Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 682723.01.99
К покупке доступен более свежий выпуск Перейти
В учебном пособии изложены базовые разделы математики для бакалавров, ориен- тированных на изучение и моделирование социально-экономических процессов. В каче-стве среды изложения используется пакет прикладных программ MATLAB. Курс включа-ет 22 семинарских занятия, которые приготовлены в самодостаточной форме, т.е. они включают как теоретическую, так и практическую составляющие в изложении материала. Весь курс можно поделить на три части. Первая часть называется “Линейная алгебра и геометрия” (семинары №1 — №8). Во второй части курса излагаются основы “Математи-ческого анализа” (семинары №9 — №14). Наконец, третья часть курса посвящена знаком-ству с основами “Теории вероятностей” (семинары №15 — №22). В папке “Приложение к учебному пособию “Плохотников К.Э. Базовые разделы математики в среде MATLAB” сосредоточены 282 MATLAB-файла учебных программ, разнесенных по 22- м папкам семинарских занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Коды всех программ представлены также в текстах семинарских занятий. Особенностью курса является активное использование изобразительных и вычислитель-ных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками решения различного рода математических задач. Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых входит дисциплина “Математика”. Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои знания по линейной алгебре и геометрии, математическому анализу и теории вероятностей, опираясь на пакет прикладных программ MATLAB.
Плохотников, К. Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB: учебное пособие / Плохотников К.Э. - Москва : НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 1128 с. - ISBN 978-5-16-106604-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/966048 (дата обращения: 15.06.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
К.Э. Плохотников

Базовые разделы математики для бакалавров в 

среде MATLAB

Москва

Инфра-М

2018

К.Э. Плохотников

Базовые разделы математики для бакалавров в 

среде MATLAB

Учебное пособие

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

Плохотников, К.Э.

Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB: 

Учебное пособие / К.Э. Плохотников. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2018. –
1128 с.

ISBN 978-5-16-106604-1 (online)

В учебном пособии изложены базовые разделы математики для бакалавров, ориентированных на изучение 
и моделирование социально-экономических процессов. В качестве среды изложения используется пакет 
прикладных программ MATLAB. Курс включа-ет 22 семинарских занятия, которые приготовлены в 
самодостаточной форме, т.е. они включают как теоретическую, так и практическую составляющие в 
изложении материала. Весь курс можно поделить на три части. Первая часть называется “Линейная алгебра 
и геометрия” (семинары №1 — №8). Во второй части курса излагаются основы “Математи-ческого анализа” 
(семинары №9 — №14). Наконец, третья часть курса посвящена знаком-ству с основами “Теории
вероятностей” (семинары №15 — №22).

В папке “Приложение к учебному пособию “Плохотников К.Э. Базовые разделы математики в среде 
MATLAB” сосредоточены 282 MATLAB-файла учебных программ, разнесенных по 22- м папкам семинарских 
занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Коды всех программ представлены также в 
текстах семинарских занятий. Особенностью курса является активное использование изобразительных и 
вычислитель-ных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками решения 
различного рода математических задач.

Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых входит дисциплина 
“Математика”. Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои знания по 
линейной алгебре и геометрии, математическому анализу и теории вероятностей, опираясь на пакет 
прикладных программ MATLAB.

ISBN 978-5-16-106604-1 (online)
© К.Э. Плохотников, 2014, 2018

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 3 — 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ЛЕКЦИЯ №1 ........................................................................................................ 13

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ......................................... 13

§1. Определение матриц ..................................................................................................................... 13
§2. Операции над матрицами ............................................................................................................. 17
§3. Определитель квадратной матрицы ............................................................................................ 22
§4. Свойства определителя ................................................................................................................. 26

ЛЕКЦИЯ №2 ........................................................................................................ 29

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ..................................................... 29

§1. Линейные операции с векторами ................................................................................................. 29
§2. Координаты вектора ...................................................................................................................... 32
§3. Скалярное произведение векторов .............................................................................................. 34
§4. Вектор в трехмерном пространстве .............................................................................................. 36
§5. Линейное векторное пространство .............................................................................................. 37
§6. Линейная зависимость (независимость) векторов ..................................................................... 40
§7. Ранг матрицы .................................................................................................................................. 42

ЛЕКЦИЯ №3 ........................................................................................................ 45

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ...................................................... 45

§1. Обратная матрица .......................................................................................................................... 45
§2. Теорема об обратной матрице ..................................................................................................... 46
§3. Блочные (клеточные) матрицы ..................................................................................................... 50
§4. Способы нахождения обратной матрицы .................................................................................... 55

