Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник статей, посвященных 70-летию известного ученого-механика, профессора, доктора технических наук Леонида Викторовича Ершова

Посвящается памяти выдающегося ученого-механика 
и 
педагога, 
возглавлявшего 
свыше 
26 лет 
кафедру 
«Высшей математики» 
Московского 
государственного 
горного 
университета, 
профессора 
Леонида Викторовича 
Ершова 

(1929-1988) 

РЕДАКЦИОННЫМ 

С О В Е Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 

Члены редсоаета 

И.В. 
ДЕМЕНТЬЕВ 

A. П. 
ДМИТРИЕВ 

Б.А. 
КАРТОЗИЯ 

В.В. 
КУРЕХИН 

М.В. 
КУРЛЕНЯ 

В.Н 
ОСИПОВ 

э.м. 
СОКОЛОВ 

К.Н. 
ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. 
ХРОНИН 

B. А. 
ЧАНТУРИЯ 

Е.И. 
ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 

Hju-корр. 
РАН 

директор 
Издательства 
МГГУ 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

К 70-летию профессора 
Леонида Викторовича Ершова 

ПРОБЛЕМЫ 
МЕХАНИКИ 
ДЕФОРМИРУЕМЫХ 

ТЕЛ 

И ГОРНЫХ 
ПОРОД 

Сборник статей 

Под редакцией академика 
РАН 
А.Ю. 
Митинского 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 

ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО 

УНИВЕРСИТЕТА 

2001 

УДК 622.001:622.271 

Редакционная коллегия сборника: 

Главный редактор А.Ю. Ишлинский 
Зам. главного редактора ДД. Ивлев 
Ответственный секретарь И. В. Ершов 
Члены редколлегии: 
МЛ. Алимжанов, А.Н. Гузь, Л.А. Пучков, С.А. Редкозубое, 
Г. П. Черепанов, ЕМ. Шемякин 

Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сборник 
статей, посвященных 70-летию известного ученого-механика, профессора, доктора технических наук Леонида Викторовича Ершова / Под 
ред. акад. РАН А.Ю. Ишлинского — М.: Издательство Московского 
государственного горного университета, 2001. — 376 с. 

ISBN 5-7418-0019-Х (в пер.) 

Сборник посвящен вопросам механики деформируемого твердого тела и ее приложениям к механике горных пород. Включены статьи выдающегося механика, профессора Леонида Викторовича Ершова, содержащие постановку и решения задач, определение устойчивости деформируемых массивов применительно к механике горных 
пород. Включены статьи ведущих отечественных и зарубежных ученых, работающих в 
области механики деформируемого твердого тела и конструкций. Статьи отражают 
современное состояние общих вопросов механики сплошной среды, теории упругости 
и пластичности, механики разрушения, устойчивости предельного состояния горных 
пород 

Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области механики деформируемых тел и горных пород. 

УДК 622.001:622.271 

ISBN 5-7418-0019-Х 
© Коллектив авторов, 2001 
© Издательство МГГУ, 2001 

Л Е О Н И Д В И К Т О Р О В И Ч Е Р Ш О В 
(К 70-летию со дня рождения) 

Л.В. Ершов, талантливый педагог и 

организатор науки, доктор технических 

наук, профессор, родился 12 мая 1929 г. 

Отлично окончил школу, механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, в 1958 г. защитил диссертацию 

на соискание ученой степени кандидата 

физико-математических наук, а в 1964 г. 

— доктора технических наук, с 1965 г. — 

профессор. 

Свою трудовую деятельность начал в 

НИИ-88 ( Ц Н И И М А Ш ) — ведущей организации в области ракетно-космической 

техники. Затем перешел на преподавательскую работу. Работал в ВЗЭИ, а затем в 

Московском горном институте, где свыше 26 лет возглавлял кафедру высшей математики. С его именем связано развитие 

вычислительной техники в М Г И . Он является зачинателем широкого использования математических методов при решении задач горного давления. Л.В. Ершов 

сыграл важную роль в организации, формировании и становлении Московского 

института электронной техники, первым 

ректором которого он был. В течение ряда лет работал заместителем директора 

Института проблем механики А Н СССР. 

5 

Основная область научной деятельности Л.В. Ершова — 
механика деформируемого твердого тела. Он является основоположником использования математического аппарата устойчивости равновесия деформируемых тел в задачах механики 
горных пород. Впервые ввел в механику горных пород понятие 
нарушения единственности равновесия. На конкретных задачах 
показал практические пути его реализации, развив при этом 
общую постановку задачи об устойчивости упругопластического равновесия. Л.В. Ершовым дано объяснение горного давления как процесса потери устойчивости равновесия массива горных пород. В частности, им рассмотрена устойчивость горной 
выработки (плоская потеря устойчивости) и вертикального ствола (осесимметричная потеря устойчивости). Л.В. Ершов развил 
методы малого параметра для решения задач определения упругопластического состояния и устойчивости равновесия тел в 
статической и динамической постановке. В своих работах он 
умело использовал современный математический аппарат при 
решении различных прикладных проблем механики горных 
пород. 

