Сборник решений задач по теоретической механике на примерах из горной техники и технологии. Часть 2. Кинематика

московский 
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 

С О В Е Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 

Члены редсовета 

И.В. ДЕМЕНТЬЕВ 

A. 
П.ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

В.В. КУРЕХИН 

М.В. КУРЛЕНЯ 

В.И. ОСИПОВ 

Э.М. СОКОЛОВ 

К.Н. ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. ХРОНИН 

B. А. ЧАНТУРИЯ 

Е.И. ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 
чл.-корр. 
РАН 

директор 
Издательства 
МГТУ 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

ВЫСШЕЕ ГОРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 

С Б О Р Н И К 
РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 
на примерах из горной 
техники и технологии 

Часть 2. Кинематика 

Под общей 
редакцией 

B.C. 
Перевалова 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации 
по образованию в области горного дела 
в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров, специалистов и магистров «Горное дело» 

Л 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 
С 23 

Авторы: 
В.С Перевалов, В.М. Рачек, Г.А. Добробор с кий, П.М. Вержанский, 
М.Н. Въюишна, Р.В. Саганова, И.Н. Фальк 

Рецензенты: 
• 
Заслуженный деятель науки и техники РФ, докт. техн. наук, 
проф. А.А. Кулешов (зав. кафедрой горных транспортных машин 
Санкт-Петербургского государственного горного института им. 
Г.В. Плеханова (Технического университета)) 
• 
Кафедра механики Санкт-Петербургского 
государственного 
горного института им. Г.В. Плеханова (Технического университета) 
(зав. кафедрой заслуженный деятель науки и техники РФ, докт. 
техн. наук, проф. Л. К. Горшков) 

Сборник решений задач по теоретической механике на 
С 23 примерах из горной техники и технологии. Часть 2. Кинематика: Учебное пособие / B.C. Перевалов, В.М. Рачек, Г.А. 
Доброборский и др.; Под общ. ред. B.C. Перевалова. — М.: 
Издательство Московского государственного горного университета, 2002. — 208 с. 

ISBN 5-7418-0058-0 (в пер.) 

Содержит решение задач, помещенных в разд. II Сборника задач по теоретической механике на примерах из горной техники и технологии (B.C. Перевалов, Г.А. Доброборский, Л.М. Лянсберг и др. — М.: Изд-во МГГУ, 2000). 
Приведенные решения иллюстрируют практикум классического курса теоретической механики, читаемого в горных вузах, соответствуют утвержденному 
Министерством образования РФ образовательному стандарту по указанному 
курсу и способствуют развитию требуемых стандартом знаний, навыков и 
умений. Особое внимание уделено производственной направленности тематики задач и их решения. 

Для студентов горных университетов, вузов и факультетов. 

УДК 531:622.002.5 
ББК 22.25 

ISBN 5-7418-0058-0 
© Коллектив авторов, 2002 
© Издательство МГГУ, 2002 

П Р Е Д И С Л О В И Е 
^^009600S6990006S096666099606606«S^ 

Авторский коллектив настоящей книги предлагает своим 
читателям 
учебное 
пособие 
по 
решению 
задач 
учебной 
дисциплины Теоретическая механика" (Часть 2. "Кинематика"). 
Как и в части 1 "Статика", в данном пособии содержатся решения задач из книги "Сборник задач по теоретической механике 
на примерах из горной техники и технологии" (В. С. Перевалов, 
Г.А. Доброборский, Л.М. Лянсберг и др.; Под общ. ред. B.C. Перевал ова. - М.: Издательство МГГУ, 2000). В ходе работы над 
настоящим пособием в содержание некоторых задач были 
внесены небольшие изменения и уточнения. В ряде случаев 
предложены 
решения, 
отличающиеся 
от 
приведенных 
в 
указанном 
выше 
задачнике. 
Иллюстрируя 
возможность 
творческого подхода и вариантность при решении задач, авторы 
сочли целесообразны м привести в отдельных случаях разные 
варианты решения. Развитие курса Теоретическая механика", 
связанное с установлением новых образовательных стандартов, 
предопределило 
необходимость 
включения 
в 
данное 
методическое пособие новых задач, не содержащихся в задачнике. 