ЛЕКЦИЯ №4 ........................................................................................................ 61

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ..................................................................................... 61

§1. Система линейных алгебраических уравнений ........................................................................... 61
§2. Нахождение единственного решения .......................................................................................... 62
§3. Нахождение решения с помощью блочной матрицы................................................................. 64
§4. Нахождение решения с помощью формул Крамера .................................................................. 66
§5. Общий подход к решению систем линейных уравнений ........................................................... 69

ЛЕКЦИЯ №5 ........................................................................................................ 77

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II ............................................................................... 77

§1. Базисные решения системы уравнений ....................................................................................... 77
§2. Однородные системы уравнений ................................................................................................. 79
§3. Фундаментальные решения .......................................................................................................... 80
§4. Общее решение неоднородной системы уравнений ................................................................. 83
§5. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева ....................................................................... 85
§6. Размерность и базис векторного пространства ........................................................................... 89

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 4 — 

ЛЕКЦИЯ №6 ........................................................................................................ 96

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ................................................................................................................ 96

§1. Линейные подпространства .......................................................................................................... 96
§2. Евклидовы пространства ............................................................................................................. 100
§3. Ортонормированная система векторов ..................................................................................... 102
§4. Линейные операторы ................................................................................................................... 104
§5. Собственные векторы и значения линейного оператора ......................................................... 108

ЛЕКЦИЯ №7 ...................................................................................................... 113

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ ............................................... 113

§1. Уравнение линии на плоскости ................................................................................................... 113
§2. Уравнение прямой ....................................................................................................................... 115
§3. Некоторые совместные свойства пары прямых ........................................................................ 120
§4. Окружность и эллипс .................................................................................................................... 124

ЛЕКЦИЯ №8 ...................................................................................................... 128

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.II .......................................... 128

§1. Гипербола...................................................................................................................................... 128
§2. Парабола ....................................................................................................................................... 134
§3. Кривые в полярной системе координат ..................................................................................... 136
§4. Иные поименованные кривые .................................................................................................... 139

ЛЕКЦИЯ №9 ...................................................................................................... 142

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ......... 142

§1. Ретроспектива расширения множества используемых чисел ................................................. 142
§2. Вещественные числа .................................................................................................................... 145
§3. Предел последовательности ....................................................................................................... 149
§4. Предел монотонной последовательности ................................................................................. 152
§5. Операции с последовательностями ........................................................................................... 155

ЛЕКЦИЯ №10 .................................................................................................... 160

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .................. 160

§1. Понятие функции .......................................................................................................................... 160
§2. Способы задания функции .......................................................................................................... 164
§3. Элементарные функции ............................................................................................................... 168
§4. Предел функции ........................................................................................................................... 169
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................................................ 172
§5. Непрерывность функции в точке ................................................................................................ 174

ЛЕКЦИЯ №11 .................................................................................................... 178

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ............... 178

§1. Определение производной ......................................................................................................... 178
§2. Производные простейших функций ........................................................................................... 180
§3. Дифференциал функции .............................................................................................................. 181

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 5 — 

§4. Геометрический смысл производной ........................................................................................ 184
§5. Физический смысл производной ................................................................................................ 185
§6. Правила вычисления производных ............................................................................................ 189
§7. Производная и дифференциал сложной функции .................................................................... 193
§8. Таблица производных основных функций ................................................................................. 195

ЛЕКЦИЯ №12 .................................................................................................... 196

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. II ............................ 196

§1. Теорема Ферма ............................................................................................................................. 196
§2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях ......................................................... 197
§3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя .............................................................. 203
§4. Формула Тейлора ......................................................................................................................... 207
§5. Примеры разложения с помощью формулы Тейлора .............................................................. 210
§6. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов ................................................ 213

ЛЕКЦИЯ №13 .................................................................................................... 216

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .................................................. 216

§1. Первообразная и неопределенный интеграл ............................................................................ 216
§2. Основные свойства неопределенного интеграла ..................................................................... 218
§3. Интеграл и задача об определении площади ........................................................................... 221
§4. Различные способы интегрирования ......................................................................................... 223

ЛЕКЦИЯ №14 .................................................................................................... 232

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................ 232

§1. Определение интеграла по Риману ............................................................................................ 232
§2. Условия интегрируемости функций по Риману ......................................................................... 235
§3. Свойства определенного интеграла ........................................................................................... 238
§4. Методы вычисления определенного интеграла ....................................................................... 241
§5. Геометрические и физические приложения определенного интеграла ................................ 245