Им опубликовано свыше 100 работ, в том числе 6 монографий, значительное число учебников и учебных пособий. Под 
влиянием и при непосредственном участии Л.В. Ершова сформировалась новая, быстро развивающаяся область механики деформируемого твердого тела — устойчивость упругого и упругопластического равновесия пространственных тел применительно к задачам горных пород. 

Л.В. Ершов был талантливым педагогом, лекции которого 
оставляли неизгладимое впечатление. Среди его учеников — 
многие кандидаты и доктора наук. Идеи Л.В. Ершова привлекли внимание ученых-механиков и реализованы в книгах, учебных курсах, диссертациях многочисленных учеников и последователей. 

Высокоэффективный труд, большую организаторскую работу Л.В. Ершов сочетал с общественной деятельностью: неоднократно избирался в общественные организации, участвовал в 
работе ряда комиссий Минвуза, экспертного совета ВАК. Отличительными чертами Л.В. Ершова были глубина суждений, 
находчивость, остроумие, доброжелательность, огромное че
6 

ловеческое обаяние. Он неизменно пользовался любовью и 

уважением окружающих. 

За успехи в научно-педагогической деятельности Л.В. Ершов был награжден медалями, имел почетные знаки «Отличник 
Высшей школы», «Шахтерская слава» и др. 

Л.В. Ершов прожил короткую, но яркую и содержательную 
жизнь, наполненную творческим поиском и упорным трудом 
на благо российской науки. Помять о нем, человеке большой 
душевной теплоты, видном ученом, отзывчивом и верном товарище сохранится в сердцах его учеников, соратников, коллег, 
тех, кому посчастливилось работать и встречаться с Л.В. Ершовым. Светлой памяти Леонида Викторовича Ершова посвящена эта книга. 

ЧАСТЬ 1 

Л.В. ЕРШОВ 
ИЗБРАННЫЕ 
РАБОТЫ 

У П Р У Г О П Л А С Т И Ч Е С К О Е 
С О С Т О Я Н И Е К О Н И Ч Е С К О Й 
Т Р У Б Ы , Н А Х О Д Я Щ Е Й С Я П О Д 
Д Е Й С Т В И Е М В Н У Т Р Е Н Н Е Г О 

Д А В Л Е Н И Я * 

Упругопластическое 
напряженное 
состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления 
р (рисунок), будет вблизи известного осе
f 

2 

Ъ -ж 

2 

симметричного напряженного состояния 
цилиндрической трубы радиусов а и Ъ (а < 
<Ь)в 
случае плоской деформации [1]: 

- 9 + 2 1 n ^ a ° ' = - ? + 2 ( l + l n £ ) ; 
(
1
) 

-<7 + 1 + 21п£ т ^ = 0 ; 

Ое 
<*;-=Ро 

( 
1 ^ 

V 
р ) 
1 
Р ) 

(2) 

* Вестник М Г У . — 
1957. — № 2. — С. 51—52. 
Соавт.: Ивлев Д.Д. 

11 

где q = —\ а = ^ ; Р = т", Ро = \'>

х* — предел текучести (к xs бу
1S 
о 
о 
о 

дут отнесены все компоненты, имеющие размерность напряжения); г — текущий радиус; rs — радиус пластической зоны (компонентам, относящимся к пластической области, приписан индекс р, а относящимся к упругой области — ё). 
ро определяется из соотношения 

- I n Pj) = l - t f - 2 1 n a . 

Уравнения границ конической трубы представим в виде 

р = а, р = 1 - 8 ^ С = | ) , 
(3) 

где 5 — малый безразмерный параметр. 
Решение будем искать в виде: 

Op = a J + 6 a p ; o e = a£ +5а'в; а2 = a° + 5a' z; т р г = 6 x p z ; р = р 0 + 5р'. 

Если уравнение границы трубы представлено в виде 

р = 1 + 6 / ( £ ) , 

то линеаризированные граничные условия в рассматриваемом 
случае будут иметь вид 

° Р 
+ ^ 
Т 
= ° ' ^ 
" 
G ° J 
= ° "
Р
И 
Р
= 
1 ' 

Отсюда, учитывая (2) и (3), получим 

a
p

e = 2 p ^ , Т £ = - Р 2 
п р и р = 1 . 
(4) 

В пластической области, используя гипотезу Хара—Кармана, получим: 

° р ' = О е ' = т £ = 0 . 

Условия сопряжения решений для упругой и пластической 
областей конической трубы примут вид 

о-р=0, 
Т £
=
0 , 
Р' = ^ 
прир = Ро. 
(5) 

12