В предлагаемой книге авторы по-прежнему стремились 
исключить неоправданные усложнения и запутанные, а иногда и 
рутинные математические вычислительные операции, сохраняя 
тем 
не менее достаточно высокий 
физико-математический 
уровень. 

Как и в части 1 "Статика", в части 2 "Кинематика" 
объектами всех рассмотренных задач являются реальные машины 
и механизмы, используемые в горной технике и технологии, 
однако для 
некоторого облегчения 
вычислений 
отдельные 
сложные механические системы заменены упрощенными, но 
кинематически и геометрически подобными. 

Будучи продолжателями научно-методического направления 
курса "Теоретическая механика", разработанного выдающимися 
учеными и педагогами кафедры теоретической 
и 
прикладной 
механики МГИ - МГГУ 
проф. Л.Б. Левенсоном, проф. И.М. 
Воронковым, проф. Н.Ф. Руденко, проф. В.М. Осецким, авторы 

настоящего 
учебного 
пособия, 
опираясь 
на 
традиции 
и 
многолетний 
опыт кафедры, 
при решении 
задач 
раздела 
"Кинематика" 
строго 
придерживаются 
концептуальных, 
методических и методологических основ высшего образования, 
установившихся 
и 
развивающихся 
в 
настоящее 
время. 
Рациональность 
предлагаемых 
алгоритмов 
решения 
задач 
многократно подтверждена как в МГГУ, так и во многих других 
передовых 
высших учебных заведениях России, Украины, 
Казахстана, Грузии, Армении. Многолетнее научно-методическое 
сотрудничество с 
кафедрами 
аналогичного профиля вузов 
Германии, КНР, Польши, Венгрии дало возможность творчески 
использовать накопленный там опыт и имеющиеся научные и 
методические материалы. Учтены также разработки передовых 
научно-исследовательских 
и проектных учреждений . горного 
профиля в области механики. 

Сохраняя принцип специализации курса Теоретическая 
механика", авторы иллюстрируют возможность использования 
методов общетеоретических дисциплин для решения конкретных 
инженерных задач. Показан путь перехода от абстрактных 
научных положений к практической деятельности инженера и 
исследователя. 

Все вышеизложенное позволило, по мнению авторов, 
создать учебное пособие, отражающее передовые достижения в 
области 
современной 
педагогики 
и 
психологии 
высшего 
образования, которое окажется полезным как для студентов и 
преподавателей горных вузов и факультетов, так и для инженеров 
и научных работников. 

Будучи адресовано студентам и специалистам в области 
горного производства, данное учебное пособие вполне может 
быть использовано и при подготовке инженеров другого профиля, 
так как многие из рассмотренных машин и механизмов находят 
применение в различных отраслях техники. 

Глава 10 

Кинематика точки 

Для решения задач кинематики точки (тела) нужно 
прежде всего знать закон движения этой точки (тела), т. е. 
положение точки (тела) относительно некоторой системы 
отсчета в любой момент заданного диапазона времени. 

Движение точки может быть задано векторным, 
координатным или естественным 
способом. 

При векторном способе задания движения положение 
точки в пространстве в любой момент времени задается с 
помощью вектор-функции 

где г - проведенный из начала координат О в данную точку М радиус-вектор, величина и направление которого с 
течением времени изменяются по величине и направлению, 
т. е. зависят от аргумента t. 

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени: 

Направлен вектор v по касательной к траектории точки 
в сторону ее движения. 

Вектор ускорения точки равен первой производной от 
вектора скорости или второй производной от радиусавектора точки по времени: 

г=ПО, 
(10.1) 

- 
аУ л 
(10.2) 
v - - — - г . 
dt 

а- — = v = 
dt 

_ dv 
д 
(10.3) 

7 

Вектор ускорения 
а лежит в плоскости, соприкасающейся с кривой в данной точке М, и направлен в сторону 
вогнутости кривой. Для плоской кривой соприкасающаяся 
плоскость совпадает с плокостью этой кривой и является 
общей для всех ее точек. 