ЛЕКЦИЯ №15 .................................................................................................... 254

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ .............. 254

§1. Евклидово пространство .............................................................................................................. 254
§2. Предел и непрерывность функций многих переменных .......................................................... 257
§3. Частные производные и частные дифференциалы................................................................... 262
§4. Производная по направлению .................................................................................................... 267
§5. Частные производные высших порядков .................................................................................. 271

ЛЕКЦИЯ №16 .................................................................................................... 274

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ..................................... 274

§1. Полиномиальный метод интерполяции .................................................................................... 274
§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа ................................................................................. 277
§3. Сплайны ......................................................................................................................................... 279
§4. Метод наименьших квадратов .................................................................................................... 281
§5. Многомерная интерполяция ....................................................................................................... 284

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 6 — 

ЛЕКЦИЯ №17 .................................................................................................... 288

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: ПОИСК МИНИМУМА (МАКСИМУМА) ........................ 288

§1. Постановка задачи ....................................................................................................................... 288
§2. Поиск экстремумов функций ....................................................................................................... 290
§3. Методы золотого сечения и параболы ...................................................................................... 299
§4. Минимум функции многих переменных .................................................................................... 304

ЛЕКЦИЯ №18 .................................................................................................... 311

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ 
ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО) ....................................................................... 311

§1. Случайные величины ................................................................................................................... 311
§2. Разыгрывание случайной величины ........................................................................................... 314
§3. Интерполяция ............................................................................................................................... 319
§4. Решение линейных алгебраических систем уравнений ........................................................... 322
§5. Вычисление интегралов ............................................................................................................... 324

ЛЕКЦИЯ №19 .................................................................................................... 328

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................... 328

§1. Демографические модели ........................................................................................................... 328
§2. Модель “хищник‐жертва” и некоторые обобщения ................................................................. 338
§3. Дифференциальное уравнение первого порядка ..................................................................... 340

ЛЕКЦИЯ №20 .................................................................................................... 344

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ............................................................................................................ 344

§1. Уравнения с разделяющимися переменными .......................................................................... 344
§2. Однородные уравнения............................................................................................................... 347
§3. Линейные уравнения первого порядка ...................................................................................... 350
§4. Уравнения в полных дифференциалах ....................................................................................... 355
§5. Существование и единственность решений .............................................................................. 357

ЛЕКЦИЯ №21 .................................................................................................... 364

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. II ....................................................................................................... 364

§1. Уравнения, не разрешенные относительно производной ....................................................... 364
§2. Метод введения параметра ........................................................................................................ 367
§3. Уравнения, допускающее понижение порядка ......................................................................... 372
§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .......................................................... 376

ЛЕКЦИЯ №22 .................................................................................................... 382

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. III ..................................................................................................... 382

§1. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ......................................................... 382
§2. Краевые задачи ............................................................................................................................ 387

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 7 — 

§3. Линейные системы с постоянными коэффициентами .............................................................. 395

ЛЕКЦИЯ №23 .................................................................................................... 400

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
УСТОЙЧИВОСТЬ .................................................................................................................. 400

§1. Устойчивость ................................................................................................................................. 400
§2. Функция Ляпунова ........................................................................................................................ 408
§3. Особые точки ................................................................................................................................ 412

ЛЕКЦИЯ №24 .................................................................................................... 419

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЧИСЛЕННЫЕ 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ............................................................................................................ 419

§1. Постановка задачи Коши ............................................................................................................. 419
§2. Метод Пикара ............................................................................................................................... 421
§3. Метод малого параметра ............................................................................................................ 422
§4. Метод ломаных ............................................................................................................................ 424
§5. Метод Рунге‐Кутта ........................................................................................................................ 427
§6. Решатели дифференциальных уравнений в пакете MATLAB ................................................... 434

СЕМИНАР №1 ................................................................................................... 440

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ....................................... 440

§1. Определение матриц ................................................................................................................... 440
§2. Операции над матрицами ........................................................................................................... 444
§3. Определитель квадратной матрицы .......................................................................................... 450
§4. Свойства определителя ............................................................................................................... 455
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 457

СЕМИНАР №2 ................................................................................................... 460

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ................................................... 460

