструкторских 
бюро 
машиностроительных 
заводов и проектных учреждений. 

Глава 
1 
SS/S/r/SS/Ar/SAf^^^ 
Равновесие системы 
сходящихся сил 

Сходящимися 
называются 
силы, 
линии 
действия 
которых пересекаются в одной точке. Система 
сходящихся 
сил имеет равнодействующую, 
равную главному 
вектору 
этих сил, т. е. их геометрической сумме, и приложенную в 
точке пересечения линий их действия. 

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и 
достаточно, чтобы главный вектор этих сил был равен 
нулю: 

R = Fl+F2+... 
+ Fn = £Fk 
= 0. 

k=\ 

Геометрически условие равновесия рассматриваемой 
системы выражается в том, что силовой многоугольник, 
построенный из векторов сил этой системы, является 
замкнутым. 

В проекциях на оси прямоугольной системы координат 
имеем 

1 ^ = 1 ^ 
= 0; 1 ^ = 1 У * = 0; 1 ^ = Х ^ = 0. 

Для плоской системы сходящихся сил, когда линии 
действия всех сил системы лежат в одной плоскости, 
получаем 

1 ^ = 1 * * =0; 
1 ^ = 1 ^ = 0. 

Если 
твердое 
тело 
находится 
в равновесии 
под 
действием трех непараллельных сил, лежащих в одной 
плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в 
одной точке. 

7 

1.1. Всасывающий патрубок рабочего органа земснаряда 
(рис. 1.1, а) подвешен на канате, намотанном на барабан лебедки 
D и огибающем 
блок А. Блок установлен на штанге АВ, 
шарнирно закрепленной в точке В и удерживаемой оттяжкой АЕ. 
Определить усилия в штанге и оттяжке, если натяжение каната 
равно 0,4 кН; массой штанги и размерами блока А пренебречь. 

а 
б 

Рис. 1.1 

Р е ш е н и е . Поскольку размерами блока пренебрегаем, то 
можно считать, что он находится в равновесии под действием 
плоской системы четырех сходящихся сил (рис. 1.1, б): натяжения Т каждой из двух ветвей каната и усилий 
в штанге и 

в оттяжке, причём заранее можно сделать вывод, что штанга 

сжата, а усилие S^ 
направлено к блоку. 
Условия равновесия системы: 

Y,XK = SAE + Тcos 40° - SAB sin 30° = 0; 

Y,Yk = - T + SAB cos 30° - Tsui 40° = 0, 

откуда 

SAB = T(l + sin 40°) / cos 30° = 

= 0,4(1 + sin40°)/cos 30° = 0,759 кН; 

SAE = SAB sin 30° - T cos 40° = T [(1 + sin 40°) tg 30° - cos 40°] = 

8 

= 0,4 [(1 + sin 40°) tg 30° - cos 40°] = 0,073 кН. 

Ответ: SAB * 0,76 кН; SAE = 0,073 кН. 

1.2. Фонарь 1 (рис. 1.2, а) системы освещения рабочего 
уступа карьера укреплен на переносной опоре 2 с помощью 
горизонтальной поперечины АС и подкоса ВС. Найти усилия S\ и 
Si соответственно в поперечине и подкосе, если масса фонаря т = 
= 53,7 кг; 1Лс= 0,85 м; 1вс= 1,0 м; крепления в точках А, В и С шарнирные. 

а 
б 

Рис. 1.2 

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие узла С, на который 
действуют сила тяжести mg, искомые усилия Sx (в поперечине) 

и S2 (в подкосе). Все силы лежат в одной плоскости и пересекаются в точке С (рис. 1.2, б). 

Уравнения равновесия этой сходящейся системы сил имеют 
следующий вид: 

^Хк 
=-Si + S2cosa = 0; 
Y.Yk =mg-S2sia 
a. 

Из треугольника ABC находим 

cos a = ^ ^ = 0,85; 
'вс 

9 

sina = Vl-cos

2a = Jl-0,85

2 = 0,5268. 

Решая систему уравнений равновесия, получим 

mg_ = 5 3 ^ 8 1 
в
1
0
(
)
0 

sin a 
0,5268 

S, = S2 cos a = 1000 • 0,85 = 850 H. 

Ответ: 5, = 850 H; S2 * 1000 H. 

1.3. Фонарь / 
(рис. 1.3, а) системы освещения участка 
карьера подвешен к переносной опоре 2 на шнуре АС и притянут 
к столбу опоры тросом ВС. Масса фонаря т = 51 кг; a = 60°; 
Р = 120°. Определить натяжение шнура SAC и троса Sac
а 
б 

X 

Рис. 1.3 

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие точки С (рис. 1.3, б) 
под действием силы тяжести фонаря mg и усилий SAC 
(в шнуре 

АС) и Sgc (в тросе ВС). Эти силы представляют собой плоскую, 
сходящуюся в точке С систему, условия равновесия которой 
имеют вид: 

X * * = SAC COS a - SBC cos (p - 90°) = 0; 

2ZYk = - SBC sin (p - 90°) - SAC 
sin a + mg = 0. 

10