Уравнения движения точки при координатном способе 
задания движения представляют собой зависимости координат этой точки от времени: 

*=М0, 
У=Ж0, 
г=М0. 
(10.4) 

В этом случае проекции векторов скорости и ускорения 
точки на координатные оси определяются по формулам 

dx 
dy 

dt 
dt 

dz 
dt 

(10.5) 

±1 
dt 

dv 

d

2x 

dt' 

dt 

±1 
dt 

у 
• 
d

2y 
.. 

= v 2 = 

dt

d 

d

2z 

dV 

= z. 

(10.6) 

Модули векторов v и a 

x

2 + y

2 + z

2 ; 

x

2

+ y

2

 
+ -z

2 

(10.7) 

(10.8) 

Естественным способом задания движения пользуются 
в том случае, когда траектория движущейся точки известна 
заранее. Тогда задаются началом отсчета О на траектории, 
положительным и отрицательным направлением отсчета и 
законом движения точки вдоль траектории: 

(10.9) 

где s - дуговая координата точки, равная расстоянию от 
точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории 
и взятому с соответствующим знаком. Отметим, что координата j в общем случае не равна перемещению точки за 
время /, так как точка за этот промежуток времени могла 
двигаться сначала в одном направлении, а затем - в обратном, поэтому пройденный ею путь равен сумме перемещений в обоих направлениях, а координата s - разности этих 
перемещений. 

Для вычисления скорости и ускорения точки М при 
естественном 
способе задания ее движения используют 
формулы 

v = ds/dt = s; 
(10.10) 

о = а„+ах; 
a „ = v

2 / p ; a T=v = i"; а = JaJ+a

2 
, (10.11) 

где s - дуговая координата точки, заданная как функция 
времени; р - радиус кривизны траектории; 
а„ и а т - нормальное и тангенциальное 
{касательное) ускорения, которые также можно определить по формулам 

a„=|vx3|/v; 
(10.12) 

a T = ( v a ) / v . 
(10.13) 

Если точка движется в плоскости, то в соответствии с 
этими формулами имеем 

an=\xy-yx\/^x

2+y

2 
; 
(10.14) 

az=(xx 
+ yy)/ijx

2 
+у

2 . 
(10.15) 

Если v > 0, то скорость направлена в сторону положительного отсчета координаты s. Направление касательного 
ускорения <5Т зависит от знака проекции а т. 

9 

Криволинейное движение точки называется равномерным, если числовое значение скорости все время остается 
постоянным. При этом а т = dv/dt = 0 и полное ускорение а 
точки равно одному только нормальному ускорению а„. 
Закон равномерного криволинейного движения имеет 

в и д 

s = s0 + vt. 
(10.16) 

Если касательное ускорение все время остается постоянным (ах = dv/dt - const), то такое движение называется 
равнопеременным. 
Если при этом а т > 0, то модуль скорости возрастает и движение называется равноускоренным, 
а 
если а т < 0, то модуль скорости убывает и движение называется 
равнозамедленным. 

Закон равнопеременного криволинейного движения 

s = s0 + v0t + a^i

z/2, 
(10.17) 

скорость такого движения 

v = v0+axt. 
(10.18) 

Формулы (10.16), (10.17) и (10.18) соответствуют также 
законам равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, если считать s = х и ах = а (а- ускорение точки). 

10.1. Прямолинейное движение точки 

10.1. Разгон подъемного сосуда состоит из двух этапов: движения с постоянным ускорением at в течение времени и из состояния покоя и дальнейшего движения с постоянным ускорением а 2 - 0,8 м/с

2 в течение времени h до достижения максимальной скорости v2 = 5,2 м/с (рис. 10.1). Путь h\ за время h 
равен 2 м, полное время разгона / = 8 с. Определить величины t\, 

Vi (скорость в конце первого этапа), ах, h, Лг (перемещение сосуда за время /г). 
10