§1. Линейные операции с векторами ............................................................................................... 460
§2. Координаты вектора .................................................................................................................... 464
§3. Скалярное произведение векторов ............................................................................................ 466
§4. Вектор в трехмерном пространстве ............................................................................................ 468
§5. Линейное векторное пространство ............................................................................................ 469
§6. Линейная зависимость (независимость) векторов ................................................................... 472
§7. Ранг матрицы ................................................................................................................................ 475
§8. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 477

СЕМИНАР №3 ................................................................................................... 485

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ОБРАТНАЯ МАТРИЦА .................................................... 485

§1. Обратная матрица ........................................................................................................................ 485
§2. Теорема об обратной матрице ................................................................................................... 486
§3. Блочные (клеточные) матрицы ................................................................................................... 492
§4. Способы нахождения обратной матрицы .................................................................................. 498
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 503

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 8 — 

СЕМИНАР №4 ................................................................................................... 508

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ................................................................................... 508

§1. Система линейных алгебраических уравнений ......................................................................... 508
§2. Нахождение единственного решения ........................................................................................ 509
§3. Нахождение решения с помощью блочной матрицы............................................................... 512
§4. Нахождение решения с помощью формул Крамера ................................................................ 514
§5. Общий подход к решению систем линейных уравнений ......................................................... 517
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 526

СЕМИНАР №5 ................................................................................................... 530

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ 
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II ............................................................................. 530

§1. Базисные решения системы уравнений ..................................................................................... 530
§2. Однородные системы уравнений ............................................................................................... 532
§3. Фундаментальные решения ........................................................................................................ 534
§4. Общее решение неоднородной системы уравнений ............................................................... 537
§5. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева ..................................................................... 539
§6. Размерность и базис векторного пространства ......................................................................... 544
§7. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 551

СЕМИНАР №6 ................................................................................................... 557

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ .............................................................................................................. 557

§1. Линейные подпространства ........................................................................................................ 557
§2. Евклидовы пространства ............................................................................................................. 563
§3. Ортонормированная система векторов ..................................................................................... 565
§4. Линейные операторы ................................................................................................................... 568
§5. Собственные векторы и значения линейного оператора ......................................................... 572
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 578

СЕМИНАР №7 ................................................................................................... 584

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ ............................................... 584

§1. Уравнение линии на плоскости ................................................................................................... 584
§2. Уравнение прямой ....................................................................................................................... 587
§3. Некоторые совместные свойства пары прямых ........................................................................ 595
§4. Окружность и эллипс .................................................................................................................... 600
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 604

СЕМИНАР №8 ................................................................................................... 610

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.II .......................................... 610

§1. Гипербола...................................................................................................................................... 610
§2. Парабола ....................................................................................................................................... 618
§3. Кривые в полярной системе координат ..................................................................................... 622
§4. Иные поименованные кривые .................................................................................................... 626
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 630

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 9 — 

СЕМИНАР №9 ................................................................................................... 638

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЧИСЛОВЫЕ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ................................................................................................. 638

§1. Ретроспектива расширения множества используемых чисел ................................................. 638
§2. Вещественные числа .................................................................................................................... 643
§3. Предел последовательности ....................................................................................................... 647
§4. Предел монотонной последовательности ................................................................................. 651
§5. Операции с последовательностями ........................................................................................... 654
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 659

СЕМИНАР №10 ................................................................................................. 667

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .................. 667

§1. Понятие функции .......................................................................................................................... 667
§2. Способы задания функции .......................................................................................................... 672
§3. Элементарные функции ............................................................................................................... 677
§4. Предел функции ........................................................................................................................... 678
§5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................................................ 682
§5. Непрерывность функции в точке ................................................................................................ 685
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 689

СЕМИНАР №11 ................................................................................................. 698

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ............... 698

§1. Определение производной ......................................................................................................... 698
§2. Производные простейших функций ........................................................................................... 700
§3. Дифференциал функции .............................................................................................................. 702
§4. Геометрический смысл производной ........................................................................................ 705
§5. Физический смысл производной ................................................................................................ 707
§6. Правила вычисления производных ............................................................................................ 712
§7. Производная и дифференциал сложной функции .................................................................... 718
§8. Таблица производных основных функций ................................................................................. 719
§9. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 720

СЕМИНАР №12 ................................................................................................. 727

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. II ............................ 727

§1. Теорема Ферма ............................................................................................................................. 727
§2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях ......................................................... 729
§3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя .............................................................. 735
§4. Формула Тейлора ......................................................................................................................... 741
§5. Примеры разложения с помощью формулы Тейлора .............................................................. 744
§6. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов ................................................ 748
§7. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 750

СЕМИНАР №13 ................................................................................................. 759

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ................................................................................ 759

§1. Первообразная и неопределенный интеграл ............................................................................ 759
§2. Основные свойства неопределенного интеграла ..................................................................... 761

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 10 — 

§3. Интеграл и задача об определении площади ........................................................................... 765
§4. Различные способы интегрирования ......................................................................................... 767
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 777

СЕМИНАР №14 ................................................................................................. 781

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ............................ 781

§1. Определение интеграла по Риману ............................................................................................ 781
§2. Условия интегрируемости функций по Риману ......................................................................... 786
§3. Свойства определенного интеграла ........................................................................................... 788
§4. Методы вычисления определенного интеграла ....................................................................... 793
§5. Геометрические и физические приложения определенного интеграла ................................ 797
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 807

СЕМИНАР №15 ................................................................................................. 813

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИИ МНОГИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ ....................................................................................................................... 813

§1. Евклидово пространство .............................................................................................................. 813
§2. Предел и непрерывность функций многих переменных .......................................................... 816
§3. Частные производные и частные дифференциалы................................................................... 824
§4. Производная по направлению .................................................................................................... 830
§5. Частные производные высших порядков .................................................................................. 835
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 837

СЕМИНАР №16 ................................................................................................. 843

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ..................................... 843

§1. Полиномиальный метод интерполяции .................................................................................... 843
§2. Интерполяционный многочлен Лагранжа ................................................................................. 847
§3. Сплайны ......................................................................................................................................... 850
§4. Метод наименьших квадратов .................................................................................................... 854
§5. Многомерная интерполяция ....................................................................................................... 857
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 862

СЕМИНАР №17 ................................................................................................. 872

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: ПОИСК МИНИМУМА (МАКСИМУМА) ........................ 872

§1. Постановка задачи ....................................................................................................................... 872
§2. Поиск экстремумов функций ....................................................................................................... 874
§3. Методы золотого сечения и параболы ...................................................................................... 885
§4. Минимум функции многих переменных .................................................................................... 893
§5. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 900

СЕМИНАР №18 ................................................................................................. 912

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ 
ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО) ....................................................................... 912

§1. Случайные величины ................................................................................................................... 912
§2. Разыгрывание случайной величины ........................................................................................... 915
§3. Интерполяция ............................................................................................................................... 923

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 11 — 

§4. Решение линейных алгебраических систем уравнений ........................................................... 927
§5. Вычисление интегралов ............................................................................................................... 929
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 935

СЕМИНАР №19 ................................................................................................. 944

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................... 944

§1. Демографические модели ........................................................................................................... 944
§2. Модель “хищник‐жертва” и некоторые обобщения ................................................................. 957
§3. Дифференциальное уравнение первого порядка ..................................................................... 959
§4. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 963

СЕМИНАР №20 ................................................................................................. 970

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ............................................................................................................ 970

§1. Уравнения с разделяющимися переменными .......................................................................... 970
§2. Однородные уравнения............................................................................................................... 974
§3. Линейные уравнения первого порядка ...................................................................................... 977
§4. Уравнения в полных дифференциалах ....................................................................................... 983
§5. Существование и единственность решений .............................................................................. 985
§6. Дополнительные задачи .............................................................................................................. 992

СЕМИНАР №21 ................................................................................................. 998

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. II ....................................................................................................... 998

§1. Уравнения, не разрешенные относительно производной ....................................................... 998
§2. Метод введения параметра ...................................................................................................... 1002
§3. Уравнения, допускающее понижение порядка ....................................................................... 1007
§4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ........................................................ 1012
§5. Дополнительные задачи ............................................................................................................ 1019

СЕМИНАР №22 ............................................................................................... 1029

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. III ................................................................................................... 1029

§1. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ....................................................... 1029
§2. Краевые задачи .......................................................................................................................... 1035
§3. Линейные системы с постоянными коэффициентами ............................................................ 1044
§4. Дополнительные задачи ............................................................................................................ 1050

СЕМИНАР №23 ............................................................................................... 1058

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): 
УСТОЙЧИВОСТЬ ................................................................................................................ 1058

§1. Устойчивость ............................................................................................................................... 1058
§2. Функция Ляпунова ...................................................................................................................... 1067
§3. Особые точки .............................................................................................................................. 1072
§4. Дополнительные задачи ............................................................................................................ 1084

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 12 — 

СЕМИНАР №24 ............................................................................................... 1095

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ .............................................................................. 1095

§1. Постановка задачи Коши ........................................................................................................... 1095
§2. Метод Пикара ............................................................................................................................. 1097
§3. Метод малого параметра .......................................................................................................... 1098
§4. Метод ломаных .......................................................................................................................... 1100
§5. Метод Рунге‐Кутта ...................................................................................................................... 1104
§6. Решатели дифференциальных уравнений в пакете MATLAB ................................................. 1114
§7. Дополнительные задачи ............................................................................................................ 1119

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 13 — 

Лекция №1 

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 

Определяется понятие “матрицы”, а также основные операции с 
матрицами и над матрицами. Вводятся единичная и нулевая матрицы, понятие “определителя” квадратной матрицы. Формулируется 
теорема об определителе квадратной матрицы.  

§1. Определение матриц 

В этой и последующих лекциях будут рассмотрены основные положения 
классической математической дисциплины — линейной алгебры. Изложение 
будет осуществляться параллельно: обычным способом, т.е. с изложением 
деталей вычислений, а также на семинарах с помощью опоры на такой пакет 
прикладных программ, как MATLAB1.  
Курс линейной алгебры является классическим разделом математики, 
излагаемым в вузах самой разной ориентации. Существует огромное количество учебников по курсу линейной алгебры2 разного уровня сложности, полноты изложения и различного рода специализации. Мы рассмотрим лишь некоторые разделы, которые наиболее важны для целей исследования и моделирования социально-экономических процессов. 

Матрица или таблица чисел прямоугольной формы занимает особую 
роль в знаковой деятельности человека. Человеку трудно изучать бесформенную совокупность чисел. На рис.1,а приведена пара совокупностей чисел, 
которые разбросаны случайно в прямоугольнике A и собраны в виде таблицы 
B на рис.1,б. 
Когда числа собраны в прямоугольную таблицу, то можно говорить о 
числе строк и столбцов. Так в таблице на рис.1,б — 3 строки и 2 столбца. В 
этом случае будем говорить, что таблица на рис.1,б имеет размер 32. Таблица чисел может быть и квадратная, например, 33, т.е. она тогда квадратная, 
когда у нее число строк и столбцов совпадает. Наконец, можно говорить о 
самой простейшей матрице, которая состоит из одной строки и одного 
столбца, т.е. о матрице 11 — это просто одно число. 

                                           
1 Среда MATLAB для научных и технических математических вычислений изложена во множестве 
учебных пособий, среди них выделим: Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB6. — М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. 
352с.; Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5+Simulink4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — М.: СОЛОН-Пресс, 2002. 768с.; Плохотников К.Э., Волков Б.И., Задорожный С.С., Антонюк В.А., Терентьев Е.Н., Белинский А.В. Методы разработки курсовых работ. Моделирование, вычисления, программирование на С/С++ и MATLAB, виртуализация, образцы лучших студенческих курсовых работ: Учеб. пособие/ Под ред. К.Э. Плохотникова. — М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006. 320с.; Плохотников К.Э. Вычислительные 
методы. Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Горячая линия — Телеком, 2013. 496с. 
2 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов. — 6-н изд. стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280с.; Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1980. — 400с.; Гельфанд И.М. Лекции 
по линейной алгебре. — М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 
1998. — 320с.; Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. — М.: Эксмо, 
2006. — 224с.; Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х. ч. 
Ч.1 — М.: Финансы и статистика, 2000. — 224с.; Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х. ч. Ч.2 — М.: Финансы и статистика, 2000. — 376с. 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 14 — 

 

5,1
2
5,2

3
2
1

B
 

Рис.1,а. Бесформенная совокупность некоторого 
числа чисел 
Рис.1,б. Числа собраны в виде совокупности прямоугольной формы 
 
Ниже приведен пример статистики3 с данными по числу самоубийств и 
количеству потребляемого алкоголя в РФ в течение ряда лет. Определение 
такой таблицы уже подразумевает изучение вопроса: как связаны друг с другом количество потребляемого алкоголя с числом самоубийств в РФ? 
 

Год
Алкоголь
(млн. дкл)
Самоубийства
 (тыс. чел.) 

1970
101,0 
38,9 

1975
122,0 
44,8 

1980
137,0 
47,9 

1985
109,0 
44,6 

1990
78,8 
39,2 

1995
60,8 
61,0 

1996
39,3 
57,8 

1997
46,0 
55,0 

1998
50,0 
51,8 

1999
73,4 
57,3 

2000
74,4 
56,9 

2001
83,5 
57,3 

2002
90,4 
55,3 

2003
91,5 
51,7 

2004
95,9 
49,4 

 
В общем случае прямоугольную матрицу A можно определить двумя 
целыми числами: числом строк — n (n  1) и числом столбцов — m (m  1). 
Число строк и столбцов или порядок матрицы, или габариты матрицы можно 
представить в виде: A = A(nm). Сами матрицы будем обозначать заглавными 
латинскими буквами A, B, …, а их элементы — строчными, например, a11, 
a12,…an,m; b11, b12,…, bn,m, … Элементы матриц могут быть самыми разнообразными числами: целыми, вещественными, комплексными или иными объектами. В этом случае приняты следующие способы изображения матриц в 
виде прямоугольных таблиц: 

                                           
3 Российский статистический ежегодник. 2005: Стат. сб./Росстат. — М.:, 2006. 819с. 

A 

1 
2 

3 

2,5 
2 

1,5 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 15 — 
























m
n
n
n

m

m

m
n
n
n

m

m

a
a
a

a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a
a
a
a

m
n
A
A

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

...

...
...
...

...

...
...
...

)
(






. 

На семинаре при обращении к пакету MATLAB научимся генерировать 
различного рода матрицы, используя специальные генераторы случайных чисел. К ним относятся rand, randi, randn и пр. 

Пример №1. Построить матрицу A размером 45, элементами которой 
выступают равновероятно случайные натуральные числа из набора 1,2,…,9. 

Решение. На рис.2 приведен пример построения искомой матрицы в 
пакете MATLAB, где используется генератор randi. 
 

 
Рис.2. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами 
 

 
Рис.3. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами 
 
В качестве элементов матрицы могут выступать равномерно случайные 
числа из иных других интервалов. 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 16 — 

Пример №2. Построить матрицу A(79), в качестве элементов которой 
выступают целые как положительные, так и отрицательные, например, из 
диапазона –N, –N + 1, …, –1, 0, 1, 2, …, M (N, M — целые положительные 
числа, т.е. N  1, M  1) 

Решение. Итог представлен на рис.3, где изображена матрица размером 
79, элементы которой выбраны равновероятно случайно из диапазона –10, 
—9, …, –1, 0, 1, …, 20. Здесь также используется генератор randi. 
Можно строить матрицы и с иными элементами, например, вещественными. 

Пример №3. Построить матрицу A(47) с вещественными элементами. 
Решение. В этом случае можно использовать, например, генератор случайных чисел randn. Итог работы подходящей программы представлен на 
рис.4, где изображена матрица размером 47, элементами которой выступают 
случайные вещественные числа, распределенные по нормальному закону4. 
 

 
Рис.4. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами 
 
Помимо обозначения матрицы в виде одной заглавной буквы, например, A, будем также использовать обозначения: A = ||ai,j|| = (ai,j), i = 1,…,n; j = 
1,…,m. В последней записи матрицы первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс — номер столбца j. 

Главной диагональю квадратной матрицы  

n
n
n
n

n

n

a
a
a

a
a
a
a
a
a

n
n
A

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

...

...
...
...

)
(





 

                                           
4 В теории вероятностей говорят, что случайные вещественные числа, принимающие значения на 
всей числовой оси (–;+), подчинены стандартному нормальному распределению, когда плотность рас
пределения случайной величины N(0,1) определяется выражением 

2

2

2

1
)1,0
(

x
e
N



. Например, известно, 

что рост и вес людей приближенно подчиняется нормальному распределению. Более подробно с нормальным распределением студенты познакомятся в курсе теории вероятностей. 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 17 — 

называется набор элементов матрицы: a11, a22, …, an,n. Главная диагональ 
идет с левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. 

§2. Операции над матрицами 

Будем полагать две матрицы A(n1m1) = ||ai,j||, B (n2m2)= ||bi,j|| равными, когда 
их размеры и все элементы совпадают, т.е. n1 = n2 = n, m1 = m2 = m, ai,j = bi,j, i 
= 1,…,n; j = 1,…,m. 

Сложение матриц. Суммой двух матриц одинаковых размеров A(nm) = 
||ai,j|| и B(nm) = ||bi,j|| называется такая матрица C(nm) = ||ci,j|| тех же размеров, что 
ci,j = ai,j + bi,j; i = 1,…,n; j = 1,…,m. 
(1) 
В краткой форме сложение матриц A и B записывается в форме C = A + 
B. В итоге, согласно (1), можем записать: 

.

...
...

...

...

...
...

...

...

...
...

...

...

...
...

...

...

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

,
,
2
,
2
,
1,
1,

,2
,2
22
22
21
21

,1
,1
12
12
11
11

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

,
2
,
1,

,2
22
21

,1
12
11

m
n
n
n

m

m

m
n
m
n
n
n
n
n

m
m

m
m

m
n
n
n

m

m

m
n
n
n

m

m

c
c
c

c
c
c

c
c
c

b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
b
a

b
b
b

b
b
b

b
b
b

a
a
a

a
a
a

a
a
a
































  

Пример №4. Построить и сложить пару матриц A(nm) и B(nm). 
Решение. На семинаре №1 рассмотрена короткая программа среды 
MATLAB, которая генерирует две целочисленные матрицы A(nm) и B(nm) 
с равномерно случайными элементами из диапазона 1,…,10 и находит их 
сумму C(nm). На рис.5 приведен итог работы одного из запусков данной 
программы.  
Из определения суммы матриц в (1) вытекает, что операция сложения 
матриц обладает теми же свойствами, что и сложение вещественных чисел, 
т.е. свойствами коммутативности и ассоциативности: 

1) свойства коммутативности: A + B = B + A; 
2) свойство ассоциативности: (A + B) + C = A + (B + C).  
Перечисленные выше свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых в сумме двух и более матриц. 

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A(nm) = ||ai,j|| 
на число  называется матрица B(nm) = ||bi,j||, элементы которой вычисляются по правилу: 
bi,j = ai,j; i = 1,…,n; j = 1,…,m. 
(2) 
Для записи произведения матрицы A на число  используется запись: B 
= A.  
Из формулы (2) вытекают следующие свойства произведения матрицы 
на число: 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 18 — 

1) свойство ассоциативности по числовому множителю: ()A = (A); 
2) свойство дистрибутивности относительно сложения матриц: (A + 
B) = A + B; 

3) свойство дистрибутивности относительно суммы чисел: ( + )A = 
A + A. 
 

 
Рис.5. Пример генерации и сложения двух матриц 
 
Теперь можно определить разность двух матриц A и B, как такую матрицу C, которая, будучи сложенной с матрицей B, даст матрицу A. Для обозначения разности пары матриц A и B используют привычную запись C = A – 
B. Данная запись также может быть выведена из правил произведения матрицы на число. 

Пример №5. Построить две матрицы A(nm) и B(nm), определить две 
константы ,  и найти выражение C = A + B. 

Решение. На семинаре №1 рассмотрена MATLAB-программа, которая 
определяет пару целочисленных матриц A(nm) и B(nm) с равномерно случайными элементами из диапазона –N, …, M, а также два сомножителя  и . 
В результате работы программы вычисляется матрица C = A + B. На рис.6 
приведен итог одного из запусков данной программы. 

Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB 

— 19 — 

Перемножение матриц. Произведением матрицы A(nm) = ||ai,j|| на 
B(mp) = ||bi,j|| называется такая матрица C(np) = ||ci,j||, элементы которой 
подсчитываются по правилу: 

p
j
n
i
b
a
c

m

k
j
k
k
i
j
i
,...,
1
  ;
,...,
1
  ,

1
,
,
,




. 
(3) 

 

 
Рис.6. Пример вычисления комбинации матриц C = A + B 
 
Для определения произведения матриц A и B используют обозначения: 
C = AB = AB. Следует отметить, что не для всякой пары матриц A и B определено произведение согласно (3), оно определено, когда число столбцов у 
первой матрицы-сомножителя совпадает с числом строк второй матрицысомножителя. 
Формулу (3) можно описать словесно следующим образом. Элемент 
произведения матриц ci,j есть попарная сумма произведения i-й строки первой матрицы-сомножителя на j-й столбец второй матрицы-сомножителя. 
Приведем детальный пример произведения пары матриц вида: 

23
22
13
21
22
22
12
21
21
22
11
21

23
12
13
11
22
12
12
11
21
12
11
11

23
22
21

13
12
11

22
21

12
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a

b
b
b

b
b
b

a
a

a
a









. 

Из определения (3) вытекают следующие два свойства произведения 
матриц: 

1) свойство ассоциативности: (AB)C = A(BC); 
2) свойство дистрибутивности: (A + B)C = AC + BC или A(B + C) = AB + 
AC. 

К покупке доступен более свежий выпуск Перейти